课时作业16：分类加法计数原理与分步乘法计数原理

§10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
课时精练
1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()
A．3 B．4 C．6 D．8
答案 D
解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；
以2为首项的等比数列为2,4,8；
以4为首项的等比数列为4,6,9；
把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，
∴所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．
2．(2020·西安模拟)将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有()
A．12种B．9种C．8种D．6种
答案 C
解析每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法，根据分步计数原理可知，不同的分配方案总数为23＝8(种)．
3．(2021·保定质检)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()
A．4种B．6种C．10种D．16种
答案 B
解析分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，
同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式．
由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．
4．(2020·凌源模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学都选取到喜欢的礼物，则不同的选法有( )
A ．30种
B ．50种
C ．60种
D ．90种
答案 B
解析 ①甲同学选择牛，乙有2种选择，丙有10种选择，选法有1×2×10＝20(种)；②甲同学选择马，乙有3种选择，丙有10种选择，选法有1×3×10＝30(种)，所以总共有20＋30＝50(种)选法．
5．(2021·安阳模拟)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有( )
A ．120种
B ．260种
C ．340种
D ．420种
答案 D
解析 由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，则共有5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420(种)．
6．(2021·衡阳模拟)若a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3,4}，则y ＝b a
x 表示不同直线的条数为( ) A ．8 B ．11 C ．14 D ．16
答案 B
解析 若使b a
表示不同的实数，则当a ＝1时，b ＝1,2,3,4；当a ＝2时，b ＝1,3；当a ＝3时，b ＝1,2,4；当a ＝4时，b ＝1,3.故y ＝b a
x 表示的不同直线的条数共有4＋2＋3＋2＝11. 7．李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是( )
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
答案 B
解析 将5月份的30天依次编号为1,2,3，…，30，因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，且5月1日李明分别去了这四家超市配送，所以李明去甲超市的天数编号为：1,4,7,10,13,16,19,22,25,28，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：5,9,17,21,29，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：8,15，共2天．所以李明需要配送的天数为10＋5＋0＋2＝17，所以整个5月李明不用去配送的天数是30－17＝13.
8．(多选)已知集合A ＝{－1,2,3,4}，m ，n ∈A ，则对于方程x 2m ＋y 2n
＝1的说法正确的是( ) A ．可表示3个不同的圆
B ．可表示6个不同的椭圆
C ．可表示3个不同的双曲线
D ．表示焦点位于x 轴上的椭圆有3个
答案 ABD
解析 当m ＝n >0时，方程x 2m ＋y 2
n
＝1表示圆，故有3个，选项A 正确；当m ≠n 且m ，n >0时，方程x 2m ＋y 2
n
＝1表示椭圆，焦点在x ，y 轴上的椭圆分别有3个，故有3×2＝6(个)，选项B 正确；若椭圆的焦点在x 轴上，则m >n >0，当m ＝4时，n ＝2,3；当m ＝3时，n ＝2，即所
求的椭圆共有2＋1＝3(个)，选项D 正确；当mn <0时，方程x 2m ＋y 2
n
＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6个，选项C 错误．
9．如图所示，使电路接通，开关不同的闭合方式共有________种．
答案 21
解析 根据题意，若电路接通，则开关1,2与3,4,5中都至少有1个闭合，
对于开关1,2，共有2×2＝4(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个闭合的有4－1＝3(种)情况，
对于开关3,4,5，共有2×2×2＝8(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个闭合的有8－1＝7(种)情况，则电路接通的情况有3×7＝21(种)．
10．(2020·石家庄模拟)将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有________种．
答案576
解析依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；
(2)任意的两个汉字既不同行也不同列，第二个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法，根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576(种)．
11．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．
答案36
解析第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．12．我市VR大会展厅前广场改造，在人行道(斑马线)两侧划分5块区域(如图)，现有四种不同颜色的花卉，要求每块区域随机种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的区域)所选花卉颜色不能相同，则不同的摆放方式共有________种．
答案288
解析根据题意，对于区域①②，可以在4种颜色中任选2种，有4×3＝12种选法；对于区域③④⑤，可以在4种颜色中任选3种，有4×3×2＝24种选法，则不同的摆放方式有12×24＝288(种)．
13．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成该集合的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有()
A．32个B．34个C．36个D．38个
答案 A
解析先把数字分成5组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以从每组中任选一个数字即可，故共可组成2×2×2×2×2＝
32(个)这样的子集．
14.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是________．
答案60
解析根据题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择方法，并且机会是相等的，若第一个选1号螺栓，第二个可以选3,4,5号螺栓，依次选下去，共可以得到10种方法，所以总共有10×6＝60(种)方法．
15．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为()
A．56 B．54 C．53 D．52
答案 D
解析在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56(个)对数值；但在这56个数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．16．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()
A．240 B．204 C．729 D．920
答案 A
解析若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．
所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．。