山东省济宁市学而优教育咨询有限公司2015届高三数学人教A版高考复习专题第30讲等比数列Word版含答案

第三节 等比数列
[考情展望] 1.运用基本量法求解等比数列问题.2.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定.3.客观题以等比数列的性质及基本量的运算为主，突出“小而巧”的特点，解答题注重函数与方程、分类讨论等思想的综合应用．
一、等比数列
证明{a n }是等比数列的两种常用方法 (1)定义法：若
a n
a n －1
＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2
n ＋1＝a n ·
a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．
二、等比数列的性质
1．对任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . 2．通项公式的推广：a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N *)
3．公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ；当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．
4．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n
b n (λ≠0)仍是等比数列．
等比数列的单调性
1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4，则公比q 等于( )
A ．－1
2 B ．－2 C ．2
D.12
【解析】 由题意知：q 3＝a 5a 2
＝18，∴q ＝1
2. 【答案】 D
2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5
S 2
＝( )
A ．－11
B ．－8
C ．5
D ．11
【解析】 8a 2＋a 5＝0，得8a 2＝－a 2q 3，又a 2≠0，∴q ＝－2，则S 5＝11a 1，S 2＝－a 1，∴S 5
S 2
＝－11.
【答案】 A
3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
【解析】 由题意a 27＝a 3a 11＝16，且a 7＞0，∴a 7＝4， ∴a 10＝a 7·q 3＝4×23＝25，从而log 2a 10＝5. 【答案】 B
4．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.
【解析】 ∵S 3＝21，q ＝4，∴a 1(1－q 3)
1－q ＝21，∴a 1＝1，
∴a n ＝4n －1. 【答案】 4n －1
5．(2013·大纲全国卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－4
3，则{a n }的前10项和等于( )
A ．－6(1－3－10) B.1
9(1－310) C ．3(1－3－10)
D ．3(1＋3－10)
【解析】 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－1
3的等比
数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝3(1－3－10
).
【答案】 C
6．(2013·江西高考)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12
D ．24
【解析】 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
【答案】
A
考向一 [090] 等比数列的基本运算
(1)(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则
公比q ＝______；前n 项和S n ＝________.
(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． ①求{a n }的公比q ；②若a 1－a 3＝3，求S n .
【思路点拨】 建立关于a 1与公比q 的方程，求出基本量a 1和公比，代入
等比数列的通项公式与求和公式．
【尝试解答】 (1)设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n 项和公式求S n .
设等比数例{a n }的首项为a 1，公比为q ，则： 由a 2＋a 4＝20得a 1q (1＋q 2)＝20.① 由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2)＝40.② 由①②解得q ＝2，a 1＝2.
故S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1
－2.
【答案】 2,2n ＋1－2
(2)①∵S 1，S 3，S 2成等差数列， ∴a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．
由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－1
2. ②由已知可得a 1－a 1(－1
2)2＝3，故a 1＝4， 从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .
规律方法1 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用.
2.在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算.
对点训练 (1)(2012·辽宁高考)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
(2)(2014·晋州模拟)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．
①求数列{a n }的通项公式； ②求数列{3a n }的前n 项和．
【解析】 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ， ∵a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1.
∴⎩⎨⎧
a 21·q 8
＝a 1·q 9， ①2(1＋q 2
)＝5q ， ②
由①得a 1＝q ；由②知q ＝2或q ＝1
2，
又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝q ＝2，从而a n ＝2n . 【答案】 2n
(2)①设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由题意得 a 24＝a 2·
a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )． 又a 1＝2，所以d ＝2或d ＝0(舍去)． ∴a n ＝2n .
②由①可知3a n ＝32n ＝9n .
故数列{3a n }的前n 项和为9(1－9n )1－9
＝98(9n －1)
考向二 [091] 等比数列的判定与证明
(2014·荆州模拟)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数
分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.
(1)求数列{b n }的通项公式； (2)数列{b n }的前n 项和为
S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n ＋54是等比数列． 【思路点拨】 正确设出等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d ，从而求出数列{b n }的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问．
【尝试解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，(7－d )(18＋d )＝100， 解之得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，因此b 1＝5
4. 故b n ＝54·2n －1
＝5·2n －3.
(2)证明 由(1)知b 1＝5
4，公比q ＝2，
∴S n ＝54(1－2n )1－2＝5·2n －2－54，
则S n ＋5
4＝5·2n －2，
因此S 1＋54＝52，S n ＋54
S n －1＋54＝5·2n －25·2n －3
＝2(n ≥2)．
∴数列{S n ＋54}是以5
2为首项，公比为2的等比数列．
规律方法2 1.本题求解常见的错误：(1)计算失误，不注意对方程的根(公差d )的符号进行判断；(2)不能灵活运用数列的性质简化运算.
2.要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可.
对点训练 (1)在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.
(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1，求证：数列{c n }是等比数列，并求{a n }的通项公式．
【解析】 (1)由题意知a n －2a n －1＝0， ∴a n ＝2a n －1(n ≥2)，
∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.
【答案】 2n ＋1－2
(2)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝1
2， ∴c 1＝a 1－1＝－1
2.
又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，a n ＋S n ＝n ， ∴2a n ＋1－a n ＝1，即2(a n ＋1－1)＝a n －1. 又∵a 1－1＝－1
2，∴a n ＋1－1a n －1＝12，即c n ＋1c n
＝12，
∴数列{c n }是以－12为首项，以1
2为公比的等比数列． 则c n ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫
12n ，
∴{a n }的通项公式a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12n .
考向三 [092] 等比数列的性质及应用
(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等
于( )
A ．1∶2
B ．2∶3
C ．3∶4
D ．1∶3
(2)(2014·衡水模拟)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－9
8，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1
a 10
＝________. 【思路点拨】 (1)借助S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比求解． (2)应用等比数列的性质a 7a 10＝a 8a 9求解．
【尝试解答】 (1)由等比数列的性质：S 3、S 6－S 3、S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，
将S 6＝12S 3代入得S 9S 3
＝34.
(2)法一 a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝a 7a 10＝－9
8， ∴1a 7
＋1a 8
＋1a 9
＋1a 10
＝
a 8a 9a 10＋a 7a 9a 10＋a 7a 8a 10＋a 7a 8a 9
a 7a 8a 9a 10
＝a 8a 9(a 10＋a 9＋a 8＋a 7)a 7a 8a 9a 10
＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 7a 10＝15
8－98＝－
53.
法二 由题意可知
⎩⎪⎨⎪⎧
a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝15
8， ①
a 8a 9＝－98， ②
①÷②得
a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝－
5
3，
即a 7a 8a 9＋a 8a 8a 9＋a 9a 8a 9＋a 10a 8a 9＝－5
3，
∴a 7a 7a 10＋1a 9＋1a 8＋a 10a 7a 10＝－53，
所以1a 10＋1a 9＋1a 8＋1a 7＝－53.
【答案】 (1)C (2)－53
规律方法3 在解决等比数列的有关问题时，要充分挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.
对点训练 (1)(2012·课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )
A ．7
B ．5
C ．－5
D ．－7
(2)(2014·大连模拟)已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )
A ．n (2n －1)
B ．(n ＋1)2
C ．n 2
D ．(n －1)2
【解析】 (1)由于a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，a 4＋a 7＝2， ∴a 4，a 7是方程x 2－2x －8＝0的两根， 解之得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4. ∴q 3＝－1
2或q 3＝－2.
当q 3＝－12时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝4×(－2)＋(－2)×(－1
2)＝－7， 当q 3＝－2时，a 1＋a 10＝a 4
q 3＋a 7·q 3＝－2－2
＋4×(－2)＝－7.
(2)∵a 5·a 2n －5＝a 2
n ＝22n ，且a n ＞0，
∴a n ＝2n ， ∵a 2n －1＝22n －1， ∴log 2a 2n －1＝2n －1，
∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋5＋…＋(2n －1) ＝
n [1＋(2n －1)]2
＝n 2
.
【答案】 (1)D (2)C
思想方法之十三 分类讨论思想在等比数列求和中的应用
分类讨论的实质是将整体化为部分来解决．其求解原则是不复重，不遗漏，讨论的方法是逐类进行．
在数列的学习中，也有多处知识涉及到分类讨论思想 ，具体如下所示： (1)前n 项和S n 与其通项a n 的关系：a n ＝⎩⎨⎧
a 1 n ＝1
S n －S n －1 n ≥2
(2)等比数列的公比q 是否为1；
(3)在利用公式S n 求和时，数列的项的个数为偶数还是奇数等等． 求解以上问题的关键是找准讨论的切入点，分类求解．
——— [1个示范例] ———— [1个对点练] ———— (2013·天津高考)已知首项为3
2的等比数列{a n }不是递减数列，其前n
项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设T n ＝S n －1
S n
(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．
【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5， 即4a 5＝a 3，于是q 2
＝a 5a 3
＝1
4.
又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－1
2. 故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·
32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1＋12n ，n 为奇数，1－1
2n ，n 为偶数.
当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32，故0＜S n －1
S n ≤S 1
－1S 1
＝32－23＝5
6. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1，故0＞S n －1
S n
≥S 2
－1S 2
＝34－43＝－712. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－7
12.
(2014·青岛模拟)已知数列{d n }满足d n ＝n ，等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，n ∈N *.
(1)求a n ；
(2)令c n ＝1－(－1)n a n ，不等式c k ≥2014(1≤k ≤100，k ∈N *)的解集为M ，求所有d k ＋a k (k ∈M )的和．
【解】 (1)设{a n }的首项为a 1，公比为q ，所以(a 1q 4)2＝a 1q 9，解得a 1＝q ， 又因为2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，所以2(a n ＋a n q 2)＝5a n q ，
则2(1＋q 2
)＝5q,2q 2
－5q ＋2＝0，解得q ＝1
2(舍)或q ＝2，所以a n ＝2×2n －1＝
2n .
(2)c n ＝1－(－1)n a n ＝1－(－2)n ，d n ＝n ，
当n 为偶数，c n ＝1－2n ≥2 014，即2n ≤－2 013，不成立； 当n 为奇数，c n ＝1＋2n ≥2 014，即2n ≥2 013， 因为210＝1 024,211＝2 048，所以n ＝2m ＋1,5≤m ≤49， 则{d k }组成首项为11，公差为2的等差数列，
{a k}(k∈M)组成首项为211，公比为4的等比数列，则所有d k＋a k(k∈M)的和为
45(11＋99)
2＋211(1－445)
1－4
＝2 475＋
2101－2 048
3＝
2101＋5 377
3.。