高等数学同济教材习题讲解

高等数学同济教材习题讲解高等数学作为大学本科数学专业的一门重要课程，对于培养学生的数学思维能力和分析解决问题的能力具有重要意义。

而同济大学编写的《高等数学》教材则是广泛应用于全国各高校的优秀教材之一。

本文将从该教材中选取一些典型的习题进行讲解，帮助读者更好地理解这些数学知识，并提升解题能力。

一、导数与微分
1.已知函数 f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x - 5，求 f(x) 的导数。

解析：需要运用导数的定义，对函数 f(x) 求导，得到 f'(x) = 6x^2 - 8x + 3。

2.已知函数 y = sin(3x + 2)，求 y 的微分。

解析：利用微分的定义，对函数 y 进行微分，得到 dy = cos(3x +
2)dx。

二、不定积分与定积分
1.计算不定积分∫(2x - 3)dx。

解析：对给定的函数进行求积分，得到∫(2x - 3)dx = x^2 - 3x + C，其中 C 为常数。

2.计算定积分∫[0, π]sin(2x)dx。

解析：利用定积分的性质和三角函数的积分公式，计算∫[0,
π]sin(2x)dx = [-cos(2x)]|[0, π] = -cos(2π) - (-cos(0)) = -1 - (-1) = 0。

三、级数
1.判断级数∑(n=1, ∞) 1/n^2 是否收敛。

解析：根据级数的收敛性判别定理，可以得出该级数是收敛的，因为级数∑(n=1, ∞) 1/n^2 是一个帕塞瓦尔级数，它的通项是发散的。

2.求级数∑(n=1, ∞) (1/2)^n 的和。

解析：根据数列求和公式，可以得出该级数的和为 S = a/(1-r)，其中 a 为首项， r 为公比。

代入数值，得到 S = 1/(1-1/2) = 2。

四、微分方程
1.求解微分方程 dy/dx = 2x。

解析：对给定的微分方程进行求解，得到 y = x^2 + C，其中 C 为常数。

2.求解二阶齐次线性微分方程 d^2y/dx^2 + 4y = 0。

解析：通过特征方程的求解，可以得到该微分方程的通解为 y = Acos(2x) + Bsin(2x)，其中 A、B 为常数。

通过以上几个例题的讲解，我们可以看到高等数学教材中的习题在涵盖了各个知识点的同时，也考察了学生的思维能力和解题技巧。

希望读者能够通过自主学习和多做练习，掌握高等数学的基本理论和方
法，提高解题能力，并在以后的学习和工作中能够灵活运用数学知识解决实际问题。