孝义市第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

孝义市第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立是（ ）
A
．
＞
B
．
＞
C ．|a|＞|b|
D ．a 2＞b 2
2． 已知点A （0，1），B （﹣2，3）C （﹣1，2），D （1，5
），则向量
在
方向上的投影为（ ）
A
．
B
．﹣
C
．
D
．﹣
3． 有以下四个命题： ①
若
=，则x=y ． ②若lgx 有意义，则x ＞0． ③若x=y
，则
=
．
④若x ＞y ，则 x 2＜y 2． 则是真命题的序号为（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
4． 三个实数a 、b 、c 成等比数列，且a+b+c=6，则b 的取值范围是（ ） A ．[﹣6，2] B ．[﹣6，0）∪（ 0，2] C ．[﹣2，0）∪（ 0，6] D ．（0，2]
5． 若不等式1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，则4a ﹣2b 的取值范围是（ ） A ．[5，10]
B ．（5，10）
C ．[3，12]
D ．（3，12）
6． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为 1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）
A
． B
． C ．1 D
．
7． 设数集M={x|m ≤x ≤
m+}，N={x|n
﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
8． 线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）
A ．A
B ⊂α
B ．AB ⊄α
C ．由线段AB 的长短而定
D ．以上都不对
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
9．已知函数f（x）=x2﹣，则函数y=f（x）的大致图象是（）
A．B．C．D．
10．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（）
A．20 B．25 C．22.5 D．22.75
11．已知集合A={y|y=x2+2x﹣3}，，则有（）
A．A⊆B B．B⊆A C．A=B D．A∩B=φ
12．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
13
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升．
14．下列函数中，①；②y=；③y=log2x+log x2（x＞0且x≠1）；④y=3x+3﹣x；⑤；
⑥；⑦y=log2x2+2最小值为2的函数是（只填序号）
15．已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为．
16．设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=﹣1，=S n．则数列{a n}的通项公式a n=．
17．已知函数，则__________；的最小值为__________．
18．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（）t﹣a（a为常数），
如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．
三、解答题
19．（1）化简：
（2）已知tanα=3，计算的值．
20．设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．
（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA⊥PD，Q为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；
（Ⅱ）若平面PAD⊥底面ABCD，求直线PD与平面AQC所成角的正弦值．
22．函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=﹣1．
（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（2）求函数f（x）的解析式．
23．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+（n∈N*）．证明：对一切n∈N*，有
（Ⅰ）＜；
（Ⅱ）0＜a n＜1．
24．永泰青云山特产经营店销售某种品牌蜜饯，蜜饯每盒进价为8元，预计这种蜜饯以每盒20元的价格销售时该店一天可销售20盒，经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售4盒，每增加一元则减少销售1盒，现设每盒蜜饯的销售价格为x元．
（1）写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润y（元）与每盒蜜饯的销售价格x的函数关系式；（2）当每盒蜜饯销售价格x为多少时，该特产店一天内利润y（元）最大，并求出这个最大值．
孝义市第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b＞0，
∴|a|＞|b|，a2＞b2，即，
可知：B，C，D都正确，
因此A不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
2．【答案】D
【解析】解：∵；
∴在方向上的投影为==．
故选D．
【点评】考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．
3．【答案】A
【解析】解：①若=，则，则x=y，即①对；
②若lgx有意义，则x＞0，即②对；
③若x=y＞0，则=，若x=y＜0，则不成立，即③错；
④若x＞y＞0，则x2＞y2，即④错．
故真命题的序号为①②
故选：A．
4．【答案】B
【解析】解：设此等比数列的公比为q，
∵a+b+c=6，
∴=6，
∴b=．
当q＞0时，=2，当且仅当q=1时取等号，此时b∈（0，2]；
当q＜0时，b=﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b∈[﹣6，0）．
∴b的取值范围是[﹣6，0）∪（0，2]．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．【答案】A
【解析】解：令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b）
即
解得：x=3，y=1
即4a﹣2b=3（a﹣b）+（a+b）
∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，
∴3≤3（a﹣b）≤6
∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10
故选A
【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，y，是解答的关键．
6．【答案】B
【解析】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，
又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，
∴半圆锥的底面半径为1，高为，
即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，
故侧视图的面积是，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
7．【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，
P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，
∴根据题意，M的长度为，N的长度为，
当集合M∩N的长度的最小值时，
M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是=．
故选：C．
8．【答案】A
【解析】解：∵线段AB在平面α内，
∴直线AB上所有的点都在平面α内，
∴直线AB与平面α的位置关系：
直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α
故选A．
【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．
9．【答案】A
【解析】解：由题意可得，函数的定义域x≠0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足f（﹣1）=f（1）=1，可排除B、C两个选项．
∵当x＞0时，t==在x=e时，t有最小值为
∴函数y=f（x）=x2﹣，当x＞0时满足y=f（x）≥e2﹣＞0，
因此，当x＞0时，函数图象恒在x轴上方，排除D选项
故选A
10．【答案】C
【解析】解：根据频率分布直方图，得；
∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，
0.3+0.08×5=0.7＞0.5；
∴中位数应在20～25内，
设中位数为x，则
0.3+（x﹣20）×0.08=0.5，
解得x=22.5；
∴这批产品的中位数是22.5．
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．
11．【答案】B
【解析】解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴y≥﹣4．
则A={y|y≥﹣4}．
∵x＞0，
∴x+≥2=2（当x=，即x=1时取“=”），
∴B={y|y≥2}，
∴B⊆A．
故选：B．
【点评】本题考查子集与真子集，求解本题，关键是将两个集合进行化简，由子集的定义得出两个集合之间的关系，再对比选项得出正确选项．
12．【答案】B
【解析】解：函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），
∵点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，
∴m+n=1．
则=（m+n）=2+=4，当且仅当m=n=时取等号．
故选：B．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】8升．
【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．故答案是：8．
14．【答案】①③④⑥
【解析】解：①∵x与同号，故=|x|+||，由|x|＞0，||＞0
∴=|x|+||≥2=≥2，故正确；
②y==+，由＞0，＞0，
∴y=+≥2=2，故正确；
③当＜x＜1时，log2x＜0时，y=log2x+log x2≤﹣2，故错误；
④由3x＞0，3﹣x＞0，
∴y=3x+3﹣x≥2=2，故正确；
⑤当x＜0时，≤﹣6，故错误；
⑥∵＞0，＞0，
则≥=2，故正确；
⑦∵x2＞0，故y=log2x2∈（﹣∞，+∞），故y=log2x2+2∈（﹣∞，+∞），故错误；
故答案为：①③④⑥
【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是基本不等式的应用条件的判断
15．【答案】．
【解析】解：已知数列1，a1，a2，9是等差数列，∴a1+a2 =1+9=10．
数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，∴=1×9，再由题意可得b2=1×q2＞0 （q为等比数列的公比），
∴b2=3，则=，
故答案为．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．
16．【答案】．
【解析】解：S n是数列{a n}的前n项和，且a1=﹣1，=S n，
∴S n+1﹣S n=S n+1S n，
∴=﹣1，=﹣1，
∴{}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列，
∴=﹣1+（n﹣1）×（﹣1）=﹣n．
∴S n=﹣，
n=1时，a1=S1=﹣1，
n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣+=．
∴a n=．
故答案为：．
17．【答案】
【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数
【试题解析】
当时，
当时，
故的最小值为
故答案为：
18．【答案】0.6
【解析】解：当t＞0.1时，可得1=（）0.1﹣a
∴0.1﹣a=0
a=0.1
由题意可得y≤0.25=，
即（）t﹣0.1≤，
即t﹣0.1≥
解得t≥0.6，
由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
故答案为：0.6
【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）
=
=cosαtanα=sinα．
（2）已知tanα=3，∴===．
【点评】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，
由f′（x）=0，得x1=，x2=，x1＜x2，
∴由f′（x）＜0得x＜，x＞；
由f′（x）＞0得＜x＜；
故f（x）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减，
在（，）上单调递增；
（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈，当时，即a≥4
①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．
②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在单调递增，在上单调递减，
因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，
∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；
当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；
当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接QN，BN．
∵Q，N是PD，PA的中点，
∴QN∥AD，且QN=AD．
∵PA=2，PD=2，PA⊥PD，
∴AD=4，
∴BC=AD．又BC∥AD，
∴QN∥BC，且QN=BC，
∴四边形BCQN为平行四边形，
∴BN∥CQ．又BN⊂平面PAB，且CQ⊄平面PAB，
∴CQ∥平面PAB．
（Ⅱ）解：取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO．
由（Ⅰ）知PA=AM=PM=2，
∴△APM为等边三角形，
∴PO⊥AM．同理：BO⊥AM．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，3，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，），C（，2，0），Q（0，，）．
∴=（，3，0），=（0，3，﹣），=（0，，）．
设平面AQC的法向量为=（x，y，z），
∴，令y=﹣得=（3，﹣，5）．
∴cos＜，＞==﹣．
∴直线PD与平面AQC所成角正弦值为．
22．【答案】
【解析】（1）证明：设x2＞x1＞0，∵f（x1）﹣f（x2）=（﹣1）﹣（﹣1）=，
由题设可得x2﹣x1＞0，且x2•x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣1=﹣f（x），∴f（x）=+1．
又f（0）=0，故函数f（x）的解析式为f（x）=．
23．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+（n∈N*），
∴a n＞0，a n+1=a n+＞0（n∈N*），a n+1﹣a n=＞0，
∴，
∴对一切n∈N*，＜．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对一切k∈N*，＜，
∴，
∴当n≥2时，
=
＞3﹣[1+]
=3﹣[1+]
=3﹣（1+1﹣）
=，
∴a n＜1，又，
∴对一切n∈N*，0＜a n＜1．
【点评】本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用，注意不等式性质的灵活运用．
24．【答案】
【解析】解：（1）当0＜x≤20时，y=[20+4（20﹣x）]（x﹣8）=﹣4x2+132x﹣800，
当20＜x＜40时，y=[20﹣（x﹣20）]（x﹣8）=﹣x2+48x﹣320，
∴
（2）①当，
∴当x=16.5时，y取得最大值为289，
②当20＜x＜40时，y=﹣（x﹣24）2+256，
∴当x=24时，y取得最大值256，
综上所述，当蜜饯价格是16.5元时，该特产店一天的利润最大，最大值为289元．。