2012年1月最新最细)2011全国中考真题解析120考点汇编☆定义与命题

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编☆定义与命题 一、选择题
1. （2011福建龙岩，10，4分）现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b =a 2
﹣3a +b ，
如：3★5=33
﹣3×3+5，若x ★2=6，则实数x 的值是（ ） A.﹣4或﹣1 B.4或﹣1 C.4或﹣2 D.﹣4或2
考点：解一元二次方程-因式分解法. 分析：根据新定义a ★b =a 2
﹣3a +b ，将方程x ★2=6转化为一元二次方程求解．
解答：解：依题意，原方程化为x 2﹣3x +2=6，即x 2
﹣3x ﹣4=0， 分解因式，得（x +1）（x ﹣4）=0， 解得x 1=﹣1，x 2=4． 故选B ．
点评：本题考查了因式分解法解一元二次方程．根据新定义，将方程化为一般式，将方程左边因式分解，得出两个一次方程求解．
2.（2011山东菏泽，6，4分）定义一种运算☆，其规则为a ☆b =1a ＋1
b ，根据这个规则，
计算2☆3的值是（ ） A.
56 B. 1
5
C.5
D.6 考点：代数式求值．
专题：新定义．
分析：由a ☆b =
11a b +，可得2☆3=11
23
+，则可求得答案． 解答：解：∵a ☆b =11a b +，∴2☆3=115
236
+=．故选A ．
点评：此题考查了新定义题型．解题的关键是理解题意，根据题意解题．
3.（2011•黔南，3，4分）在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为p ，OP 与x 轴正方向的夹角为a ，则用[p ，α]表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P 的坐标为（1，1），则其极坐标为[2，45°]．若点Q 的极坐标为[4，60°]，则点Q 的坐标为（ ） A 、（2，23） B 、（2，﹣23）
C 、（23，2）
D 、（2，2）
考点：解直角三角形；点的坐标。

专题：新定义。

分析：根据特殊角的三角函数值求出Q 点的坐标．
解答：解：作QA ⊥x 轴于点A ，则OQ=4，∠QOA=60°， 故OA=OQ×cos60°=2，AQ=OQ×sin60°=23，
∴点Q的坐标为（2，23）．
故选A．
点评：解决本题的关键是理解极坐标和点坐标之间的联系，运用特殊角的三角函数值即可求解．
二、填空题
1.定义运算a⊗b=a（1-b），下列给出了关于这种运算的几点结论：
①2⊗（-2）=6；②a⊗b=b⊗a；③若a+b=0，则（a⊗b）+（b⊗a）=2ab；④若a⊗b=0，则a=0．其中正确结论序号是①．（把在横线上填上你认为所有正确结论的序号）
【考点】；．
【专题】．
【分析】本题需先根据a⊗b=a（1-b）的运算法则，分别对每一项进行计算得出正确结果，最后判断出所选的结论．
【解答】解：∵a⊗b=a（1-b），
①2⊗（-2）=6=2×[1-（-2）]=2×3=6，故本选项正确。

②a⊗b=a×（1-b）=a-ab，故本选项错误。

③∵（a⊗b）+（b⊗a）=[a（1-b）]+[b（1-a}]=a-ab+b-ab
∵a+b=0，∴原式=-2ab，故本选项错误。

④∵a⊗b=a（1-b）=0，∴a=0错误。

故答案为①③
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要根据所提供的公式是解题的关键．
2.（2011广州，16，3分）定义新运算“⊗”，b a b a 41
-=
⊗，则)1(12-⊗=________。

)0(*>+-+=
b a b a b a b a ，如：52
32
32*3=-+=， 那么)4*5(*6＝ 。

【答案】1 【思路分析】
考点：实数的运算。

专题：新定义。

分析：本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果．
解答：解：∵345454*5=-+=
，13
63
63*6=-+=。

故答案为：1． 点评：本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关
键．
5.（2011•贵港）若记y=f （x ）=
，其中f （1）表示当x=1时y 的值，即f （1）=
=；
f （）表示当x=时y 的值，即f （）=；…；则f （1）+f
（2）+f （）+f （3）+f （）+…+f （2011）+f （）= 2011．
考点：分式的加减法。

专题：新定义。

分析：此题需先根据y=f （x ）=，再把x 的值代入，得出结果，再找出规律，即可得
出结果．
解答：解：∵y=f （x ）=
，
∴f （1）+f （2）+f （）+f （3）+f （）+…+f （2011）+f （）
=+…
=
=2011．
故答案为：2011．
点评：此题考查了分式的加减，解题时要根据已知条件y=f （x ）=，把各个数代入，
找出其中的规律是本题的关键，解题时要细心．
三、解答题
1. （2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。

类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。

我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图①在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BC
AB
=
=
底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解
下列问题： （1）sad60°= . （2）对于0°<A <180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 . （3）如图②，已知sinA 3
5
=
，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值.
考点：解直角三角形 分析：（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC ，构造等腰三角形ACD ，根据正对的定义解答．
解答：解：（1）根据正对定义， 当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，则sad60°=11
=1．故答案为1．
（2）当∠A 接近0°时，sadα接近0， 当∠A 接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2． 于是sadA 的取值范围是0＜sadA ＜2． 故答案为0＜sadA ＜2．
A
A
B
C
C
B
图①
图②
（3）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，sin ∠A=3
5
．
在AB 上取点D ，使AD =AC ，
作DH ⊥AC ，H 为垂足，令BC =3k ，AB =5k ，则AD =AC
=4k ，
又在△ADH 中，∠AHD =90°，sin ∠A=3
5．∴DH =ADsin ∠A=125k ，
AH
16
5
k ． 则在△CDH 中，CH =AC ﹣AH =
4
5
k ，CD
．
于是在△ACD 中，AD =AC =4k ，CD
． 由正对的定义可得：sadA=
，即
． 点评：此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可
进行类比解答．
2.（2011湖南长沙，25，10分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对
于函数1y x =-，令y ＝0，可得x ＝1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数2
22(3)y x mx m =--+ (m 为常数)． （1）当m ＝0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且
12111
4
x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分别为A 、B (点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA ＋MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．
考点：二次函数 一元二次方程 轴对称 一次函数 专题：二次函数 分析：（1）当m ＝0时，该函数为y ＝x 2－6，令y ＝0，则得相应的一元二次方程，解
该方程即得此时该函数的零点．
（2）令y ＝0，得一元二次方程x 2－2mx －2(m ＋3)＝0，对该方程的根的判别式的变形，可化为△＝2
2
(2)4[2(3)]4(1)200m m m ---+=++>，即得所证结论．
（3）如下图，在直线y ＝x －10上找一点M ，使MA ＋MB 的值最小，只有通过轴对称知识将在直线的同侧的两点转化在直线的两侧，故可作点B 关于直线10y x =-的对称点
B ′，连结AB ′，则AB ′与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．如何求出点B ′的坐标是解决这个问题的关键：因△OCD 是等腰直角三角形，故∠B ′CD ＝∠BCD ＝45° ，从而∠BCB ′＝90°，即B ′（106，-），最后利用待定系数法就容易求得直线AM 的解析式了．
－10
解答：（1）当m ＝0时，该函数为y ＝x 2－6，令y ＝0，得x 2－6＝0，解得x 1＝6，x 2＝6和．
（2）令y ＝0，得△＝2
2
(2)4[2(3)]4(1)200m m m ---+=++>
∴无论m 取何值，方程2
22(3)0x mx m --+=总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有122x x m +=，122(3)x x m =-+ 由
121114x x +=-，得4
1
)3(22-=+-m m ，解得1m =．
∴函数的解析式为2
28y x x =--． 令y ＝0，解得1224x x =-=， ∴A (20-，)，B (4,0)
作点B 关于直线10y x =-的对称点B ′，连结AB ′，则AB ′与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．
易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10，0），D （0，10）． 连结CB ′，则∠BCD ＝45°
∴BC ＝CB ′＝6，∠B ′CD ＝∠BCD ＝45° ∴∠BCB ′＝90°，即B ′（106，-） 设直线AB ′的解析式为y kx b =+，则
20106k b k b -+=⎧⎨
+=-⎩
，解得1
12k b =-=-， ∴直线AB ′的解析式为112y x =-
-，即AM 的解析式为1
12
y x =--． 点评：本试卷是双题压轴，这个压轴题综合考查了二次函数、一元二次方程、轴对称、
一次函数等诸多知识点，综合性很强，并且是阅读理解题．先通过新定义函数的零点概念，再由此设计由易到难的题组题，目的是考查学生阅读理解能力和解一元二次方程知识、一元二次方程根的判别式、配方法、轴对称、三角形、一次函数等知识．
最后一问绝对具有甄别功能，对基础中等的学生都会感到吃力，要想突破这个难点，只有先找使MA ＋MB 取最小值时的直线y ＝x －10上的点M ，求线段和的最小值就容易想到轴对称．最后利用等腰三角形性质就求出要求直线的另一点的坐标，从而利用待定系数法求得所求一次函数的解析式．
3.（2011浙江宁波，25，？）阅读下面的情景对话，然后解答问题：
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”
是真命题还是假命题？
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆弧ADB 的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
考点：勾股定理；等边三角形的性质；圆周角定理。

专题：新定义。

分析：（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可；
（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2+b2＝c2与a2+c2＝2b2，用a表示出b与c，即可求得答案；
（3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB＝∠ADB＝90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE＝1：2：3与AC：AE：CE＝3：2：
1去分析，即可求得结果．
解答：解：（1）设等边三角形的一边为a，则a2+a2＝2a2，
∴符合“奇异三角形”的定义．∴是真命题；
（2）∵∠C＝90°，则a2+b2＝c2①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a2+c2＝2b2②，
由①②得：b＝2a，c＝3a，∴a：b：c＝1：2：3
（3）∵①AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2，
∵点D是半圆弧ADB的中点，∴弧AD＝弧DB，∴AD＝BD，
∴AB2＝AD2+BD2＝2AD2，∴AC2+CB2＝2AD2，
又∵CB＝CE，AE＝AD，∴AC2+CE2＝2AE2，
∴△ACE是奇异三角形；
②由①可得△ACE是奇异三角形，∴AC2+CE2＝2AE2，
当△ACE是直角三角形时，
由（2）得：AC：AE：CE＝1：2：3或AC：AE：CE＝3：2：1，
当AC：AE：CE＝1：2：3时，AC：CE＝1：3，即AC：CB＝1：3，
∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°；
当AC：AE：CE＝3：2：1时，AC：CE＝3：1，即AC：CB＝3：1，
∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°．
∴∠AOC的度数为60°或120°．
点评：此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．。