空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用

【知识网络】

空间向量的定义与运算

空间向量运

算几何意义

空间向量的坐标表示及运算

应用空间向量的运算解决立几问题

证明平行、垂直

求空间角与距离

【考点梳理】

要点一、空间向量

1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。要点诠释：

⑴空间的一个平移就是一个向量。

⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。

⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.共线向量

（1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共

线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a

//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b

的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b

的充要条件是存在实数λ，使a

＝λb 。

3.向量的数量积

（1）定义：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<> 叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅

，即a b ⋅= ||||cos ,a b a b ⋅⋅<> 。

（2）空间向量数量积的性质：

①||cos ,a e a a e ⋅=<> ；②0a b a b ⊥⇔⋅=

；③2||a a a =⋅ ．

（3）空间向量数量积运算律：

①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ；②a b b a ⋅=⋅

（交换律）；③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅

（分配律）。

4.空间向量基本定理

如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p

，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++ 。若三向量,,a b c

不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫

做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

5.空间直角坐标系：

（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用

{,,}i j k

表示；

（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k

的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角

坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k

都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；

6.空间直角坐标系中的坐标

在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使

OA xi yj zk =++

，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记

作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．

7.空间向量的直角坐标运算律：

（1）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---

．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（2）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =

，则

112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ，112233(,,)a b a b a b a b -=---

，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ，112233a b a b a b a b ⋅=++

，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈

，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=

；

||a ==

||b == ．

夹角公式：cos ||||a b a b a b ⋅⋅==⋅

．

（3）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z

，则

||AB ==

或,A B d =

。

要点二、空间向量在立体几何中的应用

1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．

对于垂直问题，一般是利用0a b a b ⊥⇔⋅=

进行证明；

对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．

2.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式

cos ||||

a b

a b θ⋅=⋅ 。

要点诠释：

平面的法向量的求法：

设n =(x,y,z)，利用n 与平面内的两个不共线的向a ，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面α的一个法向量（如图）

。

线线角的求法：

设直线AB 、CD 对应的方向向量分别为a 、b ，则直线AB 与CD 所成的角为||

arccos ||||

a b a b ⋅⋅

。（注意：线线角的范围[00,900]）

线面角的求法：

设n 是平面α的法向量，AB →

是直线l 的方向向量，则直线l 与平面α所成的角为

||

arcsin ||||

AB n AB n ⋅⋅ （如图）

。