数学三极坐标计算二重积分

D
(1) D : a x y b
2
2
解
f ( x, y )d . 0 d a f r cos , r sin rdr
b
D
2
被积函数奇 偶不确定
(2) D : x y 2 x
2 2
解
f ( x, y )d .
D
2 d
2

2 cos
i i
ri ( ri ri ) ri i 2
i
D
r dr d
面积元素
ri ri i ,
i
d rdrd
D
o
利用扇形的 面积公式
A
极坐标系下区域的面积
rdrd .
CH21-重积分
2. 二重积分转化为极坐标形式的表达式

应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积 2 2 ( x y )的用此简便. 函数含
二、极坐标系下二重积分化累次积分
方法： 极坐标系下区域如图所示：
CH21-重积分
三线 法
确定极坐标系下先r后 积分的方法
=
r 2 ( ).
-型： ,
1 ( ) r 2 ( ).
所以圆方程为 r 1,
x2 y2 1
1 直线方程为 r , sin cos f ( x, y )dxdy
D
x y 1
d
2

1
0
1 sin cos
f ( r cos , r sin )rdr .
CH21-重积分
练习 化二重积分
2 2
f ( x, y )d .为极坐标下的二次积分.
确定积分限是关键
D
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy
D
一、极坐标系下二重积分的表达式
y
CH21-重积分
x r cos y r sin
r
0

M ( x, y) ( r , )
x
f ( x , y )d
D
在极坐标系下
?
极坐标系下的面积元素如何表示？ 极坐标系下被积函数如何表示？ 极坐标系下的区域如何表示？
CH21-重积分
1. 极坐标系下的面积元素的确定
计算小扇形的面积 i
（用极坐标曲线划分D）
1 1 2 1 2 2 i ( ri ri ) i ri i s r 2 2 2 1 r ri ri ( 2ri ri )ri i 2 r ri
关键

D
f ( x , y )dxdy .
化 被 积 函 数
x r cos y r sin
rdrd x y r
2 2
2
Dr
f ( r cos , r sin )
D
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
d
c
dy
2 ( y )
1 ( y )
f ( x , y )dx. ［Y－型］
关键
确定累次积分限 直角坐标系下的面积元素
知识点回顾
y[1 xf ( x y )]dxdy 计算I dx e dy
1 x
2 CH212 重积分 y2 D: y 1, y x 2 0
考研—填空题
2
例 例 2 写出积分 f ( x , y )dxdy 的极坐标二次积分形 D 题 分 式，其中积分区域 析 D {( x , y ) | 1 x y 1 x 2 , 0 x 1}.
CH21-重积分
x r cos 解 在极坐标系下 y r sin
极点在区域D内部
CH21-重积分
思考: 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切于原点, 试问 的变化范围是什么?
(1)
y
r ( )
(2) y
r ( )
D
o x
( 2)
D
x

2
o
答:
(1) 0 ;

2

例 sin( x 2 y 2 ) dxdy, 例 1 计算二重积分 2 2 题 x y D 分 其中积分区域为 D {( x , y ) | 1 x 2 y 2 4}. 析 解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
0
(2) 交换二次积分的积分次序 画出积分区域形状， 确定新的二次积分限
关键
(3) 利用对称性和奇偶性化简二重积分
重要 结论

D
2 f ( x , y )dxdy , f关于D上 关于x为偶函数 f ( x , y )dxdy D1 0 f在D上关于 x 为奇函数
4 f ( x , y )dxdy , f关于 x 且关于 y 为偶函数 f ( x , y )dxdy D1 0 f关于 x 且关于 y 为奇函数
1 ( )
CH21-重积分
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征（二）如图
,
0 r ( ).
D
r ( )

D
f ( r cos , r sin )rdrd
( )

o

A
d
0
f ( r cos , r sin )rdr .
z
S : z a2 x2 y2 Dxy: x2+y2≤ax, y≥0.
y z
S
y x
Dxy
x
CH21-重积分
例5 求球体x 2 y 2 z 2 4a 2 被圆柱面x 2 y 2 2ax(a 0)
所截得的（含在圆柱面 内的部分）立体的体积 . z
252-4
解 由对称性
解题步骤：
的二重积分，需依下列步骤进行：
(1) 将
CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下
x r cos , y r sin 代入被积函数.
(2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式， 确定相应的积分限-------做题关键 (3) 将面积元dxdy换为rdrdθ.
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的
二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.
例3
计算 ( x y )dxdy，其 D 为由圆
2 2 D
CH21-重积分
x 2 y 2 2 y ， x 2 y 2 4 y 及直线 x 3 y 0， y 3x 0 所围成的平面闭区域.
4 sin 2
CH21-重积分
例 4 求曲线 ( x 2 y 2 )2 2a 2 ( x 2 y 2 ) 和 x 2 y 2 a 2 所围成的图形的面积.
解
根据对称性有 D 4 D1
在极坐标系下
D1
x y a r a,
2 2 2
( x 2 y 2 )2 2a 2 ( x 2 y 2 ) r a 2 cos 2 ,
r 1 ( )
CH21-重积分
251页
r 2 ( )
,
1 ( ) r 2 ( ).
r 1 ( )
D

o
r 2 ( )

A
D

极点在积分区域外


D
o A f ( r cos , r sin )rdrd 2 ( ) d f ( r cos , r sin )rdr .
解题步骤：
的二重积分，需依下列步骤进行：
(1) 将
CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下
x r cos , y r sin 代入被积函数.
(2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式， 确定相应的积分限-------做题关键 (3) 将面积元dxdy 换为 rdrdθ .
极坐标系下的累次积分
r 1 (D ).
o
=
A
f ( x, y )d f (r cos , r sin )rddr
D D
d


2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin )rdr
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征（一）如图：
CH21-重积分
数学三
利用极坐标计算 二重积分
CH21-重积分
利用极坐标计算二重积分---249页
主要内容
极坐标系下的面积元素的确定 二重积分转化为极坐标形式表达式 极坐标系下的二重积分化为累次积分 本节重点 极坐标系下二重积分的 ----计算方法 本节关键
如何将二重积分化为 极坐标形式累次积分
0
f r cos , r sin rdr
r 2 cos
1
小结
CH21-重积分
如果积分区域D为圆、
半圆、圆环、扇形域等，或被积函数
f (x2+y2) 形式，利用极坐标常能简化计算. 通常出现下面两类问题： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分， 2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分
2 2
CH21-重积分
解 由对称性，可只考虑第一象限部分， D 4 D1 注意：被积函数也要有对称性. sin( x2 y2 ) I dxdy 2 2 x y D
sin( x 2 y 2 ) 4 dxdy 2 2 x y D1
利用极坐标系计算
D1
考研—填空题

D
知识点回顾
(4) 应用问题
--由曲面所围成的立体体积的计算
z
CH21-重积分
y
x
方法
f ( x, y) z上 z下 .
思 计算二重积分 I dxdy , x y 考 其中积分区域为 D {( x , y ) | 1 x 2 y 2 4}. 题
D 2 2
sin( x y )
伯努利双曲线
CH21-重积分
r a 2 cos 2 由 , ra
得交点 A ( a, ) , 6
所求面积
dxdy
D
D1
6
4 dxdy
4 d
0
2
a 2 cos 2
a
rdr
a ( 3 ). 3
CH21-重积分
例5求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a>0)内 部的那部分面积. 解：A=4A1
极点在区域 D 的边界 上
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征（三）如图
0 2,
0 r ( ).
CH21-重积分
r ( )
D
f (r cos , r sin )rdrd
D
o
A
d
0
2
( )
0
f ( r cos , r sin )rdr .
解
y 3x 0 2

3
x 2 y 2 4 y r 4 sin
6 x 2 y 2 2 y r 2 sin
x 3y 0 1
3

( x
D
2
y )dxdy
2
6
d r rdr 15( 3 ). 2 sin 2
知识点回顾
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy D D
CH21-重积分
(1)直角坐标下累次积分的计算公式

D
f ( x , y )d

b
a
dx
2 ( x )
1 ( x )
f ( x , y )dy. ［X－型］
f ( x, y )d
体积微元
y
V 4 4a 2 x 2 y 2 dxdy
D
其中D为半圆周 y 2ax x 2 及x轴
sin( x y ) x 2 y 2 dxdy D
2 2
CH21-重积分
D 4 D1
0

D1
1 r 2 sin( x 2 y 2 ) 4 dxdy 2 2 x y D1 印象 2 sin r 2 4 d rdr 4. 0 1 r
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的
二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.
作业：P254 -1,2，
CH21-重积分
休息一会儿
CH21-重积分
如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，
或被积函数 f (x2+y2) 形式，
利用极坐标常能简化计算.
通常出现下面两类问题： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分， 2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分