古希腊数学课件人教新课标(2)
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• 通常把公元前30年到公元6世纪(641年，阿拉伯人占 领亚历山大）称为希腊数学的“亚历山大后期”。
• 希腊几何已经失去了前期的光辉。唯一值得可提的几 何学家是海伦（约公元1世纪）代表作《量度》，主要 讨论各种几何图形的面积和体积的计算，包括以他名 字命名的三角形面积公式。
• 亚历山大后期最富有创造性的成绩是三角学的建立。 代表人物托勒玫（约100－170）和他的《大成》，出 现了相当于正弦函数表的“弦表”。
趣事
• 欧几里得是希腊论证几何的集大成者。 • 在公元前300年左右，欧几里得受托勒密一世之邀到亚
历山大，成为亚历山大学派得奠基人。据说受托勒密 曾问欧几里德有无学习几何的捷径？欧几里德回答说： “几何学无王者之道”。 • 有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问“学了这 些我能获得什么呢？”欧几里德叫来一个仆人吩咐说： “给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西 中捞点什么”。－－欧几里德反对狭隘的实用观点
三、欧几里得与几何《本来》
• 《本来》共13卷。包括5条公理、5条公设、119个定义 和465个命题。
• 第5公设就是平面几何中的“几何公理”。自《本来》 产生后，该公设就引发了很多议论，后世数学家大都认 为它是一个可以证明的命题，但所有证明它的企图都没 成功，这一努力后来导致19世纪非欧几何的产生。
• 第1－4卷和第6卷是关于平面几何的内容；
第5卷讲比例论；
第7－9卷是关于数论的内容；
第10卷讨论不可公度量；
第11－13卷主要是立体几何的内容。
• 就内容而言，有很多来自于此前的毕达哥拉斯学派和 欧多克斯的工作。
• 欧几里得的《几何本来》是一部划时代的著作。其伟 大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎数学体系 的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、 片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法， 把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间 的内在联系，整理在一个周密的系统之中，才能建成 宏伟的大厦。《几何本来》体现了这种精神，它对整 个数学的发展产生深远的影响。
一、希腊的先行者 二、毕达哥拉斯学派 三、欧几里得与《本来》 四、数学之神—阿基米得
论证数学的发端
泰勒斯和毕达哥拉斯 泰勒斯（约前625－547）是所知最早的希腊数学家
和论证几何学的鼻祖.诞生于小亚细亚的爱奥尼亚， 将埃及的几何研究引进希腊，他领导的爱奥尼亚学派 据说开了希腊命题论证之先河。 注：关于泰勒斯在数学上的贡献的证据来自于公元5 世纪的普洛克鲁斯所著的《欧几里德本来第一卷评注 》引述约公元前330年欧多谟斯（亚里士多德的学生 ）所撰《几何学史》的内容。
• 亚历山大最后一位重要的数学家是帕波斯（约公元 300－350）。他的《数学汇编》既总结了前人的成 果，也包含了作者本人的创造性贡献。
• 公元325年，罗马帝国的君士坦丁大帝开始利用宗 教作为统治的工具，把一切学术都置于基督教神学 的控制之下。公元392年，基督教徒烧毁了亚历山 大图书馆。公元415年，女数学家希帕蒂娅被基督 暴徒杀害。
四、阿基米德的数学成绩
• 阿基米德 (公元前 287-212) 是公认的古希腊时代最伟大 的数学家。他生于西西里岛 的叙拉古，但很可能曾在亚 历山大学习数学，后回到故 乡，仍与亚历山大学派有密 切联系。后被罗马士兵杀害。
• 其著述极为丰富，涉及数学、 力学和天文学；而他最引以 自豪者，首推球面面积公式 的证明，這也就是遵照他本 人的遗嘱刻在他的墓碑上的。
泰勒斯的贡献：
1、任何圆周都被其直径平分； 2、等腰三角形的两底角相等； 3、两相交直线形成的对顶角相等； 4、若已知三角形的一边和两邻角，则三角形完全确定；
即如果一三角形有两邻角和一边与对应三角形的对应 角、边相等，则这两个三角形全等。 5、泰勒斯定理：半圆上的圆周角是直角。
毕达哥拉斯（约前580－前497）是希腊论证数学的另 一鼻祖。生于靠近小亚细亚的萨默斯岛，年轻时曾游 历埃及和巴比伦，甚至可能到过印度，年过半百后回 到故乡并开始讲学，约前520年左右移居西西里岛， 后定居于当时的大希腊（现意大利的克洛托内）建立 了今天所称的毕达哥拉斯秘密宗教学派，致力于哲学 和数学的研究。在大希腊，毕达哥拉斯赢得了很高的 名誉，产生了相当达的政治影响，但却引起敌对派的 嫉恨，终被暴徒杀害。 今天人们对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主要也是 通过普洛克卢斯等人关于希腊数学著作的评注。
因为毕达哥拉斯学派的许多几何证明都是建立在任何 量都是可公度的基础上，所以引发了第一次数学危机。
• 数字神秘主义
例如：偶数是可分解的、从而也是容易消失的、阴性 的、属于地上的，代表黑暗和邪恶。奇数是不可分解 的、阳性的、属于天上的，代表光明和善良。
• 证明的思想
例如：勾股定理的证明，估计毕达哥拉斯从铺地砖中 获得了启示。
• 阿基米德创建了称为“平衡法”的求积方法，其实质 上是一种原始的积分法。
例：球的体积公式的求法。
• 趣事： （1）“给我一个支点，我就可以移动地球！” （2）“阿基米德原理”
亚历山大后期和希腊 数学的衰落
• 崛起于意大利半岛中部的罗马民族，在公元前1世纪 完全征服希腊各国夺得了地中海地区的霸权，建立了 强大的罗马帝国。唯理的希腊文明被务实的罗马文明 所取代。同影响深远的罗马法典和蔼势恢弘的罗马建 筑相比，罗马人在数学领域却谈不上有什么显要的功 绩。
上述诸多学派以哲学探讨为主，但他们的研究活动极 大地加强了希腊数学的理论化色彩，主要表现在以下 三个方面：
黄金时代－亚历山大学派
• 时间：公元前338年希腊诸邦被马其顿国王腓力二世(前 382 －前336) 控制至公元前30年罗马帝国大将屋大维 （奥古斯都）打败托勒密王朝末代女王克利奥帕特拉及 其情夫罗马将领安东尼，占领亚历山大，埃及沦为罗马 帝国的一个行省为止。
托勒玫定理：圆内接四边形中，两条对角线长的乘积 等于两对对边长乘积之和。
• 算术和代数方面，代表人物是尼克马科斯（约公元1世 纪）和丢番图（约公元250年前后），分别著有《算术 入门》和《算术》。 《算术》是一部划代的著作，它 在历史上影响之大，可和欧几里得的《几何本来》相媲 美。
• 《算术》以不定方程的求解而著称，对代数学的发展起 了极其重要的作用，对后来的数论学者有很深的影响。 17世纪法国数学家费马在阅读《算术》的“将一个平方 数分成两个平方数之和”的问题时作的一个边注，引出 了后来的“费马猜想”。1995年，怀尔斯和他的学生泰 勒证明了“费马猜想”。
• 公元529年，东罗马帝国皇帝查士·丁尼下令关闭雅典 的柏拉图学园以及其他学校，严禁传授数学。许多希 腊学者逃到叙利亚和波斯等地。数学研究受到沉重的 打击。641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再 次被毁，希腊数学至此告一段落。
毕达哥拉斯学派的数学成绩
• 数的研究 完全数：12，28；亲和数：220和284；形数： “三角 形数”、“正方形数”、 “五角形数”等；勾股数：
• 几何成绩 欧几里得《本来》第8卷附注指出五个正多面体的作图 的其中前三个归功于毕达哥拉斯学派，后两个归功于 蒂奥泰德（毕达哥拉斯学派晚期成员西奥多罗斯的学 生，深受毕达哥拉斯学派影响）。 一般认为，欧几里得《本来》第1卷和第2卷的大部分 资料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以 毕达哥拉斯的名字命名的勾股定理。
• 雅典学派（柏拉图学派）：柏拉图（前427－前347） 创建，后著名数学家欧多克斯（前408－前307）率徒 加入。
• 亚里士多德学派（吕园学派）：由柏拉图的学生亚里 士多德（前384－前322）于公元前335年创建。相传亚 里士多德曾作过亚历山大大帝的老师。前面提到的 《几何学史》的作者欧多谟斯是亚里士多德的学生。
• 地点：希腊数学中心从雅典转移到了亚历山大城。公元 前332年，马其顿帝国君主腓力二世之子亚历山大三世 （前356—前323）占领埃及，建立亚历山大城。亚历山 大去世后，帝国一分为三。其部将托勒密在埃及建立亚 历山大为首都的托勒密王朝（公元前305-30年）。
• 代表人物：欧几里得、阿基米德和阿波罗尼斯奥。
2.1.2.雅典时期的希腊数学 波希战争（前492－前449）后，雅典成为希腊民主政 治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁华，学 派林立，主要有：
• 伊利亚学派：主要活动在伊利亚（意大利的南端）地 区，主要代表人物是芝诺。
• 诡辩学派（智人学派）：以希比阿斯（前460－）、安 提丰、布里松等为代表。
毕达哥拉斯学派的数学思想
• 万物皆数
这里的数是整数或整数之比。“人们所知道的一切事 物中都包含数；因此，没有数既不可能表达，也不可 能理解任何事物。”
任何量都可以表示成两个整数之比。在几何上即任何 两个线段，总能找到第三个线段，以它为单位可以讲 给定的两个线段分为整数段。希腊人称之这两线段是 “可公度的”。据说该学派的希帕图斯第一发现了正 方形的对角线和一条边的不可公度性，这导致了无理 数的发现，动摇了毕达哥拉斯学派的信条。
第二讲 古希腊数学
• 公元前600年－公元600年间(公元641年，阿拉伯人占 领亚历山大城）
• 古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整 个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和 小亚细亚及非洲北部等地。
• 古希腊人也叫海仑人，其历史可追溯到前2000年，先在 希腊半岛定居，到前600年左右后逐步扩张到上述地区。 作为海滨移民，他们具有典型的开辟精神，对于所接触 的事物，不愿因袭传统；其次他们身处两大河谷文明毗 邻之地，易于涉取那里的文化。
• 希腊几何已经失去了前期的光辉。唯一值得可提的几 何学家是海伦（约公元1世纪）代表作《量度》，主要 讨论各种几何图形的面积和体积的计算，包括以他名 字命名的三角形面积公式。
• 亚历山大后期最富有创造性的成绩是三角学的建立。 代表人物托勒玫（约100－170）和他的《大成》，出 现了相当于正弦函数表的“弦表”。
趣事
• 欧几里得是希腊论证几何的集大成者。 • 在公元前300年左右，欧几里得受托勒密一世之邀到亚
历山大，成为亚历山大学派得奠基人。据说受托勒密 曾问欧几里德有无学习几何的捷径？欧几里德回答说： “几何学无王者之道”。 • 有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问“学了这 些我能获得什么呢？”欧几里德叫来一个仆人吩咐说： “给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西 中捞点什么”。－－欧几里德反对狭隘的实用观点
三、欧几里得与几何《本来》
• 《本来》共13卷。包括5条公理、5条公设、119个定义 和465个命题。
• 第5公设就是平面几何中的“几何公理”。自《本来》 产生后，该公设就引发了很多议论，后世数学家大都认 为它是一个可以证明的命题，但所有证明它的企图都没 成功，这一努力后来导致19世纪非欧几何的产生。
• 第1－4卷和第6卷是关于平面几何的内容；
第5卷讲比例论；
第7－9卷是关于数论的内容；
第10卷讨论不可公度量；
第11－13卷主要是立体几何的内容。
• 就内容而言，有很多来自于此前的毕达哥拉斯学派和 欧多克斯的工作。
• 欧几里得的《几何本来》是一部划时代的著作。其伟 大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎数学体系 的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、 片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法， 把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间 的内在联系，整理在一个周密的系统之中，才能建成 宏伟的大厦。《几何本来》体现了这种精神，它对整 个数学的发展产生深远的影响。
一、希腊的先行者 二、毕达哥拉斯学派 三、欧几里得与《本来》 四、数学之神—阿基米得
论证数学的发端
泰勒斯和毕达哥拉斯 泰勒斯（约前625－547）是所知最早的希腊数学家
和论证几何学的鼻祖.诞生于小亚细亚的爱奥尼亚， 将埃及的几何研究引进希腊，他领导的爱奥尼亚学派 据说开了希腊命题论证之先河。 注：关于泰勒斯在数学上的贡献的证据来自于公元5 世纪的普洛克鲁斯所著的《欧几里德本来第一卷评注 》引述约公元前330年欧多谟斯（亚里士多德的学生 ）所撰《几何学史》的内容。
• 亚历山大最后一位重要的数学家是帕波斯（约公元 300－350）。他的《数学汇编》既总结了前人的成 果，也包含了作者本人的创造性贡献。
• 公元325年，罗马帝国的君士坦丁大帝开始利用宗 教作为统治的工具，把一切学术都置于基督教神学 的控制之下。公元392年，基督教徒烧毁了亚历山 大图书馆。公元415年，女数学家希帕蒂娅被基督 暴徒杀害。
四、阿基米德的数学成绩
• 阿基米德 (公元前 287-212) 是公认的古希腊时代最伟大 的数学家。他生于西西里岛 的叙拉古，但很可能曾在亚 历山大学习数学，后回到故 乡，仍与亚历山大学派有密 切联系。后被罗马士兵杀害。
• 其著述极为丰富，涉及数学、 力学和天文学；而他最引以 自豪者，首推球面面积公式 的证明，這也就是遵照他本 人的遗嘱刻在他的墓碑上的。
泰勒斯的贡献：
1、任何圆周都被其直径平分； 2、等腰三角形的两底角相等； 3、两相交直线形成的对顶角相等； 4、若已知三角形的一边和两邻角，则三角形完全确定；
即如果一三角形有两邻角和一边与对应三角形的对应 角、边相等，则这两个三角形全等。 5、泰勒斯定理：半圆上的圆周角是直角。
毕达哥拉斯（约前580－前497）是希腊论证数学的另 一鼻祖。生于靠近小亚细亚的萨默斯岛，年轻时曾游 历埃及和巴比伦，甚至可能到过印度，年过半百后回 到故乡并开始讲学，约前520年左右移居西西里岛， 后定居于当时的大希腊（现意大利的克洛托内）建立 了今天所称的毕达哥拉斯秘密宗教学派，致力于哲学 和数学的研究。在大希腊，毕达哥拉斯赢得了很高的 名誉，产生了相当达的政治影响，但却引起敌对派的 嫉恨，终被暴徒杀害。 今天人们对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主要也是 通过普洛克卢斯等人关于希腊数学著作的评注。
因为毕达哥拉斯学派的许多几何证明都是建立在任何 量都是可公度的基础上，所以引发了第一次数学危机。
• 数字神秘主义
例如：偶数是可分解的、从而也是容易消失的、阴性 的、属于地上的，代表黑暗和邪恶。奇数是不可分解 的、阳性的、属于天上的，代表光明和善良。
• 证明的思想
例如：勾股定理的证明，估计毕达哥拉斯从铺地砖中 获得了启示。
• 阿基米德创建了称为“平衡法”的求积方法，其实质 上是一种原始的积分法。
例：球的体积公式的求法。
• 趣事： （1）“给我一个支点，我就可以移动地球！” （2）“阿基米德原理”
亚历山大后期和希腊 数学的衰落
• 崛起于意大利半岛中部的罗马民族，在公元前1世纪 完全征服希腊各国夺得了地中海地区的霸权，建立了 强大的罗马帝国。唯理的希腊文明被务实的罗马文明 所取代。同影响深远的罗马法典和蔼势恢弘的罗马建 筑相比，罗马人在数学领域却谈不上有什么显要的功 绩。
上述诸多学派以哲学探讨为主，但他们的研究活动极 大地加强了希腊数学的理论化色彩，主要表现在以下 三个方面：
黄金时代－亚历山大学派
• 时间：公元前338年希腊诸邦被马其顿国王腓力二世(前 382 －前336) 控制至公元前30年罗马帝国大将屋大维 （奥古斯都）打败托勒密王朝末代女王克利奥帕特拉及 其情夫罗马将领安东尼，占领亚历山大，埃及沦为罗马 帝国的一个行省为止。
托勒玫定理：圆内接四边形中，两条对角线长的乘积 等于两对对边长乘积之和。
• 算术和代数方面，代表人物是尼克马科斯（约公元1世 纪）和丢番图（约公元250年前后），分别著有《算术 入门》和《算术》。 《算术》是一部划代的著作，它 在历史上影响之大，可和欧几里得的《几何本来》相媲 美。
• 《算术》以不定方程的求解而著称，对代数学的发展起 了极其重要的作用，对后来的数论学者有很深的影响。 17世纪法国数学家费马在阅读《算术》的“将一个平方 数分成两个平方数之和”的问题时作的一个边注，引出 了后来的“费马猜想”。1995年，怀尔斯和他的学生泰 勒证明了“费马猜想”。
• 公元529年，东罗马帝国皇帝查士·丁尼下令关闭雅典 的柏拉图学园以及其他学校，严禁传授数学。许多希 腊学者逃到叙利亚和波斯等地。数学研究受到沉重的 打击。641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再 次被毁，希腊数学至此告一段落。
毕达哥拉斯学派的数学成绩
• 数的研究 完全数：12，28；亲和数：220和284；形数： “三角 形数”、“正方形数”、 “五角形数”等；勾股数：
• 几何成绩 欧几里得《本来》第8卷附注指出五个正多面体的作图 的其中前三个归功于毕达哥拉斯学派，后两个归功于 蒂奥泰德（毕达哥拉斯学派晚期成员西奥多罗斯的学 生，深受毕达哥拉斯学派影响）。 一般认为，欧几里得《本来》第1卷和第2卷的大部分 资料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以 毕达哥拉斯的名字命名的勾股定理。
• 雅典学派（柏拉图学派）：柏拉图（前427－前347） 创建，后著名数学家欧多克斯（前408－前307）率徒 加入。
• 亚里士多德学派（吕园学派）：由柏拉图的学生亚里 士多德（前384－前322）于公元前335年创建。相传亚 里士多德曾作过亚历山大大帝的老师。前面提到的 《几何学史》的作者欧多谟斯是亚里士多德的学生。
• 地点：希腊数学中心从雅典转移到了亚历山大城。公元 前332年，马其顿帝国君主腓力二世之子亚历山大三世 （前356—前323）占领埃及，建立亚历山大城。亚历山 大去世后，帝国一分为三。其部将托勒密在埃及建立亚 历山大为首都的托勒密王朝（公元前305-30年）。
• 代表人物：欧几里得、阿基米德和阿波罗尼斯奥。
2.1.2.雅典时期的希腊数学 波希战争（前492－前449）后，雅典成为希腊民主政 治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁华，学 派林立，主要有：
• 伊利亚学派：主要活动在伊利亚（意大利的南端）地 区，主要代表人物是芝诺。
• 诡辩学派（智人学派）：以希比阿斯（前460－）、安 提丰、布里松等为代表。
毕达哥拉斯学派的数学思想
• 万物皆数
这里的数是整数或整数之比。“人们所知道的一切事 物中都包含数；因此，没有数既不可能表达，也不可 能理解任何事物。”
任何量都可以表示成两个整数之比。在几何上即任何 两个线段，总能找到第三个线段，以它为单位可以讲 给定的两个线段分为整数段。希腊人称之这两线段是 “可公度的”。据说该学派的希帕图斯第一发现了正 方形的对角线和一条边的不可公度性，这导致了无理 数的发现，动摇了毕达哥拉斯学派的信条。
第二讲 古希腊数学
• 公元前600年－公元600年间(公元641年，阿拉伯人占 领亚历山大城）
• 古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整 个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和 小亚细亚及非洲北部等地。
• 古希腊人也叫海仑人，其历史可追溯到前2000年，先在 希腊半岛定居，到前600年左右后逐步扩张到上述地区。 作为海滨移民，他们具有典型的开辟精神，对于所接触 的事物，不愿因袭传统；其次他们身处两大河谷文明毗 邻之地，易于涉取那里的文化。