2020-2021学年最新山东省潍坊市中考数学二模试卷及答案

2020-2021学年最新⼭东省潍坊市中考数学⼆模试卷及答案
中考数学⼆模试卷
⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共36.0分）
,这四个数中，最⼤的数是()
1.在1,?2,0,5
3
D. 1
A. ?2
B. 0
C. 5
3
【答案】C
【解析】解：由正数⼤于零，零⼤于负数，得
2<0<1<5
．
3
最⼤的数是5
，
3
故选：C．
根据正数⼤于零，零⼤于负数，可得答案．
本题考查了有理数的⼤⼩⽐较，注意两个负数⽐较⼤⼩，绝对值⼤的数反⽽⼩．
2.据潍坊市市统计局调查数据显⽰，我市⽬前常住⼈⼝约为936000⼈，数据“9360000”⽤科学记数法
可表⽰为()
A. 9.36×106
B. 9.36×107
C. 0.936×107
D. 936×104
【答案】A
【解析】解：9360000=9.36×106．
故选：A．
科学记数法的表⽰形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，⼩数点移动了多少位，n 的绝对值与⼩数点移动的位数相同.当原数绝对值⼤于10时，n是正数；当原数的绝对值⼩于1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表⽰⽅法.科学记数法的表⽰形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表⽰时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.如图可以看作是⼀个等腰直⾓三⾓形旋转若⼲次⽽⽣成的，则每次旋转的度数可以
是()
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
【答案】C
【解析】解：∵中⼼⾓是由8个度数相等的⾓组成，
∴每次旋转的度数可以为360°÷8=45°．
故选：C．
根据旋转的性质，观察图形，中⼼⾓是由8个度数相等的⾓组成，结合周⾓是360°求得每次旋转的度数．本题把⼀个周⾓是360°和图形的旋转的特点结合求解.注意结合图形解题的思想．
4.已知a、b、c是△ABC的三边长，且⽅程a(1+x2)+2bx?c(1?x2)=0的两根相等，则△ABC为(
)
A. 等腰三⾓形
B. 等边三⾓形
C. 直⾓三⾓形
D. 任意三⾓形
【答案】C
【解析】解：原⽅程整理得(a+c)x2+2bx+a?c=0，
因为两根相等，
所以△=b2?4ac=(2b)2?4×(a+c)×(a?c)=4b2+4c2?4a2=0，
即b2+c2=a2，
所以△ABC是直⾓三⾓形．
故选：C．
⽅程a(1+x2)+2bx?c(1?x2)=0的两根相等，即△=0，结合直⾓三⾓形的判定和性质确定三⾓形的形状．
总结：⼀元⼆次⽅程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0?⽅程有两个不相等的实数根；
(2)△=0?⽅程有两个相等的实数根；
(3)△<0?⽅程没有实数根．
△ABC的三边长满⾜b2+c2=a2，由勾股定理的逆定理可知，此三⾓形是直⾓三⾓形．
5.如图，已知a//b，∠1=50°，∠2=90°，则∠3的度数为()
A. 40°
B. 50°
C. 150°
D. 140°
【解析】解：作c//a，
∵a//b，
∴c//b．
∴∠1=∠5=50°，
∴∠4=90°?50°=40°，
∴∠6=∠4=40°，
∴∠3=180°?40°=140°．
故选：D．
作c//a，由于a//b，可得c//b.然后根据平⾏线的性质解答．
本题考查了平⾏线的性质，作出辅助线是解题的关键．
6.如图，在下列四个⼏何体中，从正⾯、左⾯、上⾯看不完全相同的是()
A. ①②
B. ②③
C. ①④
D. ②④
【答案】B
【解析】解：球的三视图均为圆、正⽅体的三视图均为正⽅形，
⽽圆柱体和圆锥的三视图不完全相同，
故选：B．
根据常见⼏何体的三视图解答可得．
本题主要考查简单⼏何体的三视图，解题的关键是熟练掌握三视图的定义和常见⼏何体的三视图．7.不等式组{x?m>1
x+5<5x+1的解集是x>1，则m的取值范围是()
A. m≥1
B. m≤1
C. m≥0
D. m≤0【答案】D
【解析】解：不等式整理得：{x>m+1
x>1，
由不等式组的解集为x>1，得到m+1≤1，
故选：D．
表⽰出不等式组中两不等式的解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可．
此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的⽅法是解本题的关键．
8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2√3，则阴影部分的⾯
积为()
A. 2π
B. π
C. π
3
D. 2π
3
【答案】D
【解析】解：∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°，
⼜∵弦CD⊥AB，CD=2√3，
∴OC=
1
2
CD
sin60°
=√3
√3
2
=2，
∴S
阴影=S
扇形COB
=60×π×22
360
=2π
3
，
故选：D．
要求阴影部分的⾯积，由图可知，阴影部分的⾯积等于扇形COB的⾯积，根据已知条件可以得到扇形COB 的⾯积，本题得以解决．
本题考查扇形⾯积的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利⽤数形结合的思想解答问题．
9.如图，在平⾏四边形ABCD中，E是边CD上⼀点，将△ADE沿AE
折叠⾄△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B=52°，∠DAE=20°，
则∠FED′的度数为()
A. 40°
B. 36°
C. 50°
D. 45°
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平⾏四边形，
∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°?∠EAD′?∠D′=108°，
∴∠FED′=108°?72°=36°；
故选：B．
由平⾏四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三⾓形的外⾓性质求出∠AEF=72°，与三⾓形内⾓和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的⼤⼩．本题考查了平⾏四边形的性质、折叠的性质、三⾓形的外⾓性质以及三⾓形内⾓和定理；熟练掌握平⾏四
边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．
10.如图，正⽅形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向
点B运动，到点B时停⽌运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点
E、F的运动速度相同.设点E的运动路程为x，△AEF的⾯积为y，能⼤致刻画y与x
的函数关系的图象是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：当F在PD上运动时，△AEF的⾯积为y=1
2
AE?AD=2x(0≤x≤2)，
当F在AD上运动时，△AEF的⾯积为y=1
2AE?AF=1
2
x(6?x)=?1
2
x2+3x(2
图象为：
故选：A．
分F在线段PD上，以及线段DQ上两种情况，表⽰出y与x的函数解析式，即可做出判断．
此题考查了动点问题的函数问题，解决本题的关键是读懂图意，得到相应y与x的函数解析式．
11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC
边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为()
A. 1
3B. 2√2
3
C. √2
4
D. 3
5
【答案】A
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴∠A=∠B，
由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF，
∴∠EDF=∠A，
∴∠EDF=∠B，
∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，∴∠CDE=∠BFD．
⼜∵AE=DE=3，
∴CE=4?3=1，
∴在直⾓△ECD中，sin∠CDE=CE
ED =1
3
，
∴sin∠BFD=1
3
．
故选：A．
由题意得：△AEF≌△DEF，故∠EDF=∠A；由三⾓形的内⾓和定理及平⾓的知识问题即可解决．
主要考查了翻折变换的性质及其应⽤问题；解题的关键是灵活运⽤全等三⾓形的性质、三⾓形的内⾓和定
理等知识来解决问题．
12.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(?1,0)，B(3,0)，交y轴的负半轴于C，
顶点为D.下列结论：①2a+b=0；②2c<3b；③当m≠1时，a+b< am2+bm；④当△ABD是等腰直⾓三⾓形时，则a═1 2
；⑤当△ABC是等腰三⾓形时，a的值有3个.其中正确的有()个．
C. 3
D. 2
【答案】C
【解析】解：①∵⼆次函数与x轴交于点A(?1,0)、B(3,0)．
∴⼆次函数的对称轴为x=(?1)+3
2=1，即?b
2a
=1，
∴2a+b=0．
故①正确；
②∵⼆次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A(?1,0)、B(3,0)．∴a?b+c=0，9a+3b+c=0．⼜∵b=?2a．
∴3b=?6a，a?(?2a)+c=0．
∴3b=?6a，2c=?6a．
∴2c=3b．
故②错误；
③∵抛物线开⼝向上，对称轴是x=1．
∴x=1时，⼆次函数有最⼩值．
∴m≠1时，a+b+c
即a+b
故③正确；
④∵AD=BD，AB=4，△ABD是等腰直⾓三⾓形．
∴AD2+BD2=42．
解得，AD2=8．
设点D坐标为(1,y)．
则[1?(?1)]2+y2=AD2．
解得y=±2．
∵点D在x轴下⽅．
∴点D为(1,?2)．
∵⼆次函数的顶点D为(1,?2)，过点A(?1,0)．
设⼆次函数解析式为y=a(x?1)2?2．
∴0=a(?1?1)2?2．
解得a=1
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三⾓形时，a的值有2个.(故⑤错误)
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
根据⼆次函数图象与系数的关系，⼆次函数与x轴交于点A(?1,0)、B(3,0)，可知⼆次函数的对称轴为x=
(?1)+3
2=1，即?b
2a
=1，可得2a与b的关系；将A、B两点代⼊可得c、b的关系；函数开⼝向下，x=1时
取得最⼩值，则m≠1，可判断③；根据图象AD=BD，顶点坐标，判断④；由图象知BC≠AC，从⽽可以判断⑤．
主要考查了⼆次函数的解析式的求法和与⼏何图形结合的综合能⼒的培养.要会利⽤数形结合的思想把代数和⼏何图形结合起来，利⽤点的坐标的意义表⽰线段的长度，从⽽求出线段之间的关系．
⼆、填空题（本⼤题共6⼩题，共18.0分）
13.分解因式：ab4?4ab3+4ab2=______．
【答案】ab2(b?2)2
【解析】解：ab4?4ab3+4ab2
=ab2(b2?4b+4)
=ab2(b?2)2．
故答案为：ab2(b?2)2．
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进⾏观察，有3项，可采⽤完全平⽅公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使⽤各种⽅法对多项式进⾏因式分解，⼀般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运⽤公式法分解．
14.已知关于x的⼀元⼆次⽅程(k?1)x2+4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是______．
【答案】k≤5且k≠1
【解析】解：由题意知，k≠1，△=b2?4ac=16?4(k?1)=20?4k≥0，
解得：k≤5，
则k的取值范围是k≤5且k≠1；
故答案为：k≤5且k≠1．
根据⽅程有两个实数根，得出△≥0且k?1≠0，求出k的取值范围，即可得出答案．
此题考查了根的判别式，(1)⼀元⼆次⽅程根的情况与判别式△的关系：①△>0?⽅程有两个不相等的实数根；②△=0?⽅程有两个相等的实数根；③△<0?⽅程没有实数根.(2)⼀元⼆次⽅程的⼆次项系数不为0．
15.为迎接五⽉份全县中考九年级体育测试，⼩强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某⼀周每天做引体向
上的个数，如下表：
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但⼩强已经计算出这组数据唯⼀众数是13，平均数是12，那么这组数据的⽅差是______．
【答案】8
7
【解析】解：∵平均数是12，
∴这组数据的和=12×7=84，
∴被墨汁覆盖三天的数的和=84?4×12=36，
∵这组数据唯⼀众数是13，
∴被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，
∴S2=1
7[(11?12)2+(12?12)2+(10?12)2+(13?12)2+(13?12)2+(13?12)2+(12?12)2]=8
7
，
故答案为：8
7
．
根据已知条件得到被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，根据⽅差公式即可得到结论．
本题考查⽅差的计算，熟记⽅差公式是解题的关键．
16.如图，⼯程上常⽤钢珠来测量零件上⼩孔的直径，假设钢珠
的直径是12毫⽶，测得钢珠顶端离零件表⾯的距离为9毫
⽶，则这个⼩孔的直径AB是______毫⽶．
【答案】6√3
【解析】解：连接OA，通过圆⼼O，作弦AB的垂线交AB于C
则在Rt△OAC中，OA=6mm，OC=9?6=3mm
AC2+OC2=OA2，即AC2+32=62，
∴AC=3√3mm
∴AB=6√3mm．
已知钢珠的直径是12毫⽶，本题是有关圆的半径，弦长，弦⼼距之间的运算，通常是利⽤垂径定理，转化为解直⾓三⾓形问题．
有关圆的半径，弧长，弦长之间的计算⼀般是转化为解直⾓三⾓形．
17.如图，将⼀张矩形纸⽚ABCD沿对⾓线BD折叠，点C的对应点为C′，再将
所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合.若AB=3，BC=4，则折
痕EF的长为______．
【答案】25
12
【解析】解：设BC′与AD交于N，EF与AD交于M，
根据折叠的性质可得：∠NBD=∠CBD，AM=DM=1
2AD，∠FMD=∠EMD=
90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC=4，∠BAD=90°，∴∠ADB=∠CBD，
∴∠NBD=∠ADB，
∴BN=DN，
设AN=x，则BN=DN=4?x，
∵在Rt△ABN中，AB2+AN2=BN2，
∴32+x2=(4?x)2，
∴x=7
8
，
即AN=7
8，
∵C′D=CD=AB=3，∠BAD=∠C′=90°，∠ANB=∠C′ND，∴△ANB≌△C′ND(AAS)，∴∠FDM=∠ABN，
∴tan∠FDM=tan∠ABN，
∴AN
AB =MF
MD
，
∴7
8
3
=MF
2
，
∴MF=7
12
，
由折叠的性质可得：EF⊥AD，∴EF//AB，
∵AM=DM，
∴ME=1
2AB=3
2
∴EF=ME+MF=3
2+7
12
=25
12
．
故答案为：25
12
．
⾸先由折叠的性质与矩形的性质，证得△BND是等腰三⾓形，则在Rt△ABN中，利⽤勾股定理，借助于⽅程即可求得AN的长，⼜由△ANB≌△C′ND，易得：∠FDM=∠ABN，由三⾓函数的性质即可求得MF的长，⼜由中位线的性质求得EM的长，则问题得解．
此题考查了折叠的性质，全等三⾓形的判定与性质，三⾓函数的性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想与⽅程思想的应⽤．
18.如图，已知直线l：y=√3x，过点(2,0)作x轴的垂线交直线l于点N，过
点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，
过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，……；按此做法继续下去，则点M2000
的坐标为______．
【答案】(24001,0)
【解析】解：∵直线l：y=√3x，
∴∠MON=60°，
∵NM⊥x轴，M1N⊥直线l，
∴∠MNO=∠OM1N=90°?60°=30°，
∴ON=2OM，OM1=2ON=4OM=22?OM，
同理，OM2=22?OM1=(22)2?OM，
…，
OM n=(22)n?OM=22n?2=22n+1，
所以，点M n的坐标为(22n+1,0)．
∴M2000的坐标为(24001,0)，
故答案为(24001,0)．
根据直线l的解析式求出∠MON=60°，从⽽得到∠MNO=∠OM1N=30°，根据直⾓三⾓形30°⾓所对的直⾓边等于斜边的⼀半求出OM1=22?OM，然后表⽰出OM n与OM的关系，再根据点M n在x轴上写出坐标即可．
本题考查了⼀次函数图象上点的坐标特征，直⾓三⾓形30°⾓所对的直⾓边等于斜边的⼀半的性质，熟记性质并求出变化规律是解题的关键．
三、计算题（本⼤题共2⼩题，共14.0分）
19.化简：(3
a+1?a+1)÷a2?4a+4
【答案】解：原式=3?(a+1)(a?1)
a+1?a+1
(a?2)2
=?(a+2)(a?2)
a+1
a+1
(a?2)2
=?a+2
a?2
．
【解析】原式括号中两项通分并利⽤同分母分式的减法法则计算，同时利⽤除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 某花店准备购进甲、⼄两种花卉，若购进甲种花卉20盆，⼄种花卉50盆，需要720元；若购进甲种
花卉40盆，⼄种花卉30盆，需要880元． (1)求购进甲、⼄两种花卉，每盆各需多少元？
(2)该花店销售甲种花卉每盆可获利6元，销售⼄种花卉每盆可获利1元，现该花店准备拿出800元全部⽤来购进这两种花卉，设购进甲种花卉x 盆，全部销售后获得的利润为W 元，求W 与x 之间的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，考虑到顾客需求，要求购进⼄种花卉的数量不少于甲种花卉数量的6倍，且不超过甲种花卉数量的8倍，那么该花店共有⼏种购进⽅案？在所有的购进⽅案中，哪种⽅案获利最⼤？最⼤利润是多少元？
【答案】解：(1)设购进甲种花卉每盆x 元，⼄种花卉每盆y 元， {40x +30y =88020x+50y=720
，
解得，{y =8x=16
，
即购进甲种花卉每盆16元，⼄种花卉每盆8元； (2)由题意可得，
W =6x +800?16x
8
×1，
化简，得
W =4x +100，
即W 与x 之间的函数关系式是：W =4x +100；
(3){800?16x 8
≥6x 800?16x
8
≤8x
，
解得，10≤x ≤12.5，故有三种购买⽅案，
由W =4x +100可知，W 随x 的增⼤⽽增⼤，
故当x =12时，800?16x
8=76，即购买甲种花卉12盆，⼄种花卉76盆时，获得最⼤利润，此时W =4×12+100=148，
即该花店共有⼏三种购进⽅案，在所有的购进⽅案中，购买甲种花卉12盆，⼄种花卉76盆时，获利最⼤，
最⼤利润是148元．
【解析】(1)根据题意可以列出相应的⼆元⼀次⽅程组，从⽽可以求得购进甲、⼄两种花卉，每盆各需多少元；
(2)根据题意可以写出W 与x 的函数关系式；
(3)根据题意可以列出相应的不等式组，从⽽可以得到有⼏种购进⽅案，哪种⽅案获利最⼤，最⼤利润是多少．
本题考查⼀次函数的应⽤、⼆元⼀次⽅程组的应⽤、⼀元⼀次不等式组的应⽤，解题的关键是明确题意、列出相应的⽅程组或不等式组．
四、解答题（本⼤题共6⼩题，共52.0分）
21. 计算：(?1)2017+2?cos60°?(?1
2)?2+(√3?√2)0 【答案】解：原式=?1+2×1
2?4+1 =?1+1?4+1
=?3．
【解析】直接利⽤特殊⾓的三⾓函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22. 某县教育局为了丰富初中学⽣的⼤课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动.某中学就“学
⽣体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学⽣，并根据调查结果绘制成如下的不完整的
扇形统计图和条形统计图：
(1)在这次调查中，喜欢篮球项⽬的同学有多少⼈？
(2)在扇形统计图中，“乒乓球”的百分⽐为多少？
(3)如果学校有800名学⽣，估计全校学⽣中有多少⼈喜欢篮球项⽬？
(4)请将条形统计图补充完整；
(5)在被调查的学⽣中，喜欢篮球的有2名⼥同学，其余为男同学.现要从中随机抽取2名同学代表班级
参加校篮球队，请运⽤列表或树状图求出所抽取的2名同学恰好是1名⼥同学和1名男同学的概率．【答案】解：(1)在这次调查中，总⼈数为20÷40%=50⼈，
∴喜欢篮球项⽬的同学有⼈50?20?10?15=5⼈；
(2)在扇形统计图中，“乒乓球”的百分⽐为10
50
=20%；
(3)如果学校有800名学⽣，估计全校学⽣中喜欢篮球项⽬的有800×5
50=80⼈；
(4)条形统计图：
(5)画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名⼥同学和1名男同学的结果数为12，
∴所抽取的2名同学恰好是1名⼥同学和1名男同学的概率=12
20=3
5
．
【解析】(1)先利⽤跳绳的⼈数和它所占的百分⽐计算出调查的总⼈数，再⽤总⼈数分别减去喜欢其它项⽬的⼈数可得到喜欢篮球项⽬的⼈数；
(2)依据喜欢乒乓球的⼈数，即可计算出喜欢乒乓球项⽬的百分⽐；
(3)⽤800乘以样本中喜欢篮球项⽬的百分⽐可估计全校学⽣中喜欢篮球项⽬的⼈数；
(4)依据喜欢篮球项⽬的⼈数，即可将条形统计图补充完整；
(5)画树状图展⽰所有20种等可能的结果数，再找出所抽取的2名同学恰好是1名⼥同学和1名男同学的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了统计图、列表法与树状图法：利⽤列表法或树状图法展⽰所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数⽬m，然后利⽤概率公式计算事件A或事件B的概率．
23.如图，在楼房AB和塔CD之间有⼀棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰
好看到塔的底部D点，且俯⾓α为45°.从距离楼底B点1⽶的P点处经过
树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰⾓β为30°.已知树⾼EF=6⽶，求
塔CD的⾼度.(结果保留根号)
【答案】解：由题意可知∠BAD=∠ADB=45°，∴FD=EF=6⽶，
在Rt△PEH中，∵tanβ=EH
PH =5
BF
，
∴BF=5
√3
3
=5√3，
∴PG=BD=BF+FD=5√3+6，
在RT△PCG中，∵tanβ=CG
PG
，
∴CG=(5√3+6)?√3
3
=5+2√3，
∴CD=(6+2√3)⽶．
【解析】根据题意求出∠BAD=∠ADB=45°，进⽽根据等腰直⾓三⾓形的性质求得FD，在Rt△PEH中，利⽤特殊⾓的三⾓函数
值分别求出BF，即可求得PG，在Rt△PCG中，继⽽可求出CG的长度．
本题考查了解直⾓三⾓形的应⽤，解答本题的关键是构造直⾓三⾓形，利⽤三⾓函数的知识求解相关线段的长度．24.如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB
于点E，交AC的延长线于点F．
(1)求证：EF与⊙O相切；
(2)若AE=6，sin∠CFD=3
5
，求EB的长．
【答案】(1)证明：如图，连接OD．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B
∴∠ODC=∠B
∴OD//AB
∴∠ODF=∠AEF
∵EF⊥AB
∴∠ODF=∠AEF=90°
∴OD⊥EF
∵OD是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
(2)由(1)知，OD//AB，OD⊥EF．
在Rt△AEF中，sin∠CFD=AE
AF =3
5
，AE=6，
则AF=10．
∵OD//AB，
∴OF
AF =OD
AE
．
设⊙O的半径为r，
∴10?r
10=r
6
，
解得，r=15
4
．
∴AB=AC=2r=15
2
，
∴EB=AB?AE=15
2?6=3
2
．
【解析】(1)如图，欲证明EF与⊙O相切，只需证得OD⊥EF．
(2)通过解直⾓△AEF可以求得AF=10.设⊙O的半径为r，由平⾏线分线段成⽐例得到OF
AF =OD
AE
，即10?r
10
=r
6
，
则易求AB=AC=2r=15
2，所以EB=AB?AE=15
2
6=3
2
．
本题考查了切线的判定与性质.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆⼼与这点(即为半径)，再证垂直即可．25.如图1，菱形ABCD，AB=4，∠ADC=120°，连接对⾓线AC、BD交于点O，
(1)如图2，将△AOD沿DB平移，使点D与点O重合，求平移后的△A′BO与菱形ABCD重合部分的⾯
积．
(2)如图3，将△A′BO绕点O逆时针旋转交AB于点E′，交BC于点F，
①求证：BE′+BF=2；
②求出四边形OE′BF的⾯积．
【答案】解：(1)∵四边形为菱形，∠ADC=120°
∴∠ADO=60°
∴△ABD为等边三⾓形
∴∠DAO=30°，∠ABO=60°
∴△EOB为等边三⾓形，边长OB=2
∴重合部分的⾯积：√3
4
×4=√3
(2)①证明：在图3中，取AB中点E
由(1)知，
⼜
≌△OBF
，
②由①知，在旋转过程60°中始终有≌△OBF，
∴四边形的⾯积等于S △OEB =√3
【解析】(1)先判断出△ABD 是等边三⾓形，进⽽判断出△EOB 是等边三⾓形，即可得出结论；
(2)先判断出
≌△OBF ，再利⽤等式的性质即可得出结论； (3)借助①的结论即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了全等三⾓形的判定和性质，菱形的性质，等边三⾓形的判定和性质，判
断出
≌△OBF 是解本题的关键．
26. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点，与y
轴交于点C(0,3)，且此抛物线的顶点坐标为M(?1,4)． (1)求此抛物线的解析式；
(2)设点D 为已知抛物线对称轴上的任意⼀点，当△ACD 与△ACB ⾯积相等时，求点D 的坐标；
(3)点P 在线段AM 上，当PC 与y 轴垂直时，过点P 作x 轴的垂线，垂⾜为E ，将△PCE 沿直线CE 翻折，使点P 的对应点P′与P 、E 、C 处在同⼀平⾯内，请求出点P′坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．
【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点C(0,3)，顶点为M(?1,4)，∴{c =3?b
2a =?1a ?b +c =4
，解得：{a =?1b =?2c =3．
∴所求抛物线的解析式为y =?x 2?2x +3． (2)依照题意画出图形，如图1所⽰．
令y =?x 2?2x +3=0，解得：x =?3或x =1，故A (?3,0)，B(1,0)，
∴OA =OC ，△AOC 为等腰直⾓三⾓形．设AC 交对称轴x =?1于F(?1,y F )，
由点A(?3,0)、C(0,3)可知直线AC 的解析式为y =x +3，∴y F =?1+3=2，即F(?1,2)．设点D 坐标为(?1,y D )，则S △ADC =12DF ?AO =1
2×|y D ?2|×3．
⼜∵S △ABC =1
2AB ?OC =1
2×[1?(?3)]×3=6，且S △ADC =S △ABC ，∴1
2×|y D ?2|×3.=6，解得：y D =?2或y D =6．
∴点D 的坐标为(?1,?2)或(?1,6)．
(3)如图2，点P′为点P 关于直线CE 的对称点，过点P′作PH ⊥y 轴于H ，设P′E 交y 轴于点N ．
在△EON 和△CP′N 中，{∠CNP′=∠ENO
∠CP′N =∠EON =90°P′C =PC =OE
，
∴△EON ≌△CP′N(AAS)．设NC =m ，则NE =m ，
∵A(?3,0)、M(?1,4)可知直线AM 的解析式为y =2x +6，
∴当y =3时，x =?32，即点P(?3
2,3)．∴P′C =PC =3
2，P′N =3?m ，在Rt △P′NC 中，由勾股定理，得：(3
2)2+(3?m)2=m 2，
解得：m =
158．
∵S △P′NC =12CN ?P′H =1
2P′N ?P′C ，∴P′H =
910
．
由△CHP′∽△CP′N 可得：，
∴CH =
CP′2CN
=6
5
，∴OH =3?6
5=95，∴P′的坐标为(9
10,9
5).
将点P′(9
10,9
5)代⼊抛物线解析式，
得：y =?(9
10)2?2×9
10+3=39
100≠9
5，∴点P′不在该抛物线上．
【解析】(1)由抛物线经过的C 点坐标以及顶点M 的坐标，利⽤待定系数法即可求出抛物线解析式； (2)设点D 坐标为(?1,y D )，根据三⾓形的⾯积公式以及△ACD 与△ACB ⾯积相等，即可得出关于y D 含绝对值符号的⼀元⼀次⽅程，解⽅程即可得出结论；
(3)作点P 关于直线CE 的对称点P′，过点P′作PH ⊥y 轴于H ，设P′E 交y 轴于点N.根据对称的性质即可得出△EON ≌△CP′N ，从⽽得出CN =NE ，由点A 、M 的坐标利⽤待定系数法可求出直线AM 的解析式，进⽽得出点P 的坐标，在Rt △P′NC 中，由勾股定理可求出CN 的值，再由相似三⾓形的性质以及线段间的关系即可找出点P′的坐标，将其代⼊抛物线解析式中看等式是否成⽴，由此即可得出结论．
本题考查了待定系数法求函数解析式、三⾓形的⾯积公式、全等三⾓形的判定及性质以及相似三⾓形的性质，解题的关键是：(1)利⽤待定系数法求出函数解析式；(2)找出关于y D 含绝对值符号的⼀元⼀次⽅程；(3)求出点P′坐标.本题属于中档题，难度不⼩，(3)中求出点P′的坐标是本题的难点，使⽤垂直平分线的性质找点的坐标亦可．。