四川省泸州市泸县第一中学2020届高三数学上学期开学考试试题理

四川省泸州市泸县第一中学2020届高三数学上学期开学考试试题理
第I卷（选择题60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1.设集合，，则
A. B. C. D.
2.若复数满足，是虚数单位则||=
A. 1
B.
C.
D. 2
3.已知等比数列满足，，则其前6项的和为
A. B. C. D.
4.依照某发展中国家2018年的官方资料，将该国所有家庭按年收入从低到高的顺序平均分为五组，依次为第一组至第五组，各组家庭的年收入总和占该国全部家庭的年收入总和的百分比如图所示.
以下关于该国2018年家庭收入的判断，一定正确的是
A. 至少有的家庭的年收入都低于全部家庭的平均年收入
B. 收入最低的那的家庭平均年收入为全部家庭平均年收入的
C. 收入最高的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的
D. 收入最低的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的
5.双曲线的焦距是
A. B. C. D.
6.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是
A. B. C. D.
7.若向量,,则
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
8.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是
A. B. C. D.
9.箱子里有大小相同且编号为1，2，3，4，5的五个球，现随机取出两个球，则这两个球编号之差的绝对值为3的概率是
A. B. C. D.
10.函数的图像大致是
A. B.
C. D.
11.已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数
的图象关于对称，则=
A. －7
B. －9
C. －11
D. －13
12.已知直线与中心在原点的双曲线交于两点，是的右焦点，若
，则的离心率为
A. B. C. 2 D.
第II卷（非选择题90分)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数，则________．
14.在的展开式中，的系数为__________．
15.某超市内一排共有个收费通道，每个通道处有号，号两个收费点，根据每天的人流量，超市准备周一选择其中的处通道，要求处通道互不相邻，且每个通道至少开通一个收费点，则周一这天超市选择收费的安排方式共有__________种．
16.已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本大题满分12分）
已知向量，，，设．
（1）求函数的解析式及单调增区间；
（2）在中，，，分别为角，，的对边，且，，，求的面积．
18.（本大题满分12分）
为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示.
（1）求这4000名考生的半均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布，其中分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？
（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求.（精确到0.001）
附：①；
②，则
；
③.
19.（本大题满分12分）
如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面.
（1）求证：平面；
（2）当时，求二面角的余弦值.
20.（本大题满分12分）
已知函数，其中
为自然对数的底数，
.
（1）当
时，求
的极值；
（2）若存在实数
，使得
，且
，求证：
21（本大题满分12分）
已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1
9
-，记动点M 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设点的坐标为，直线与曲线相交于，两点，求的值.
23.已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）若的解集包含集合，求实数的取值范围.
2019-2020学年四川省泸县第一中学高三开学考试
数学（理）试题答案
1.D
2.B
3.B
4.C
5.D
6.D
7.A
8.C
9.B 10.C 11.C 12.A
13.3 14.-30 15.108 16.
17.（1）解：
．
，．得，．
所以函数的单调递增区间为，．
（2）解：∵，∴．
∵，∴，∴，即．
由余弦定理得：，
∴，∴．∴．
18.（1）由题意知：
∴
，
∴名考生的竞赛平均成绩为分.
（2）依题意服从正态分布，其中，，，∴服从正态分布，而
，
∴.∴竞赛成绩超过分的人数估计为
人人.
（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.而
，∴
.
19.(1)证明:平面平面,
又是正方形,
平面;
(2)由(1)平面平面
过作则有
以为原点,分别以为坐标轴,
建立如图的空间直角坐标系.
设
可得
则
设平面的一个法向量为
则有
令
设平面的一个法向量为
令
所以二面角的余弦值为
20.解:(1)
当时, 得.
当时,
当时,
所以当时,
单调递减, 当
时,单调递增,
可得当时, 有极小值
(2)由(1) 当时,
此时
单调递增, 若,可得
,与
矛盾;
当
时, 由(1) 知当
时,
单调递减, 当时,
单调递增, 同理不存在或
，使得
;
不妨设,则有
因为
时,
单调递减, 当时,
单调递增,且
,
所以当时,
由且
,可得
,故
,
又在
单调递减,且
所以,所以
.同理
即 解得
综上所述,命题得证.
21.(1)解：（Ⅰ）设动点(),M x y ，则,33
MA MB y y k k x x =
=+- ()3x ≠±， 19MA MB k k =-，即1
339
y y x x ⋅=-+-.
化简得： 22
19x y +=，由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为2219
x y += ()3x ≠±.
（Ⅱ）由已知直线l 过点()1,0T ， 设l 的方程为1x my =+，则联立方程组221
{ 99
x my x y =++=，
消去x 得 (
)
2
2
9280m y my ++-=,
设()()1122,,,P x y Q x y ，则122122
29
{
8
9
m y y m y y m +=-
+-=+，
直线SP 与SQ 斜率分别为11111SP y y k x s my s =
=-+- ， 22
221SQ y y k x s my s
==-+-， ()()12
1111SP SP y y k k my s my s =
+-+-
()()()
12
2
2121211y y m y y m s y y s =
+-++-
()()
2
2
28
991s
m s -=
-+-.
当3s =时， ()
282991SP SP k k s -=
=--；当3s =-时， ()
2
811891SP SP k k s -==--. 所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值. 22.（1）曲线，即
，
∵
，
，
∴曲线的直角坐标方程为，即
.
（2）将代入
并整理得，
∴，，
∴
，
∵
，
∴
. 23.解：（1）当时，，
， 上述不等式可化为，或
或
， 解得，或，或， ∴或或，∴原不等式的解集为. （2）∵的解集包含集合， ∴当时，不等式恒成立， 即在上恒成立， ∴，即，∴， ∴在上恒成立， ∴
， ∴，∴的取值范围是.。