倾斜气垫导轨上滑块运动的研究

倾斜气垫导轨上滑块运动的研究
一、 目的
1、用倾斜气垫导轨测定重力加速度；
2、分析和修正实验中的部分系统误差分量。

二、 仪器和用具
气轨、滑块、光电门、J0201-DM 智能计时器、游标卡尺、垫块
三、 注意事项
1、禁止用手接触轨面和滑块内表面。

防止轨面和滑块内表面损伤或变形；
2、气轨通气后，用薄纸条检查气孔，发现堵塞要疏通。

3、使用前先将气轨通气，再在气轨上放滑块；使用完毕先取下滑块，再断开气轨气源。

四、 实验原理
1、 倾斜轨上的加速度a 与重力加速度g 之间的关系
设导轨倾斜角为θ，滑块的质量为m ，则
sin ma mg θ= （1）
上式是在滑块运动时不存在阻力才成立，实际上滑块在气轨上运动虽然没有接触摩擦，但是有空气层的内摩擦，在速度比较小的情况下，其阻力f F 与平均速度成正比 f F bv = （2） 上式中的s
v t
=
，s 为两光电门之间的距离，t 为滑块通过两光电门相应的时间；比例系数b 为黏性阻尼系数。

考虑此阻力后，（1）式为 sin /ma mg bs t θ=- 整理后得重力加速度 sin bs g a mt θ⎛
⎫
=+
⎪⎝⎭
（3） 此实验将依据（3）式求重力加速度。

2、 导轨的调平
调平导轨是将平直的导轨调成水平线上，但是在实验室中的导轨都存在一定的弯曲，因此调平是指将光电门A 、B 所在两点，调到同一水平线上。

假设导轨上A 、B 所在两点已在同一水平线上，则在A 、B 间运动的滑块因导轨弯曲对它
们运动的影响可抵消，但是滑块与导轨间还存在少许阻力，所以以速度A v （时间A t ）通过A 门的滑块，通过B 门时的速度B v 将小于A v （时间B t ），阻力为2
A B
v v F b
+=阻，阻尼加速度222A B v v a s -=阻，由F ma =阻阻，有2222A B A B
v v v v b m s
+-=，由于阻力产生的速度损失v ∆等
于
A B bs
v v v m
∆=-=
（4） 式中b 为黏性阻尼系数，s 为光电门A 、B 的距离，m 为滑块的质量，则有检查滑块调平的要求：
①滑块从A 向B 运动时，A B v v >；相反运动时，B A v v >。

由于挡光片的宽度(挡光片第一前沿到第二前沿的距离)d 相同，所以A →B 时，A B t t <，相反时，B A t t <。

（速度取正值，
/,/A A B B v d t v d t ==）
②由A 向B 运动时的速度损失AB v ∆要和相反运动时的速度损失BA v ∆尽量接近。

3、 黏性阻尼常量b
当气轨已调平，滑块以A v 、B v 通过光电门A 、B ，再反向通过光电门B ，A 。

AB v ∆与BA v ∆很接近，取||||
2
AB BA v v v ∆∆∆+=
，则由（4）式有
||||
2
AB BA v v m b s ∆∆+=
（5）
4、 加速度a 的测量
由22,,2A B B A A B d d v v v v as t t ==-=得22211
()2B A
d a s t t =- ，但此式存在用平均速度d t 代替瞬时
速度而产生的系统误差。

为减少这一误差，将
A d t 看成滑块在02A t t +时刻的瞬时速度，将B
d
t 看成滑块在
02
B
AB t t t ++
时刻的瞬时速度，式中t 0为滑块挡光片第一前沿通过光电门A 的时刻。

则由加速度的定义有
11
()22
B A B A
AB d a t t
t t t =
-+- （6）
此式降低了用平均速度代替瞬时速度带来的系统误差。

5、 系统误差的一种修正
在调平中要求速度损失AB v ∆与BA v ∆尽量接近，为了节省实验时间，我们考虑两个速度损失有一定差异时的修正。

此时假定导轨有一个很小的倾角θ0，于是：
101202
sin /sin /ma mg bs t ma mg bs t θθ=-=--
式中a 1,a 2分别为同一滑块由A 到B 和由B 到A 的加速度，而t 1,t 2则分别为相应的时间。

于
是由此方程组中可解得：
()1212120112212()()sin ().
b m a a t t s t t a t a t g t t θ=-++=-+
2
2
2
22212222121221()()()()()()t t u m u s u a u t u b b m s a a t t t t ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可根据上式求出b 并与由（5）得到的结果进行比较。

五、
实验内容和步骤
1、 调平气轨，算出b 值
把智能计时器的功能键置于S1,调整导轨架下的底脚螺钉，使导轨处于水平，当导轨调平时，满足：
① 滑块从A 向B 运动时A B t t <，从B 向A 运动时，B A t t <。

满足以上条件时，将功能键改置于α档，继续调整螺钉，使满足 ②由A 向B 运动时的加速度与由B 向A 运动时的加速度尽量接近。

在最接近时记录以下数据
挡光片宽度d = cm ； 滑块质量 m = g
A 门位置： 1s = m
B 门位置：2s = m 光电门A 、B 间的距离 12||s s s =-= m
t A (t B )/ms t AB (t BA )/s t B (t A )/ms v A (v B )/(cm/s) v B (v A )/(cm/s) a /(cm/s 2) 从A 到B
从B 到A
计算黏性阻尼常量||||
2
AB BA v v m b s ∆∆+=
=
2、 测滑块在倾斜导轨上的加速度a 和当地的重力加速度g
将导轨的一端垫高h （用游标卡尺测出），测出前后支点间的距离L ，计算出导轨倾角的正弦sin θ，计时器调在加速度α档，记录滑块由A 至B 的时间。

改变h ，重复测量共5次。

支点间的距离L ＝ m 。

测量次数n 1 2 3 4 5 h /cm
0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 sin h
L
θ=
A t /ms
B t /ms
AB t /ms
1()(m s )A A
d
v t -=⋅
1()(m s )B B
d
v t -=
⋅
1
()/(m s )AB
s v t -=
⋅
a /(m ·s -2)
(/)AB y a v t ∆=+/(m ·s -2)
其中11
()22
B A B A
AB d a t t
t t t =
-+-.
根据y=(g/L )h 用最小二乘法和作图法计算g ,并评定不确定度。

六、
测量结果：
重力加速度的测得值ˆg
= 重力加速度的不确定度()u g 评定：
重力加速度的测量结果：ˆ()g g
u g =±=
小结：。