数学八升九《圆的有关性质》讲义

圆的有关性质
一、知识要点
1.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．
用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．
2.连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做_直径_；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做_优弧，小于半圆的弧叫做劣弧
3.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．
4.垂径定理及其推论：
定理：垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧.
推论：平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦并且平分弦所对的两条弧.
5.顶点在__圆心__的角叫做圆心角, 顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
6、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.
7、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
8.同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；
9.半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
10.90°的圆周角所对的弦是直径；
11.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
12.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；
二、基础练习
1．圆的直径为10 cm，如果点P到圆心O的距离是d，则（）
A．当d＝8 cm时，点P在⊙O内B．当d＝10 cm时，点P在⊙O上
C．当d＝5 cm时，点P在⊙O上D．当d＝6 cm时，点P在⊙O内
4．在⊙O中，⊙O的半径为13，弦AB的长为10，则圆心O到AB的距离为（）
A．13 B．12 C．10 D．5
2．如图，在⊙O中，弦AB、AC互相垂直，D、E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD
为（）
A．正方形
B．菱形
C．矩形
D．直角梯形
第3题
3.如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为（ ） A ．50°
B ．80°
C ．100°
D ．130°
4、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于E ，并且CD=4cm ，AE=6cm ，那么⊙O 的半径是（ ） A 、
35cm B 、3
10
cm C 、5cm D 、10cm
5.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A 、B 、C 三点，已知点A 的坐标是（－2,3），点C 的坐标是
（1,2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A.（0,0）
B.（－1, 1）
C.（－1，0）
D.（－1，－1）
6.一点到圆周上点的最大距离为9，最短距离为1，则这个圆的半径是 .
7.过⊙O 内一点M 的最长的弦长为10㎝，最短弦长为8㎝，则OM 的长为 .
8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点．若∠B ＝110°，则∠ADE 的度数为___________
9．如图，⊙O 的半径为3，点P 是弦AB 延长线上一点，连OP ，若OP ＝4，∠P ＝30°，则弦AB ＝_________
10．如图，点A ，C 和B 都在⊙O 上，：点C 是弧AB 的中点。

求证．四边形ACBO 为菱形．
D C
O
A
B
E B
C
A O A
B
C
三、典型例题
例1.如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为半圆上一点，AD 平分∠CAB 交⊙O 于点D (1) 求证：OD ∥AC
(2) 若AC ＝8，AB ＝10，求AD
（1）∵OD OA = ∴21∠=∠ .....................................1分 ∵AD 平分CAB ∠
∴31∠=∠ .....................................2分 ∴32∠=∠ ....................................3分 ∴OD ∥AC ......................................4分 （2）连接BD 、BC ，设BC 交OD 于E 点 ∵AB 是直径
∴AC ⊥BC ，AD ⊥BD 又∵OD ∥AC
∴OD ⊥BC 于点E ∴点E 为BC 的中点 又∵点O 为AB 的中点 ∴482
1
21=⨯==
AC OE 在OEB Rt ∆中，34)102
1
(222
2
=-⨯=
-=OE OB BE 在DEB Rt ∆中，10)45(32222=-+=-=ED EB BD 在OEB Rt ∆中，103)10(102222=-=-=
BD AB AD .
例2．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D (1) 求证：AO 平分∠BAC
(2) 若OC ＝6，∠BAC ＝30°，求AC 的长
(1) 连OB,OC
∵AB=AC,OB=OC ∴OA 垂直平分BC ∵AB=AC ∴AO 平分∠BAC (2) 设OA 垂直BC 于D 证∠BAC ＝∠DOC ＝30° CD=3，33=OD
22DC AD AC +=
例3如图,正方形ABCD 内接于⊙O,E 为CD 上任意一点,连接DE 、AE. (1)求∠AED 的度数;
(2)如图2,过点B 作BF//DE 交⊙O 于F,AF=1,AE=4,求DE 的长.
21．证（1）连接AC ，BD ∵∠ABC =∠BCD =90°
∴AC 和BD 为⊙O 的直径…………（1分） 又∵正方形ABCD 的对角线互相垂直平分
∴点O 为AC ，BD 的交点，∠AOD =90°………… (3分) ∴∠E =45°…………（4分） （2）连接DF 交AE 于G
在四边形BCDF 中，∠C =90° ∴BD 为⊙O 的直径
∴∠BFD =90°………… (5分) ∵BF ∥DE
∴∠FDE =180°-∠BFD =90°=∠FAE 又∠E =45°
∴∠AFG =45°……… (6分)
∴△AFG 和△DEG 均为等腰直角三角形 ∴AG =AF =1，EG =3………… (7分)
∴DE =2
23………… (8分)
例4．如图，OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC (1) 求证：∠ACB ＝2∠BAC
(2) 若AC 平分∠OAB ，求∠AOC 的度数
图1
E
（1）证明：在⊙O中，
∵∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，
∵∠AOB＝2∠BOC．
∴∠ACB＝2∠BAC．………………………………………………4分
（2）解：设∠BAC＝x°．
∵AC平分∠OAB，∴∠OAB＝2∠BAC＝2x°；
∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠ACB＝4∠BAC＝4x°；
在△OAB中，
∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°，
所以，4x＋2x＋2x＝180；
x＝22.5
所以∠AOC＝6x＝135°．………………………………………………8分
例5．如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC，点E为垂足，点D在优弧BC上
(1) 若∠AOB＝56°，求∠ADC的度数
(2) 若BC＝6，AE＝1，求⊙O的半径
四、反馈练习
1．由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积为（C ）A．4πB．9πC．16πD．25π
2．如图，A、B、C在⊙O上，∠OAB＝22.5°，则∠ACB的度数为（B）
A．115.5°B．112.5°C．122.5°D．135°
3.如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有（C）个A．1 B．2 C．3 D．0
4．如图，点P为⊙O内一点，且OP＝6．若⊙O的半径为10，则过点P的弦长不可能为（D ）
3C．16 D．15.5
A．17 B．30
5．如图，在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米，截面如图，油面宽AB为6分米．如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，则油面AB上升__1或7___分米
6．把球放在长方形纸盒内，球的一部分露在盒外面，其截面如图所示．已知EF＝CD＝16cm，则球的半径为__________cm 10
7．如图，点A 、C 和B 都在⊙O 上，且AC ∥OB ，BC ∥OA (1) 求证：四边形ACBO 为菱形 (2) 求∠ACB 的度数
8．如图，点C 、D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分∠CAB (1) 求证：AC ∥OD
(2) 若AC ＝7，AB ＝25，求AD 的长
（1）连OD 证∠CAD=∠ADO （2）连BC,OD 交于E 则OD ⊥BC
2
721==
AC OE
2
2OE OB BE -=
22BE DE BD +=
22BD AB AD -=
9．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∠CDB ＝15°，OE ＝32 (1) 求⊙O 的半径
(2) 将△OBD 绕O 点旋转，使弦BD 的一个端点与弦AC 的一个端点重合，则弦BD 与弦AC 的夹角为___________
（1）⊙O 的半径为4 ……5'
（2）90°或60°……8'
10.如图，ABC
是O的内接三角形，BC=6，∠BAC=60°.
（1）如图1，试求O的半径；
（2）如图2，连AO延长交BC于D，交O于E，若BD=2，试求AC 的长.
图1
图2
(1)证明：略；(2) AD＝20．。