1.赤道和两极-湘教版选修3-3球面上的几何教案

赤道和两极-湘教版选修3-3球面上的几何教案
一、教学目标
1.了解球面上的基本概念
2.掌握赤道和两极的定义和性质
3.能够在球面上进行几何判断和计算
二、教学重难点
1.球面上的概念理解
2.赤道和两极的性质
3.球面上的几何计算方法
三、教学内容
1. 球面上的基本概念
球面是指以某个点为球心，以该点到图形上任一点的距离为半径所得的曲面。

球面上的点分为南北极两个点和其它点。

球面上的任意一条弧都在球面上唯一地确定一条平面，两条相交于球面上的平面的直线交于球心。

球面上两点之间的距离是球面上它们之间最短弧的长度。

另外，还需了解球面上的赤道和两极的性质。

2. 赤道和两极的定义和性质
赤道是指球面上与南北极连成的大圆的长度最大的一条圆弧，南北极是指球面上与南北极连成的大圆的长度最短的两条圆弧的端点。

球的赤道和两极的位置是对称的，因此，球的中心也是赤道和两极的中点。

3. 球面上的几何计算方法
接下来我们将介绍三种求球面上两点之间的距离的方法。

3.1 积分法
设有两点A和B，分别在球上的经度为θ1，纬度为φ1和经度为θ2，纬度为φ2，AD和BD分别为两点的半径向，BC为从第二个点的半径向下的垂线，则
cos AD = sin φ1 sin φ2 cos (θ1 - θ2) + cos φ1 cos φ2
cos BC = cos c = cos⁻¹(sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos (θ1 - θ2))则 AB 的球面距离为cos BC乘以球半径。

3.2 曼彻斯特方法
此方法也适用于大圆航线上的飞行。

曼彻斯特方法要求将地球看成一个半径为1的球体，相应地调整纬度和经度的单位。

做出球面三角形ABC，满足AB路径绕
过纬度大圆线270度，CB路径绕过纬度大圆线180度，BA路径绕过南极。

则三
角形ABC有一个右角于A的内角，正弦为正弦经纬度之差差的一半。

即，求 AB 距离的方法为：
cos AB = sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos (λ2-λ1)
其中，λ1和λ2分别表示点A和点B的经度。

3.3 正弦定理
根据正弦定理，球面三角形ABD中的正弦公式可表示为:
AB/ sin B = AD/ sin D = BD/ sin A
因为在小角度近似下，正弦值逼近与它的幅度相等（弧度）因此，可以使用这个简单的形式进行近似。

四、教学方法
1.提供多个例题及习题，让学生掌握计算方法。

2.运用多媒体工具进行讲解，直观、生动地讲解球面上的基本概念和计算方法。

3.安排合理的学生活动，如小组讨论、实验、演示和练习等，使学生主动参与其中，提高教学效果。

五、教学评价
根据学生的表现，对其进行考察。

教学评价可以包括学生的理解程度、运用知识的能力等方面，同时更需要发现学生的疑惑和困惑，及时进行解决和引导。

六、教学建议
教学中可以结合实际生活中的例子进行讲解，如地球的形态、太阳的位置和月球的轨道等，使学生与所学的知识相结合，更好地理解、记忆和应用。

另外，为了加深学生对本单元内容的印象，可以适当安排一些球形产品或模型的展示。