人教A版数学选修4第二讲二圆锥曲线的参数方程随堂自测(含答案解析)

高中数学学习材料
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1．参数方程⎩⎨⎧ x ＝|cos θ2＋sin θ2|
y ＝12(1＋sin θ)(0<θ<2π)表示( )
A ．双曲线一支，这支过点(1，12
) B ．抛物线一部分，这部分过点(1，12
) C ．双曲线一支，这支过点(－1，12
) D ．抛物线一部分，这部分过点(－1，12
) 解析：选B.x ＝|cos θ2＋sin θ2|＝2|sin(θ2＋π4
)|，其中0<θ<2π，故有0≤x ≤ 2. 因此，参数方程表示抛物线的一部分，这部分过点(1，12
)，故选B. 2．已知直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ.(θ为参数)，则它们的公共点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B.圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，
其圆心为C (－1,2)，半径为2.
由于圆心到直线l 的距离d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42
＝75<2， 故直线l 与圆C 的公共点个数为2.
3．直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos αy ＝t sin α(t 是参数)与圆C ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4＋2cos φy ＝2sin φ(φ为参数)相切，则直线倾斜角α为( )
A.π6或5π6
B.π4或3π4
C.π3或2π3 D ．－π6或－5π6
解析：选A.将参数方程化为普通方程，直线为y ＝tan α·x (α≠π2，当α＝π2
时不合题意)，圆为(x －4)2＋y 2＝4，它们相切的充要条件是：圆心到直线的距离d ＝r ， 即|4·tan α－0|1＋tan 2α
＝2， ∴tan α＝±33
. ∵α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6
，故选A. 4．(2013·高考陕西卷)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2y ＝2t
(t 为参数)的焦点坐标是________． 解析：将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．
答案：(1,0)
5．已知椭圆x 224＋y 216＝1，直线l ：x 12＋y 8
＝1.又P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上，且满足|OP |·|OQ |＝|OR |2.当点P 在l 上移动时，则点Q 的轨迹方程为________．
解析：设OP 的方程为⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数) 代入l 的方程得
|OP |＝t 1＝242cos α＋3sin α
. 代入椭圆方程得|OR |2＝t 22＝482cos 2α＋3sin 2α. 设|OQ |＝t ，得
t ·242cos α＋3sin α＝482cos 2α＋3sin 2α
. ∴2t cos 2α＋3t sin 2α－4cos α－6sin α＝0，
即2t 2cos 2α＋3t 2sin 2α－4t cos α－6t sin α＝0.
∴Q 点的轨迹方程为2x 2－4x ＋3y 2－6y ＝0，
即(x －1)252＋(y －1)253
＝1(∵t ≠0，∴x ，y 不同时为零)． 答案：(x －1)252＋(y －1)2
5
3＝1。