【人教B版】数学《优化方案》必修5测试第1章1.2知能优化训练

1．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( )
A ．a 和c
B ．c 和b
C ．c 和β
D ．b 和α
解析：选D.在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，在本题中AC 即可看作基线，在△ABC 中，能够测量到的边角分别为b 和α.
2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km
C.2a km D ．2a km
解析：选B.利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°
＝2a 2－2a 2×(－12
)＝3a 2. ∴AB ＝3a .
3．在200 m 的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为
( )
A.4003 m
B.40033
m C.20033 m D.2003
m 解析：选A.如图，设塔高为AB ，山顶为C ，在Rt △CDB 中，CD ＝200，∠BCD ＝90°－60°＝30°，
∴BC ＝200cos30°＝40033
.在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝120°，BC sin120°＝AB sin30°
， ∴AB ＝BC ·sin30°3
2
＝4003(m)． 4．一河两岸有A 、B 两地，为了测出AB 的距离，在河岸上选取一点C ，测得∠CAB ＝60°，∠ACB ＝45°，AC ＝60 m ，则AB ≈________.(精确到1 m)．
解析：在△ABC 中，先由三角形的内角和定理求出∠B ，再由正弦定理求出AB .
答案：44 m
5．已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°方向，甲船从A 点以50海里/小时的速度向B 航行，同时乙船从B 点以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？
解：如图所示，设航行x 小时以后，甲船到达C 点，乙船到达D 点，在△BCD 中，BC ＝100－50x (海里)(0≤x ≤2)，
BD ＝30x (海里)，∠CBD ＝60°，由余弦定理得：
CD 2＝(100－50x )2＋(30x )2－2(100－50x )·30x ·cos60°
＝4900x 2－13000x ＋10000，
作为二次函数考虑，
当x ＝130002×4900＝6549
(小时)时， CD 2最小，从而得CD 最小．
故航行6549
小时，两船之间距离最小．
1．海面上有A ，B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成30°的视角，则B 岛与C 岛之间的距离是( )
A ．10 3 海里 B.1063
海里 C ．5 2 海里 D ．5 3 海里
解析：选D.在由A ，B ，C 三岛组成的△ABC 中，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝90°， 所以BC ＝AB ·sin60°＝5 3.
2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )
A ．北偏东10°
B ．北偏西10°
C ．南偏东10°
D ．南偏西10°
解析：选B.∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，
又∵AC ＝BC ，∴∠ABC ＝∠BAC ＝180°－80°2
＝50°， 又90°－50°－30°＝10°，
∴塔A 在塔B 的北偏西10°.
3．如图，D 、C 、B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D 、C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )
A ．10 m
B ．5 3 m
C ．5(3－1)m
D ．5(3＋1) m 解析：选D.在△ACD 中，由DC sin (45°－30°)＝AC sin30°
得 AC ＝10×12sin (45°－30°)＝56－2
4
＝5(6＋2)． 在△ABC 中，AB ＝AC ·sin45°
＝5(6＋2)×22
＝5(3＋1)．
4. 如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角θ为2°，若θ的弧度数很小时，可取sin θ为θ的弧度数，由此可估计该气球的高BC 约为( )
A ．70 m
B ．86 m
C ．102 m
D ．118 m
解析：选B.由题意，知∠BAC ＝30°，所以BC ＝12AC .又圆的半径为3 m ，sin1°＝sin π180≈π180，所以AC ≈3×180π，即BC ＝12AC ≈270π
≈86 (m)．
5．(2011年温州质检)北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)．旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌长度为50秒，升旗手应以多少米/秒的速度升旗( ) A.15 B.35
C.35
D.65
解析：选B.∠ABC ＝180°－60°－15°＝105°，
∠CAB ＝180°－105°－45°＝30°.
∴AB ＝BC sin ∠CAB
·sin ∠BCA ＝106sin 30°·sin 45°＝20 3. 在Rt △OAB 中，OA ＝AB sin ∠ABO ＝203·sin 60°＝30.
∴v ＝3050＝35
(米/秒)．故选B. 6．在某个位置测得某山峰的仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后，测得仰角为原来的2倍，继续在地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为( )
A ．200 m
B ．300 m
C ．400 m
D ．100 m
解析：选B.如图所示，在三角形ABC 中，BC ＝AC ＝600.在三角形ADC 中，DC ＝AD
＝2003，所以AD sin2θ＝AC sin (180°－4θ)＝AC sin4θ
，所以2003sin2θ＝6002sin2θcos2θ， 所以cos2θ＝32
，2θ＝30°，所以在三角形ADE 中， AE ＝AD sin4θ＝2003×32
＝300(m)． 7．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．
解析：如图所示，AB ＝60 km ，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝180°－30°－105°＝45°.
由MB sin30°＝AB sin45°，得MB ＝30 2 km. 答案：30 2 km
8.某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向(如图)，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°.在C 处测得距C 为31里的公路上有一人正沿公路向A 城走去，走了20里之后，到达D 处，此时CD 间的距离为21里，问此人还要走__________里路可到达A 城．
解析：在△CDB 中，由余弦定理得
cos ∠DBC ＝DB 2＋BC 2－CD 22·DB ·BC ＝2331
， ∴sin ∠DBC ＝12331
， ∴sin ∠ACB ＝sin[π－(∠DBC ＋∠DAC )]＝sin(∠DBC ＋π3)＝35362
，在△CAB 中，由正弦定理得AB ＝BC ·sin ∠ACB sin ∠CAB
＝35， ∴AD ＝35－20＝15.
答案：15
9．如图所示的是曲柄连杆结构示意图，当曲柄OA 在水平位置时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB 按顺时针旋转α角时，P 和Q 之间的距离为x ，已知OA ＝25 cm ，AP ＝125 cm ，若OA ⊥AP ，则x ＝________(精确到0.1 cm)．
解析：x ＝PQ ＝OA ＋AP －OP
＝25＋125－252＋1252
≈22.5(cm)．
答案：22.5 cm
10．在2008年北京奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出．由经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击
手最大跑速的4倍，问游击手在这种布置下能否接着球？
解：假设游击手能接着球，接球点为B ，游击手从A 点跑出，本垒为O 点，球速为v ，
如图所示，则∠AOB ＝15°，OB ＝v t ，AB ≤v t 4.在△AOB 中，由正弦定理，得OB sin ∠OAB
＝AB sin15°
， 所以sin ∠OAB ＝OB sin15°AB
≥v t v t 4·6－24
＝6－ 2. 因为(6－2)2＝8－43>8－4×1.73>1，
即sin ∠OAB >1，
所以∠OAB 不存在，即游击手不能接着球．
11．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是 3a n mile/h ，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解：如图，设经过t h 两船在C 点相遇，
则在△ABC 中， BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝90°＋30°＝120°，
由BC sin ∠CAB ＝AC sin B
， 得sin ∠CAB ＝BC sin B AC
＝at ·sin120°3at ＝3
23＝12
. ∵0°<∠CAB <90°，
∴∠CAB ＝30°，
∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.
即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
12．(2011年济南调研)A ，B ，C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，在A 处看见塔在东北方向，在B 处看见塔在正东方向，在C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路的距离．
解：如图所示，设BN ＝x ，
则PQ ＝x ，P A ＝2x ，
∵AB ＝BC ，∴CM ＝2BN ＝2x ，PC ＝2PQ ＝2x .
在△P AC 中，由余弦定理，得：
AC 2＝P A 2＋PC 2－2P A ·PC ·cos 75°，
即4＝2x 2＋4x 2－42x 2·6－24
， 解得x 2＝2(4＋3)13
. 过P 作PD ⊥AC ，垂足为D ，
则线段PD 的长即为塔到直路的距离．
在△P AC 中，由12AC ·PD ＝12
P A ·PC sin 75°， 得PD ＝P A ·PC ·sin 75°AC ＝22x 2·sin 75°2
＝2·2(4＋3)13 ·6＋24＝7＋5313
. 故塔到直路的距离为7＋5313
km.
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