2022-2023学年初二年级第一学期期末考试 (数学)(含答案)092150

2022-2023学年初二年级第一学期期末考试 (数学)试卷
考试总分：115 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
1. 下列运算正确的是( )
A.B.C.D.
2. 小淇将展开后得到；小嘉将展开后得到
，若两人计算过程无误，则的值为( )
A.B.C.D.
3. 已知下列各数：，，，，，， ，，．在以上各数中：①整数有个；②负数有个；③正分数有个；④正数有个；⑤负整数有个．其中正确的是
( )
A.①②③
B.②③④
C.③④⑤
D.①④⑤
4. 如图，已知等腰，，是上一点，线段与关于直线对称，射线交
射线于点，连接，．则下列关系正确的是 A.B.C.D.
5. 是等腰三角形，，且，则 A.a ⋅=a 5a 5
=6(2a)3a 3
=−2x−1
(x−1)2x 2÷=
a 3a 41
a (2019x+2020)2+x+a 1x 2
b 1
c 1(2020x−2019)2+x+a 2x 2b 2c 2−a 1a 2−1
−4039
4039
1
+10−217−(−0.4)−3.1420+13(−)23
2−|−0.01|43362△ABC AB=BC D AC BE BA BD CE BD F AE AF ()
∠AFE+∠ABE =180∘
∠AEF =∠ABC 12
∠AEC +∠ABC =180∘
∠AEB=∠ACB
△ABC AB =AC ∠C =2∠A ∠A =()
18∘
B.C.D.
6. 若等腰三角形的两边长分别是、，则等腰三角形的周长是( )
A.或
B.
C.
D.二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
7. 计算： ________.
8. 已知，，，满足＝，＝，则的值为________．
9. 因式分解： ________．
10. 如图， 的边长为．其三条角平分线交于点，若，则点到的距离
________.
11. 如图，学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，连接，测出
，，
，，，求需要绿化部分的面积________．
12. 若三角形的两边长是和，且第三边的长度是偶数，则第三边长可能是________．
三、 解答题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）
13. 计算：．
14. 先化简，再求值：
，其中 .
15. 解方程：
. 30∘
36∘
54∘
3cm 6cm 12cm 15cm
15cm
12cm
9cm
x÷(−x)=
x 2a b m n am+bn 9an−bm 3(+)(+)a 2b 2m 2n 24−9=a 2△ABC AB 5O =5S △ABO O AC AC CD =3AD =4BC =12AB =13AD ⊥CD 52(x−y −(x−y)(y+x)12)21212
+−4−4a 22a +21a −2a =3=1−x−2x+294−x 2
16. 如图，于，于，若，．
求证：平分；
直接写出
，，之间的等量关系．
17. 在的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请移动其中一个正方形到空白方格中，与其
余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形．
18. 填写下列空格：
已知：如图，点在上，平分.
求证：.
证明：平分(已知)，________(________)
(已知).
________(________)
________(________)
.(________) 19. 某学校利用暑假对操场进行塑胶跑道的建设，承包单位派甲队进行施工，计划用天时间完成整
个工程，当甲队工作天后，承包单位接到通知，有一大型比赛要在该操场举行，要求比原计划提前
天完成这个工程，于是承包单位派遣乙队与甲队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整
个工程．
乙队单独工作完成整个工程需要多少天？
若刚开始，由甲乙两队同时进行施工，完成整项工程需要多少天？
20. 如图，已知坐标平面内的三个点 ，
， ，把三角形向下平移个单位长
度再向右平个单位长度后得到三角形.
画出三角形并写出，，的三个对应点，，的坐标；
求三角形的面积．
DE ⊥AB E DF ⊥AC F BD =CD BE =CF (1)AD ∠BAC (2)AB AC AE 4×4E,F AB CF ∠DCE ，∠DCE =∠AEC ∠1=∠2∵CF ∠DCE ∴∠2=∠∵∠DCE =∠AEC ∴AB CD ∴∠1=∴∠1=∠2
45314(1)(2)A(1,3)B(3,1)O(0,0)ABO 32DEF (1)DEF A B O D E F (2)DEF
21. 如图，在中，，点在上，过点的直线分别交于点，交的延长线
于点
，且．求证．
22. 如图，在中，，，．以为边，在外作等边
，是的中点，连接并延长交于．
求证：四边形是平行四边形；如图
，将图中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长．
23. 如图，在正方形中，是对角线上的一点，点在的延长线上，且，
交于.
证明：；
求的度数；
如图，把正方形
改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究
线段与线段的数量关系，并说明理由．
△ABC AB =AC D BC D AB E AC F BE =CF DE =DF 1△OAB ∠OAB =90∘∠AOB =30∘OB =8OB △OAB △OBC D OB AD OC E (1)ABCE (2)21ABCO C A FG OG 1ABCD P BD E AD PA =PE PE CD F (1)PC =PE (2)∠CPE (3)2ABCD ABCD ∠ABC =120∘CE AP CE
参考答案与试题解析
2022-2023学年初二年级第一学期期末考试 (数学)试卷
一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
同底数幂的乘法
同底数幂的除法
幂的乘方与积的乘方
完全平方公式
【解析】
根据同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式及同底数幂的除法来解答即可.
【解答】
解：， ，故错误；
， ，故错误；
， ，故错误；，,故正确.故选.
2.
【答案】
B
【考点】
完全平方公式
平方差公式
【解析】
依据小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，即可得到，进而得出结论．
【解答】
解：∵展开后得到；
∴，
∵展开后得到，
∴，
∴.
故选.
3.
【答案】A a ⋅=a 5a 6A B =8(2a)3a 3B C =−2x+1(x−1)2x 2C D ÷=a 3a 41a D D (2019x+2020)2+x+a 1x 2b 1c 1(2020x−2019)2+x+a 2x 2b 2c 2−=a 1a 2−2020220192(2019x+2020)2+x+a 1x 2b 1c 1=a 120192(2020x−2019)2+x+a 2x 2b 2c 2=a 220202−=−a 1a 22019220202
=(2019+2020)(2019−2020)=−4039
B
A
【考点】
有理数的乘方
绝对值
有理数的概念
正数和负数的识别
【解析】
根据整数、负数、正分数、正数、负整数的定义分别找出即可得解．
【解答】
解：；；；①整数有，，，，共个，故①正确；
②负数有，，，共个，故②正确；
③正分数有，，，共个，故③正确；④正数有，， ，，共个，故④错误；⑤负整数有，共个，故⑤错误，
所以个结论中正确的有①②③.
故选．
4.
【答案】
B
【考点】
等腰三角形的性质
轴对称的性质
【解析】
由轴对称的性质可得，四边形中，＝，＝，故和都是等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及角的大小关系，即可得到正确结论．
【解答】
解：由轴对称的性质可得，四边形中，，，
∴，
∵等腰中，，
∴，
∴，
∴四边形中，，故错误；∵中，，中，，∴，故正确；∵，
∴，，
−(−0.4)=0.4=(−)23249
−|−0.01|=−0.01+10−21704−2−3.142−|−0.01|3−(−0.4)+13(−)23
2
3+1017−(−0.4)+，13(−)23
2
5−215A ABEF AB EB AF EF △ABE △EBC ABEF AB=EB AF =EF ∠BAF=∠BEF △BCE ∠BEC <90∘∠BEF >90∘∠BAF >90∘ABEF ∠AFE+∠ABE <180∘A △ABE ∠AEB =−∠ABE 180∘2△BCE ∠BEC =−∠CBE 180∘2∠AEF =−∠AEB−∠BEC 180∘=−−180∘−∠ABE 180∘2−∠CBE 180∘2=(∠ABE+∠CBE)12=∠ABC 12B AB=CB =EB ∠AEB=∠EAB ∠BEC=∠BCE
∴，
∴，故错误；
∵，，，
∴，故错误；
故选.
5.
【答案】
C
【考点】
三角形内角和定理
等腰三角形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴，
即，
∴.
故选.
6.
【答案】
B
【考点】
三角形三边关系
等腰三角形的性质
【解析】
分类讨论：底边为，底边为，根据三角形的周长公式，可得答案．
【解答】
解：底边为，腰长为，
这个三角形的周长是，
底边为，腰长为，，
不能以为底构成三角形，
故该等腰三角形的周长是．
故选.
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
7.
【答案】
∠AEC=∠EAB+∠ECB >∠CAB+∠ACB ∠AEC +∠ABC >∠CAB+∠ACB+∠ABC =180∘C ∠AEB=∠EAB ∠BAC=∠BCA ∠BAE >BAC ∠AEB >ACB D B AB =AC ∠B =∠C ∠C =2∠A ∠B =∠C =2∠A ∠A+∠B+∠C =180∘∠A+2∠A+2∠A =180∘5∠A =180∘∠A =36∘C 3cm 6cm 3cm 6cm 3+6+6=15cm 6cm 3cm 3+3=66cm 15cm B 1
x−1
【考点】
分式的化简求值
【解析】
直接分式运算，即可得出答案.
【解答】
解：.
故答案为：.
8.【答案】
【考点】
多项式乘多项式
【解析】
将已知两等式分别平方后可得＝ ①，＝
②，①+②得＝，等式左边因式分解即可得答案．
【解答】
∵＝，＝，
∴＝，即＝ ①，
＝，即＝②，
∴①+②得：＝，
∴＝，
∴＝．
9.
【答案】
【考点】
因式分解-运用公式法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解，
故答案为．
10.
【答案】
【考点】x÷(−x)=x 2x
−x
x 2==x
x(x−1)1
x−11
x−190
−2abmn+a 2m 2b 2n 281+2abmn+a 2n 2b 2m 2
9+++a 2m 2b 2n 2a 2n 2b 2m 290am+bn 9an−bm 3(am+bn)281+2abmn+a 2m 2b 2n 281(an−bm)29−2abmn+a 2n 2b 2m 29+++a 2m 2b 2n 2a 2n 2b 2m 290(+)+(+)a 2m 2n 2b 2m 2n 290(+)(+)a 2b 2m 2n 290(2a −3)(2a +3)
:4−9=−a 2(2a)232
=(2a −3)(2a −3):(2a −3)(2a −3)2
角平分线的性质
三角形的面积
【解析】
作于，于，根据三角形的面积公式求出OD ，根据角平分线的性质得到OE=OD ，即可解得.
【解答】
解：作于，于
.
，
.
点是三条角平分线的交点，
，
即点到的距离为.
故答案为：.11.
【答案】
24
【考点】
相似三角形的应用
三角形的面积
勾股定理
【解析】
由为直角三角形
△ABC 为直角三角形，则为直角三角形，即可求解．
【解答】
解：为直角三角形，且 30-6 =2412.
【答案】
或OD ⊥AB D OE ⊥AC E OD ⊥AB D OE ⊥AC E ∵=AB×OD =OD =5
S △ABO 1252∴OD =2∵O ∴OE =OD =2O AC 22A +B =+=169C 2C 252122A ==169B 2132A +B =A C 2C 2B 2
△ABC △ABC ∠ADC =90∘
A =A +C =16+9=25=C 2D 2D 252
A +
B =+=169
C 2C 252122A ==169B 2132A +B =A C 2C 2B 2
△ABC ∠ACB =90∘
=S 阴影ACB−△ADC S △=⋅AC ⋅BC −⋅AD ⋅CD 1212=46
【考点】
三角形三边关系
【解析】
能够根据三角形的三边关系“第三边应等于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．
【解答】
根据三角形的三边关系，得：第三边的取值范围是大于而小于，
又∵第三边的长是偶数，则第三边的长为或，
三、 解答题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）
13.
【答案】
解：原式．【考点】
完全平方公式
平方差公式
【解析】首先利用完全平方公式与平方差公式计算，然后再合并同类项即可求得答案．
【解答】
解：原式．14.
【答案】
解：原式，当时，原式．【考点】
分式的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】3746=−xy+−(−)
x 214y 2x 214
y 2=−xy+12
y 2=−xy+−(−)
x 214y 2x 214
y 2=−xy+12y 2=+4(a +2)(a −2)2a −4(a +2)(a −2)
−
a +2
(a +2)(a −2)=4+2a −4−a −2(a +2)(a −2)=1a +2a =3==13+215+42a −4
解：原式，当时，原式．15.【答案】解：方程变形得：
，去分母得：，
整理，得，解得：，经检验：是原方程的解，∴原方程的解为【考点】
解分式方程——可化为一元一次方程
【解析】
暂无
【解答】
解：方程变形得：
，去分母得：，
整理，得，解得：，经检验：是原方程的解，∴原方程的解为.16.【答案】
证明：∵于，于，
∴，
∴与均为直角三角形，
∵∴，
∴，
∵，，
∴平分.
解：．
理由如下：
∵，平分，
∴，
∵，
在与中，
∵=
+4(a +2)(a −2)2a −4(a +2)(a −2)
−
a +2
(a +2)(a −2)=4+2a −4−a −2(a +2)(a −2)=1a +2a =3==13+215+=1x−2x+294−x 2
−9=−4(x−2)2x 2−4x =1x =−14x =−14x =−14+=1x−2x+294−x 2
−9=−4(x−2)2x 2−4x =1x =−14x =−14x =−14(1)DE ⊥AB E DF ⊥AC F ∠E =∠DFC =90∘△BED △CDF { BD =CD ，BE =CF ，
Rt △BDE ≅Rt △CDF (HL)DE =DF DE ⊥AB DF ⊥AC AD ∠BAC (2)AB+AC =2AE BE =CF AD ∠BAC ∠EAD=∠CAD ∠E =∠AFD =90∘△AED △AFD ∠EAD =∠CAD ，
AD =AD ，∠E =∠AFD ，
∴，
∴，
∴．
【考点】
全等三角形的性质与判定
角平分线的定义
角平分线的性质
【解析】（1）根据相“”定理得出，故可得出＝，所以平分；
（2）由（1）中可知＝，平分，故可得出，所以＝，故＝＝＝．
【解答】
证明：∵于，于，
∴，
∴与均为直角三角形，
∵∴，
∴，
∵，，
∴平分.
解：．
理由如下：
∵，平分，
∴，
∵，
在与中，
∵∴，
∴，
∴．
17.【答案】解：如图所示：
．
【考点】
利用轴对称设计图案
【解析】
本题答案不唯一，同学们可以任意发挥，只要满足移动之后四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形即可．
【解答】
解：如图所示：
△AED ≅△AFD (AAS)AE =AF AB+AC =AE−BE+AF +CF
=AE+AF =2AE HL △BDE ≅△CDF DE DF AD ∠BAC △BDE ≅△CDE BE CF AD ∠BAC △AED ≅△AFD AE AF AB+AC AE−BE+AF +CF AE+AE 2AE (1)DE ⊥AB E DF ⊥AC F ∠E =∠DFC =90∘△BED △CDF { BD =CD ，BE =CF ，
Rt △BDE ≅Rt △CDF (HL)DE =DF DE ⊥AB DF ⊥AC AD ∠BAC (2)AB+AC =2AE BE =CF AD ∠BAC ∠EAD=∠CAD ∠E =∠AFD =90∘△AED △AFD ∠EAD =∠CAD ，
AD =AD ，∠E =∠AFD ，
△AED ≅△AFD (AAS)AE =AF AB+AC =AE−BE+AF +CF =AE+AF =2AE
．
18.
【答案】
证明：平分(已知)，
(角平分线的定义)
(已知).
(内错角相等，两直线平行)
(两直线平行，内错角相等)
(等量代换).
【考点】
角平分线的性质
平行线的判定与性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：平分(已知)，
(角平分线的定义)
(已知).
(内错角相等，两直线平行)
(两直线平行，内错角相等)
(等量代换).19.
【答案】
解 设乙队单独工作完成整个工程需要天，依题可得，解得，
经检验，是原分式方程的解.
答：乙队单独工作完成整个工程需要天.由题可得（天）.
答：若刚开始，由甲乙两队同时进行施工，完成整项工程需要天.
【考点】
分式方程的应用
由实际问题抽象为分式方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解 设乙队单独工作完成整个工程需要天，依题可得，解得，
经检验，是原分式方程的解.
答：乙队单独工作完成整个工程需要天.
∵CF ∠DCE ∴∠2=∠FCD ∵∠DCE =∠AEC ∴AB//CD ∴∠1=∠FCD ∴∠1=∠2∵CF ∠DCE ∴∠2=∠FCD ∵∠DCE =∠AEC ∴AB//CD ∴∠1=∠FCD ∴∠1=∠2(1)x ×3+(+)×(45−3−14)=11451451x x =90x =9090(2)1÷(+)=3014519030(1)x ×3+(+)×(45−3−14)=11451451x x =90x =9090÷(+)=3011
由题可得（天）.
答：若刚开始，由甲乙两队同时进行施工，完成整项工程需要天.20.【答案】
解：如图，
即为所求．
则， ，..
【考点】
作图-平移变换
点的坐标
三角形的面积
【解析】（）根据要求画出图形即可，根据，，的位置写出坐标即可；
（2）利用分割法求解即可．
【解答】
解：如图，
即为所求．
则， ，..21.
【答案】证明：如图，过点作交于点．
(2)1÷(
+)=3014519030(1)△DEF D(3,0)E(5,−2)F (2,−3)(2)=3×3−×1×3−S △DEF 12×1×3−×2×21212
=9−−−23232=41D E F (1)△DEF D(3,0)E(5,−2)F (2,−3)(2)=3×3−×1×3−S △DEF 12×1×3−×2×21212
=9−−−23232=4E EG//AC BC G
∵，
∴，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
在和中， ∴,
∴
．
【考点】
含30度角的直角三角形
等边三角形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：如图，过点作交于点．
∵，
∴，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
在和中， ∴,
∴
．22.
【答案】
证明：∵中，为的中点，∴，,EG//AC ∠ACB =∠BGE ∠F =∠DEG AB =AC ∠B =∠ACB ∠B =∠BGE BE =GE BE =CF GE =CF △CDF △GDE ∠CDF =∠GDE
∠F =∠DEG,CF =GE.
△CDF ≅△GDE(AAS)DF =DE E EG//AC BC G EG//AC ∠ACB =∠BGE ∠F =∠DEG AB =AC ∠B =∠ACB ∠B =∠BGE BE =GE BE =CF GE =CF △CDF △GDE
∠CDF =∠GDE
∠F =∠DEG,CF =GE.△CDF ≅△GDE(AAS)
DF =DE (1)Rt △OAB D OB AD =OB 12OD =BD =OB 12
∴，
∴，，
∴，
又∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形.
解：设，由折叠可得：，在中，
∵，，，∴.
在中，，
，
解得：，
∴．
【考点】
平行四边形的应用
勾股定理
翻折变换（折叠问题）
等边三角形的性质
【解析】（1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，进而算出，再证明，，进而证出四边形是平行四边形；
（2）设，由折叠可得：，再利用三角函数可计算出，再利用勾股定理计算出的长即可．
【解答】
证明：∵中，为的中点，
∴，,
∴，
∴，，
∴，
又∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形.解：设，由折叠可得：，在中，
∵，，，
∴.在中，，
DO =DA ∠DAO =∠DOA =30∘∠EOA =90∘∠AEO =60∘△OBC ∠BCO =∠AEO =60∘BC//AE ∠BAO =∠COA =90∘CO//AB ABCE (2)OG =x AG =GC =8−x
Rt △ABO ∠OAB =90∘∠AOB =30∘BO =8AB =OB =4,OA ==412O −A B 2B 2−−
−−−−−−−−√3–√Rt △OAG O +O =A G 2A 2G 2+(4=(8−x x 23–√)2)2x =1OG =1DO =DA ∠DAO =∠DOA =30∘∠AEO =60∘BC//AE CO//AB ABCE OG =x AG =GC =8−x AO OG (1)Rt △OAB D OB AD =OB 12OD =BD =OB
12DO =DA ∠DAO =∠DOA =30∘∠EOA =90∘∠AEO =60∘△OBC ∠BCO =∠AEO =60∘BC//AE ∠BAO =∠COA =90∘CO//AB ABCE (2)OG =x AG =GC =8−x
Rt △ABO ∠OAB =90∘∠AOB =30∘BO =8AB =OB =4,OA ==412O −A B 2B 2−−−−−−−−−−√3
–√Rt △OAG O +O =A G 2A 2G 2+(4=(8−x 2–√)2)2
，
解得：，
∴．
23.
【答案】
证明：在正方形中，，
，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴；
解：由知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵（对顶角相等），
∴，
即解：；理由如下：
在菱形中，，，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵（对顶角相等），
∴，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【考点】
全等三角形的性质与判定
三角形内角和定理
正方形的性质
菱形的性质
全等三角形的性质
【解析】
（1）先证出，得，由于，得；
（2）由，得，进而得，由，得到，，最后得到结论；
（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．
+(4=(8−x x 23–√)2)2x =1OG =1(1)ABCD AB =BC ∠ABP =∠CBP =45∘△ABP △CBP AB =BC ，
∠ABP =∠CBP ，PB =PB ，
△ABP ≅△CBP(SAS)PA =PC PA =PE PC =PE (2)(1)△ABP ≅△CBP ∠BAP =∠BCP ∠DAP =∠DCP PA =PE ∠DAP =∠E ∠DCP =∠E ∠CFP =∠EFD −∠PFC −∠PCF =−∠DFE−∠E
180∘180∘∠CPF =∠EDF =.
90∘(3)AP =CE ABCD AB =BC ∠ABP =∠CBP =60∘△ABP △CBP AB =BC ，
∠ABP =∠CBP ，PB =PB ，
△ABP ≅△CBP(SAS)PA =PC ∠BAP =∠BCP ∠DAP =∠DCP PA =PE PC =PE ∠DAP =∠DEP ∠DCP =∠DEP ∠CFP =∠EFD −∠PFC −∠PCF 180∘=−∠DFE−∠DEF 180∘∠CPF =∠EDF =−∠ADC 180∘=−=180∘120∘60∘△EPC PC =CE AP =CE △ABP ≅△CBP PA =PC PA =PE PC =PE △ABP ≅△CBP ∠BAP =∠BCP ∠DAP =∠DCP PA =PC ∠DAP =∠E ∠DCP =∠E ∠CPF =∠EDF =90∘
【解答】
证明：在正方形中，，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴；
解：由知，，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵（对顶角相等），∴，即解：；
理由如下：
在菱形中，，，在和中，
∴，
∴，，∴，
∵，
∴，，∴，
∵（对顶角相等），∴，即，∴是等边三角形，
∴，
∴．(1)ABCD AB =BC ∠ABP =∠CBP =45∘△ABP △CBP AB =BC ，
∠ABP =∠CBP ，
PB =PB ，
△ABP ≅△CBP(SAS)PA =PC PA =PE PC =PE (2)(1)△ABP ≅△CBP ∠BAP =∠BCP ∠DAP =∠DCP PA =PE ∠DAP =∠E ∠DCP =∠E ∠CFP =∠EFD −∠PFC −∠PCF =−∠DFE−∠E 180∘180∘∠CPF =∠EDF =.
90∘(3)AP =CE ABCD AB =BC ∠ABP =∠CBP =60∘△ABP △CBP AB =BC ，
∠ABP =∠CBP ，
PB =PB ，
△ABP ≅△CBP(SAS)PA =PC ∠BAP =∠BCP ∠DAP =∠DCP PA =PE PC =PE ∠DAP =∠DEP ∠DCP =∠DEP ∠CFP =∠EFD −∠PFC −∠PCF 180∘=−∠DFE−∠DEF 180∘∠CPF =∠EDF =−∠ADC 180∘=−=180∘120∘60∘△EPC PC =CE AP =CE。