船体结构低周疲劳寿命直接计算法

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摘要
船舶与海洋工程结构物长期处于风浪流等周期性载荷作用下，应力集中的局部位置容易产生疲劳问题。

对于潜艇、深潜器、FPSO等承受周期性的较大载荷作用的结构物，局部的应力值超过材料的屈服应力，必须考虑结构物的低周疲劳（应变疲劳）问题。

本文基于疲劳问题的宏观机理，研究结构物在对称循环载荷作用下的低周疲劳寿命计算方法。

结构物产生疲劳问题的原因是局部应力集中处不可逆转的塑性应变的累积。

因此，首先研究材料的单调应力-应变曲线和循环应力-应变曲线及两者之间的关系，这是计算低周疲劳寿命的基础。

本文研究结构危险点应力应变的计算方法，验证Neuber假设的正确性并针对其缺陷提出相应改进方法，即基于弹性分析的Neuber方法。

计算结构低周疲劳寿命的曲线主要有两种：应力-寿命曲线、应变-寿命曲线。

考虑到应变-寿命曲线的缺陷，提出适用于低周疲劳计算的伪热点应力方法，并给出基于伪热点应力的低周疲劳寿命曲线设计方法。

基于伪热点应力的方法可以避开复杂的弹塑性分析，直接通过弹性分析得到结构的低周疲劳寿命。

疲劳寿命估算方法主要包括三大内容。

结合三大内容中的不同计算方法，给出两种典型的低周疲劳寿命计算方法：弹塑性计算法、弹性计算法。

根据疲劳问题的宏观机理提出直接计算法，利用不同的典型算例验证三种方法的正确性，并分析其适用范围及改进思路。

关键词：应力-应变关系；低周疲劳；Neuber公式；直接计算法
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Abstract
Ship and ocean engineering structures are under the action of wind, ocean current and sea waves, the location where stresses concentrated are easy subjected to fatigue. We must take low cycle fatigue into consideration, for the local stress is larger than the yield stress among the structures such as submarines, deep sea vehicles and FPSOs. In this article, we calculate the low cycle fatigue life of structures under cyclic loading based on the macro mechanism of fatigue problem.
The fatigue problems of structures are essentially caused by the accumulation of irreversible plastic strain. Therefore, we firstly study the stress-strain relationship of materials. In this article, the author discuss the monotonic stress-strain curve and cyclic stress-strain curve, this is the foundation of fatigue problem.. Meanwhile, the author studied the methods to calculate the local stress and strain, and verify the validity of Neuber’s rule. We raise the improvement of Neuber’s rule, that is the improved Neuber’s rule based on the elastic finite element analysis. There are two types of curves to calculate the fatigue life: stress-life curves and strain-life curves. Taking consideration of the imperfection of strain-life curves, the author proposed the analysis approach based on the persuade stress, then provide the design method about the persuade stress. Obviously, the analysis approach which based on the persuade stress can avoid complicated elastic-plastic FEM and compute the fatigue life from elastic FE analysis directly.
There are three main curves about computing the fatigue life: The description of the material fatigue performance and, the calculation of stress and strain history at the hotspot of structures and damage accumulation. We put forward two traditional methods to compute the low cycle fatigue life: the elastic-plastic FE method and the elastic FE method. According to the basic theory of fatigue damage, the author put forward the direct analysis approach to compute the fatigue life of ship structures. At last, the author verified the
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validity of the three methods and analyzes the scope of the application and how to improve the methods.
Key words: stress-strain relationship; low cycle fatigue; Neuber’s rule; the direct analysis approach
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目录
摘要 (I)
Abstract .............................................................................................................. I I 1绪论.. (1)
1.1研究背景 (1)
1.2国内外研究现状 (3)
1.3本文研究的内容和意义 (7)
1.4本章小结 (10)
2材料的应力应变关系 (11)
2.1 材料的单调应力-应变响应 (11)
2.2 材料的硬化模型 (13)
2.3 材料的循环应力-应变响应 (15)
2.4 计算算例 (18)
2.5本章总结 (22)
3局部应力应变值的计算 (23)
3.1 低周疲劳分析Neuber假设 (23)
3.2 基于弹性分析的Neuber方法 (27)
3.3 Neuber公式的数值验证 (28)
3.4 本章总结 (36)
ε曲线相关性研究 (37)
4 N
S-曲线与N
-
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4.1 应力-寿命（S-N）曲线 (37)
4.2 应变-寿命（N
ε）曲线 (38)
-
4.3 基于伪热点应力的低周疲劳寿命计算 (39)
4.4 基于伪热点应力的疲劳寿命曲线设计 (41)
4.5 本章总结 (45)
5 低周疲劳寿命计算方法研究 (46)
5.1 低周疲劳寿命计算方法分析 (46)
5.2 等效应变验证 (49)
5.3有限宽中心带孔板低周疲劳寿命计算算例 (55)
5.4 管节点低周疲劳寿命计算算例 (59)
5.5 椭圆耐压室低周疲劳算例 (62)
5.6 本章总结 (67)
6 总结与展望 (68)
致谢 (70)
参考文献 (71)
附录1攻读学位期间发表论文目录 (76)
附录2 攻读学位期间参加的主要科研项目 (77)
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1绪论
1.1研究背景
疲劳破坏是工程中最常见的失效形式[1][2]！自上世纪五十年代以来，虽然船用材料以及铆接焊接技术发展迅速，但是船舶与海洋工程领域中疲劳断裂事故仍然时有发生。

1960-1965年期间，就有10起此类破坏事故。

1965年以后，焊接船舶上还是发生相当数量结构的断裂现象。

1972年，只使用了一年的长178m的油船（I.O.S.3301）在港口平静的海面上却发生断裂，几乎折成两段。

这条船所用材料有足够的缺口韧性及临界韧性，发生破坏的主要原因是由于不恰当的压载分布，引起不正常的过高应力而导致脆性断裂[3]。

1980年，英国北海爱科菲斯克(Ekofisk)油田的亚历山大·基兰德号( Alexander Keilland)钻井平台倾复[3]。

图1.1亚历山大·基兰德号钻井平台倾复
2009年，巴拿马籍油轮在埃及苏伊士运河的入口处断裂成两段。

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图1.2 巴拿马油轮断裂为两段
以上介绍可以看出，对于船舶与海洋工程结构物，无论其航行或静止于海浪中、位于水面或者水上，由于其受到载荷（风浪流等作用）的周期性变化，疲劳强度问题必须慎重考虑。

一般来讲，船舶与海洋工程结构物体积较大、重量大、结构构复杂、价格昂贵且很多结构物处于水下或者工作环境恶劣。

船舶与海洋工程结构物疲劳裂纹的检测和维修都需要较长时间，并且消耗大量财力、物力和人力。

2001年，CCS正式颁布船体结构疲劳强度指南并。

随后，CCS多次对指南进行补充和修改，以满足当前船体结构疲劳分析与设计的需求[4]。

在船舶与海洋工程领域，高强钢的广泛使用和焊接技术快速发展，结构物呈现出尺寸大型化和重量轻型化的趋势[5]。

同时，其运载能力，建造材料，建造时间、燃油消耗、工作性能等显现出更大的优势。

但是，仍然会出现以下问题[5]：
（1）结构物的强度风险增加。

高强度钢的大量使用提高了船体结构的整体强度，但是其韧性储备必然降低。

运输船舶强度的提高必然会使其运载量大大提升，反复的较大的加载荷卸载过程以及较低的材料韧性储备必然容易导致疲劳裂纹产生。

（2）航运的经济风险和环境污染风险大大提高。

运输船舶一旦发生船体结构裂纹扩展并导致船体结构解体，引起的经济损失和环境污染将会是无法估计的。

因此，对于船舶与海洋工程结构物，无论其处于服役阶段或者设计阶段，必须高度关注其疲劳强度问题！
需要注意的是，对于浮式生产储油卸油装置(FPSO)、潜艇、深潜器等承受周期性
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循环载荷和承受极端海况的船舶与海洋工程结构物，如图1.3所示。

在其整个寿命期间，所经历的载荷较大（超过屈服应力），循环次数较低（N<104）。

图1.3 （a）某潜艇示意图（b）“蛟龙号”
例如，对于FPSO，它在工作期间一直进行石油装载和卸载，载重量一直发生周期性的较大变化。

对于潜艇和深潜器，在其工作周期内一直进行反复的深潜和上浮，受到周期性变化的较大水压作用。

因此，对于这些类型的结构物，其材料的应力水平大于屈服极限，疲劳循环次数并不多且受应变控制。

根据以上分析，根据结构在整体疲劳寿命期间的循环次数可以将疲劳问题分为两类，如下表1.1所示。

本文主要分析低周疲劳问题。

表1.1 疲劳问题的分类
1.2国内外研究现状
1837年，Albert[6]研究矿井运输铁链的连续性失效，发表第一篇有关疲劳的文章并进行疲劳试验[6]。

艾伯特测试了铁链零件而不是测试材料，当时并没有小试样疲劳试验
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的标准和规范，因此艾伯特的测试方法是具有开创性的。

1858年，Wohler[7]发现，疲劳损伤取决于循环应力的振幅：材料在低于静强度的循环应力作用下也会导致失效。

1870年，这个基本定律被命名为沃勒定律。

此后的20年时间内，Gerber[8][9]在Wohler工作的基础上进一步研究了平均应力对疲劳寿命的影响，并提出了考虑平均应力影响的Gerber曲线。

1903年，Ewing和Humfrey[10]使用光学显微镜观察到循环变形导致滑移和疲劳裂纹的萌生，这可能是金属材料疲劳问题的第一次金相分析。

1910年，Basquin[11]发现了在双对数坐标中应力和寿命近似满足直线关系，即现在普遍使用的S-N曲线。

1917年，B.P.Haigh[12]采用能量假设，并取应变能的极限值作为疲劳破坏的临界条件。

1921年，Griffith[13]发现玻璃的强度取决于所包含的微裂纹的长度，该理论的出现标志着疲劳问题研究中断裂力学的开端。

1945年，Miner[14]提出了线性累积损伤理论。

1954年两架彗星号飞机失事事故，事后分析是由于压力舱构件中因地轴低周疲劳问题引起的结构失效。

此事故后，人们逐渐对结构物的低周疲劳问题加以重视。

1955年，Manson和Coffin[15][16]各自独立提出了塑性应变幅与疲劳寿命之间的关系，即著名的Manson-Coffin低周疲劳公式，该公式给出了应变幅与循环次数的定量关系，进而形成了计算疲劳寿命的局部应力应变法。

1961年，Neuber[17]提出基于能量原理的Neuber假设，该公式能通过弹性分析计算缺口根部弹塑性应力应变值。

基于Neuber理论，发展了局部应力应变法，根据危险部位的局部应力应变历程计算疲劳寿命。

1963年，Paris[18]提出了疲劳裂纹扩展速率和应力强度因子幅值之间的关系。

1977年，Duggan等[19]将结构的疲劳寿命分为裂纹形成和裂纹扩张两个阶段。

2000年，M. Knop等[20]根据Glinka方法和Neuber方法计算在循环载荷谱作用下缺口根部应变值，同时特别考虑了循环载荷作用和平均应力松弛对疲劳损伤的影响。

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2003年，G Harkegard和T Mann[21]利用Neuber方法预测大范围屈服情况下缺口拉伸试样的弹塑性应变集中。

2007年，H. Adib-Ramezani和J.Jeong[23]利用高等体积法和缺口根部的应力梯度影响预测疲劳寿命，结果表明该方法预测的疲劳寿命低于应力场强法，但是，应力场强法估算的疲劳寿命偏高。

2007年，陈涛等[23]试图通过应变方法估算厚壁钢墩的极端低周疲劳寿命。

2008年，Jerome Johannes[24]在时域内考虑波浪谱的长期作用影响，计算FPSO的边板、甲板和底部甲板的疲劳寿命。

同年，P. Mestanek[25]分别利用Neuber方法和Glinka方法，结合Landgraf模型、SWT 模型、Erdogan-Roberts模型计算某大型汽轮机叶片的疲劳寿命。

2012年，Filippo Berto和Michele Zappalorto[26]提出虚拟缺口应力方法，并计算V型缺口在I型载荷作用下的疲劳寿命。

2013年，Ozler Karakas[27]基于SWT模型和参考缺口半径概念，根据平均应力损伤参数模型计算三种不同类型的焊接节点的疲劳强度，对于给定的焊址形状，该损伤参数能够统一的给出不同应力比下的疲劳寿命计算结果。

Heikki Remes[28]介绍了一种新的计算焊接节点疲劳强度的基于应变的方法，该方法能够模型疲劳裂纹生成至断裂的全过程。

计算结果表明：对于光滑缺口形状的焊接节点，短裂纹生长周期在整个疲劳寿命过程中占主导地位。

H.R. Amiri等[29]建立一种新的有限元模拟计算钢结构疲劳裂纹问题的方法。

试验结果表明：该方法可以正确的预测裂纹萌生位置、扩展路径、裂纹萌生时的循环次数以及最终断裂时的循环次数。

2014年，Seon-Jin Kim等[30]分析了室温下铝材的低周疲劳性能，结果表明循环应力响应受应变幅值范围和材料属性的影响，可以使用Manson-Coffin关系和能量-寿命模型计算疲劳寿命。

2015年，X. Martinez等[31]结合Barcelona损伤模型和一种新的各向同性硬化法则分析钢结构超低周疲劳问题，失效机理认为是结构受循环加载时的塑性应变累积反应。

华中科技大学硕士学位论文近些年，人们对结构物低周疲劳问题更加关注，国内的学者对低周疲劳的研究逐步深入。

K的典型1992年，赵少汴、王忠宝[32]提出了基于平均应力模型的缺口疲劳系数
f
表达式。

K的表达1993年，朱锡雄、黄旭升基于断裂力学模型改进了计算缺口疲劳系数
f
式。

1993年，陈伯真和胡毓仁[33][34]根据可靠性理论，研究了液化气体船液舱结构的疲劳可靠性。

同时，分析讨论了疲劳可靠性中一些重要的不确定因素。

1998年，崔维成[35]在分析总结船舶结构疲劳强度校核现状的基础上指出三个细化方向：建立符合实际的载荷模型、建立可靠的应力分析方法和建立不同材料不同环境下的累积损伤模型。

崔维成[37][37][37]用ISPUD程序计算了船舶结构的疲劳可靠性。

冯国庆等[38][39][40]对船舶结构疲劳强度分析方法对比研究，给出设计波法的流程并开发基于PCL的疲劳谱分析直接计算系统。

姚卫星等[41]提出考虑缺口根部应力梯度和体积效应的应力场强法。

2012年，罗云蓉等[42]利用能量模型计算高强钢结构低周疲劳寿命。

该模型是基于循环过程中的能量耗散，循环过程从裂纹萌生一直持续到结构失效。

2013年，王延荣等[43]综合考虑了平均应力、应力梯度和尺寸效应的影响，发展了一种考虑梯度影响的缺口疲劳寿命预测方法。

陈龙等[44]基于材料低周疲劳的裂纹扩展预测模型，基于应变幅的损伤累积，建立材料低周疲劳性能和疲劳裂纹扩展行为之间的联系。

2014年，袁荒和李桓[45]基于内聚力模型，预测低周疲劳裂纹扩展寿命。

陈建林等研究了加载速率对汽车轮机转子钢低周疲劳损伤的影响。

研究结果表明，加载速率对材料的损伤有显著影响的取值在某一范围内。

陈红霞等[46]同时考虑低周疲劳和冲击载荷的影响，基于局部应力应变方法建立可靠性评估模型。

现在，人们逐渐从更多角度考虑结构的低周疲劳问题，例如细观力学、断裂力学、
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可靠性、能量原理、智能优化算法、概率观点等。

相信经过国内外科研人员的努力，工程结构中的低周疲劳寿命问题能够得到很大程度上的解决。

1.3本文研究的内容和意义
从疲劳损伤的发展过程来看，有多种疲劳寿命预测模型，如图1.4所示
图1.4疲劳损伤过程示意图
其中二阶疲劳寿命预测模型将从完整结构到结构解体的整个过程分为以下两个主要阶段：裂纹起裂和裂纹扩展[5]。

多阶疲劳寿命模型进一步细化，可以分为以下四个阶段：微观裂纹萌生、疲劳裂纹起裂、疲劳裂纹扩展、裂纹失稳扩展。

以多阶疲劳寿命模型为例，不同的阶段对应不同的裂纹尺寸和寿命范围，也有不同的研究方法。

显然，由以上分析可知，从不同的角度分析可以得到分析疲劳寿命的不同方法。

本文从疲劳损伤的宏观力学角度出发，基于局部应力应变法的基本假设，利用S-N方法研究结构物的低周疲劳性能。

本文主要关注的是疲劳裂纹起裂，即裂纹尺寸从无到有的过程。

华中科技大学硕士学位论文工程结构疲劳裂纹起始于高应力区域，在局部应力应变方法中，控制参数是结构危险部位的应力应变历程。

其步骤如图1.5所示。

图1.5局部应力应变法计算疲劳寿命的步骤
分析总结流程图1.5可知，低周疲劳寿命估算包括三大内容，总结如下图1.6所示。

理论上来讲，低周疲劳疲劳寿命估算过程中，只要从三大内容的各种处理方法中任意选一种就可以组合起来形成一种疲劳寿命分析方法。

图1.6三大内容总结
目前广泛得到的局部应力应变法两种组合，即：稳态法和瞬态法。

稳态法利用计数方法（最常用的是雨流计数法）得到不同对称应力幅，结合材料的循环应力-应变关系曲线和累积损伤理论计算得到结构的疲劳寿命。

瞬态法则不同，直接利用材料的应力-应变关系曲线，同时考虑材料的循环硬化、循环软化、包辛格效应等直接计算得到结构危险点的应力应变历程，最终利用累积损伤理论得到材料的疲劳寿命。

稳态法和瞬态法各有优缺点，其对比分析如表1.2所示[41]。

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表1.2 稳态法和瞬态法的比较
本文主要研究内容及思路如下。

第二章研究材料的疲劳性能，材料的疲劳性能中，主要研究材料的单调应力-应变关系曲线和循环应力-应变关系曲线，以及如何在有限元软件中利用不同的硬化模型（软化模型）得到材料的循环应力-应变关系曲线。

第三章研究不局部位应力应变历程的不同计算方法。

局部危险点应力应变历程计算方法中，主要研究Neuber方法、基于弹性分析的Neuber方法和弹塑性方法，利用数值方法验证其计算结果的准确信并分析不同计算方法的优缺点。

第四章中分析两组曲线的相关性，并给出转换方法。

第五章给出直接计算法的思路及等效应力应变的验证。

最后，本文根据不同方法计算结构的低周疲劳寿命，分析并对比结果的正确性，从而为工程中结构物低周疲劳寿命计算提供参考。

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1.4本章小结
本章分析了船舶与海洋工程中低周疲劳的研究背景，并总结国内外低周疲劳问题的分析方法及研究现状。

同时，介绍局部应力应变法计算疲劳寿命时不同方法之间的优缺点对比。

最后，给出本文的研究主要内容和意义。

华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2材料的应力应变关系
在讨论材料低周疲劳性能之前，需要研究材料的应力应变关系，这是疲劳寿命分析的基础。

显然，从宏观力学的角度看，工程结构疲劳问题的原因是材料内部不可恢复的塑性应变的累积。

因此，本章从最基本的材料力学性能出发，首先讨论材料的单调应力-应变关系，然后讨论材料在循环载荷作用下的循环应力-应变关系，最后分析两组曲线的相关性。

2.1 材料的单调应力-应变响应
在标准试件单轴拉伸试验时，工程应力应变都是以变形前的几何尺寸定义的：
A P S = (2-1) 0
00l l l l l e -=∆= (2-2) 杆是逐步伸长的，对于任意一载荷增量dP ，应变增量εd 等于长度增量dl 与当时长度l 之比。

故真实应变ε应定义为：
()e l l l l l l dl l l +=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∆+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰1ln ln ln 0000ε (2-3)
式中，l 为加载到P 时变形后的长度。

图2.1生动的表示了试件从开始加载到发生颈缩整个过程。

初始状态I ，材料不受载荷作用。

I-II 过程中，试件内应力和应变逐步增加。

II 状态后，试件进入颈缩阶段，此后试件的变形不满足体积不变假设和变形均匀假设，变形主要集中于颈缩区域。

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图2.1 试件变形过程
因此，式（2-3）仅仅在材料颈缩前成立，有如下关系：
Al l A =00 (2-4)
则有： ()()e S l l l A P l A Pl A P +=∆+===10
0000σ (2-5) ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+=RA A A l l e 100100ln ln ln 1ln 00ε (2-6) 式中RA 为截面收缩率，满足如下关系：
()00100A A A RA ⨯-= (2-7)
由以上分析可知，对于某种特定的金属材料，完全可以由单调拉伸试验测量得到
工程应力应变关系，通过转换得到材料的真实应力应变关系。

利用得到的材料的工程应力应变值，可转换得到材料的真实应力应变值。

最终，得到ABAQUS 命令中的输入
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 数据：应力和塑性应变之间的一一对应关系。

将应变分解表示：
p e εεε+= (2-8)
σ与εe 满足胡克定理：
e E εσ= (2-9)
σ与εp 关系表达为：
()n p K εσ= (2-10)
利用(2-8) 、(2-9)、 (2-10)三式即可得：
n
p e K E 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=σσεεε (2-11) 2.2 材料的硬化模型
常用的加载方式是应力加载和应变加载[47]。

当控制应变幅进行试验时：应力随循环次数的增加而增大然后达到稳定状态称为循环硬化，应力随循环次数的增加而降低然后达到稳定状态称为循环软化。

反之，当控制应力幅恒定进行试验时：应变随循环次数的增加而降低称为循环硬化，应变随循环次数的增加而增大称为循环软化。

如下图2.2所示。

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图2.2 循环硬化和软化（a）循环硬化（b）循环软化
对于工程结构疲劳问题，结构物承受反向的循环载荷作用，必须考虑材料的硬化模型。

硬化模型实际上定义的是加载时屈服面的变化规律。

通常使用的硬化模型的区别及ABAQUS命令中定义如表2.1所示。

表2.1 硬化模型屈服面及ABAQUS命令
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米萨斯(Mises)应力通常应用于钢结构物的力学性能分析。

在加载条件下，不同硬化模型的米塞斯屈服面变化规律如下图2.3所示。

在疲劳问题和极限承载问题中，经常使用随动硬化模型和混合硬化模型。

图2.4给出反向加载时，不同硬化模型反向屈服强度之间的区别[48]。

图2.3加载时屈服面变化规律
图2.4反向屈服强度的区别
2.3 材料的循环应力-应变响应
在恒幅对称应变循环试验中，连续监测σ-ε响应直至逐渐趋于稳定，形成稳态滞后环[2]。

如图2.5所示。

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图2.5 材料的循环应力-应变响应
同一坐标系内，稳态环顶点的连线反映不同a ε下的a σ响应，即循环a a εσ-曲线。

如图2.6所示。

图2.6 循环应力-应变曲线
2p ε∆和2a σ∆近似满足如下关系:
n p a
K '
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∆'=∆22εσ
(2-12)
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循环应力-应变关系曲线可以写作：
n a a p
e a K E '
⎪⎭
⎫ ⎝⎛'+=
+=1σσεεε (2-13)
图2.7 材料的滞后环曲线
如图2.7所示，将稳态滞后环曲线的下顶点(D,E,F)移动至原点O ，稳态滞后环上顶点所构成的曲线(曲线OA ’B ’C ’)与材料的循环应力-应变曲线(OABC)相似。

根据Massing 假设，对于大多数金属材料，相似比为2。

显然，曲线OA ’B ’C ’上的任意一点坐标为()σε∆∆,，根据相似比为2，点()2,2σε∆∆满足材料的循环应力-应变关系[49]。

即：
n K E '
⎪⎭
⎫
⎝⎛'∆+∆=∆1222σσε (2-14)
上式简化为：
n K E '
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛'∆⋅+∆=∆122σσε
(2-15)
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因此，稳态滞后环卸载部分曲线CD 上的点()σε,，可以用公式表达为：
a a a K E
'
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛'-⋅---
=122σσσ
σεε (2-16)
同理，稳态滞后环加载部分曲线DC 上的点()σε,，也可以用公式表达为：
n a a a K E
'
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛'+⋅+++
-=122σσσ
σεε (2-17)
式中，()a a σε,为滞后环上顶点C 的坐标，()a a σε--,为滞后环下顶点D 的坐标。

2.4 算例分析
根据以上材料应力-应变关系讨论，选取DNV 规范中S355钢[50]，对给出的材料参数进行转换得到S355钢真实的单调应力-应变关系。

在有限元分析软件ABAQUS 中，利用最简单的杆单元（单元类型T2D2）对材料进行标定，对杆单元端加载位移S 。

图2.8给出材料的参数定义，表2.2给出材料参数值，如下所示。

图2.8 应力-应变曲线中参数的定义。