考研数学三(多元函数微积分学)模拟试卷25(题后含答案及解析)

考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷25(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．二元函数在(0，0)点处( )
A．连续，且fx′(0，0)，fy′(0，0)存在．
B．连续，但fx′(0，0)，fy′(0，0)不存在．
C．不连续，但fx′(0，0)，fy′(0，0)存在．
D．不连续，且fx′(0，0)，fy′(0，0)不存在．
正确答案：A
解析：连续性：故f(x，y)在点(0，0)处连续．偏导数：同理故f(x，y)在(0，0)处偏导数存在．知识模块：多元函数微积分学
2．设函数f(x，y)=|x－y|g(x，y)，其中g(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且g(0，0)=0，则在点(0，0)处( )
A．fx′(0，0)与fy′(0，0)都不存在．
B．fx′(0，0)与fy′(0，0)都存在，但都不为0．
C．fx′(0，0)=0，fy′(0，0)=0，但f(x，y)不可微．
D．f(x，y)可微，且df(x，y)|(0,0)=0．
正确答案：D
解析：由于为有界变量，故即fx′(0，0)=0．同理fy′(0，0)=0，排除(A)，
(B)．△f=f(0+△x，0+△y)－f(0，0)=|△x－△y|g(△x，△y)，△f-[fx(0，
0)△x+fy′(0，0)△y]=|△x－△y|g(△x，△y)，由于且故可知f(x,y)在(0,0)点可微，故应选
D．知识模块：多元函数微积分学
3．设u=u(x，y)为二元可微函数，且满足u(x，y)|y=x2=1，ux′(x，y)|y=x2=x，则当x≠0时，uy′(x，y)|y=x2=( )
A．－1
B．
C．1
D．
正确答案：B
解析：由题设可知u(x，y)|y=x2=1，两边对x求导，得ux′=(x，y)|y=x2+uy′(x，y)|y=x2·2x=0，即x+uy′(x，y)|y=x2·2x=0，则当x≠0时，应选(B)．知识模块：多元函数微积分学
4．已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则( )
A．点(0，0)不是函数f(x，y)的极值点．
B．点(0，0)是函数f(x，y)的极大值点．
C．点(0，0)是函数f(x，y)的极小值点．
D．根据条件无法判别点(0，0)是否为函数f(x，y)的极值点．
正确答案：A
解析：又因为f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，由极限与无穷小的关系知f(x，y)=xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)，其中当xy≠0时，显然f(x，y)=xy+o(xy)，当xy>0时，f(x，y)-f(0，0)=xy+o(xy)＞0，当xy因此在(0，0)处，A=f”(0)lnf(0)，B=0，C=f”(0)．由于函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极大值，故应有A＜0，C＜0，即f(0)＞1，f”(0)＜0，应选(B)．知识模块：多元函数微积分学
6．设其中D={(x,y)|x2+y2≤1}，则( )
A．I3＞I2＞I1
B．I1＞I2＞I3．
C．I2＞I1＞I3．
D．I3＞I1＞I2
正确答案：A
解析：在积分区域D={(x，y)|2+y2≤1}上，有从而有且等号仅在区域D的边界上成立．故由二重积分的性质，即I3＞I2＞I1，故应选A．知识模块：多元函数微积分学
7．设平面区域D由直线x+y=1及两条坐标轴所围成．记则有( ) A．I3＞I2＞I1．
B．I1＞I2＞3．
C．2＞I1＞3．
D．I1＞I3＞I2．
正确答案：B
解析：在区域上，有从而有[ln(x+y)]9＜[sin(x+y)]9＜(x+y)9，故即I3＜I2＜I1，应选
B．知识模块：多元函数微积分学
填空题
8．设函数f，g均可微，z=f(xy，ln x+g(xy))，则
正确答案：f2′．
解析：由复合函数的求导法则，则知识模块：多元函数微积分学
9．设是f(x)的一个原函数，则F”(t)=________．
正确答案：cost－1．
解析：由于则知识模块：多元函数微积分学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

10．讨论函数在点(0，0)处的连续性，可导性与可微性．
正确答案：显然故f(x，y)在点(0，0)处连续．因为所以f(x，y)在点(0，0)处的偏导数存在．又因为则即f(x，y)在点(0，0)处不可微．涉及知识点：多元函数微积分学
11．设函数讨论f(x，y)在(0，0)点的可微性．
正确答案：同理fy′(0，0)=0．而故当设△y=k△x时，极限值与k 有关，由此可知f(x，y)在(0，0)点处不可微．涉及知识点：多元函数微积分学
12．求在(0，1)点的偏导数．
正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学
13．设求
正确答案：于是涉及知识点：多元函数微积分学
14．设x=eucos v，y=eusin v，z=uv．试求
正确答案：【解法1】把x，y看成中间变量，u，v看成自变量，由复合函数的偏导数的求导法则，得即解得【解法2】对给定的三个方程分别求全微分，得dx=eucos vdu－eusin vdv．dy=eusin vdu+eucos vdv，dz=vdu+udv．由前两个方程可得du=e－u(cos vdx+sin vdy)，dv=e－u(－sin vdx+cos vdy)，代入第三个方程得dz=ve－u(cos vdx+sin vdy)+ue－u(－sin vdx+cos vdy) =e－u(vcos v－usin v)dx+e－u(vsin vucos v)dy．故涉及知识点：多元函数微积分学
15．设z=[sin(xy)]xy，求dz．
正确答案：由于z=[sin(xy)]xy=exyln[sin(xy)]，利用一阶微分形式的不变性，得涉及知识点：多元函数微积分学
16．设z=f[φ(x)－y，ψ(y)+x]，f具有连续的二阶偏导数，φ，ψ可导，求
正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学
17．设z=xf(x，u，v)，u=ln(cosx)，v=xsiny，其中f可微，求
正确答案：z=xf(x，ln(cosx)，xsiny)，涉及知识点：多元函数微积分学
18．已知z=u(x，y)eax+by，且试确定常数a，b，使得恒成立．
正确答案：代入给定方程，得到故a=1，b=1．涉及知识点：多元函数微积分学
19．设函数z=z(x，y)是由方程所确定，且f可微，求
正确答案：【解法1】将方程的两端对x求偏导数，注意z是x，y的函数，得解得同理，对给定方程的两端对y求偏导数，注意x是x，y的函数．得解得【解法2】令则所以【解法3】对给定的方程两端同时求微分，则得则因此涉及知识点：多元函数微积分学
20．设z=z(x，y)是由方程f(y－x，yz)=0所确定的隐函数，其中函数f对各个变量具有连续的二阶偏导数，求
正确答案：将方程f(y－x，yz)=0的两端对x求导，得解之得再将(*)式的两边对x求导，得所以涉及知识点：多元函数微积分学
21．设方程组确定函数u=u(x，y)，v=v(x，y)，求
正确答案：对方程组中两个等式分别对x求偏导数，得将上面等式中的看成未知数，整理得利用克拉默法则，得涉及知识点：多元函数微积分学
22．设u=f(x，y，z)具有连续的一阶偏导数，又y=y(x)，z=z(x)分别由exy －xy=2和所确定，求
正确答案：由u=f(x，y，z)知对exy－xy=2两边关于x求导，得从而对两边关于x求导，得从而所以涉及知识点：多元函数微积分学
23．设y=g(x，z)，而x是由方程f(x－z，xy)=0所确定的x，y的函数，求
正确答案：设这是两个方程组成的方程组，有三个未知数．由欲求的结果可知方程组确定y，z分别是x的一元函数．方程组的两边分别对x求导，得将上面等式中的看成未知数，整理得利用克拉默法则，有涉及知识点：多元函数微积分学
24．设函数f(x)在(0，+∞)内具有二阶连续导数，且时，满足与f(1)=f′
(1)=1．求函数f(r)的表达式．
正确答案：设则u=f(r)，从而同理可得代入得当r＞0时，即两边同乘r2，得r2f”(r)+2rf′(r)=0，即[r2f′(r)]′=0，于是，r2f′(r)= C．由f′(1)=1可知C=1，于是再由f(1)=1可知C1=2，故涉及知识点：多元函数微积分学
25．设函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足f(0，0)=1，fx′(0，0)=2，fy′(0，y)=－3以及fxx”(x，y)=y，fxy”(x，y)=x+y，求f(x，y)的表达式．
正确答案：将fxx”(x，y)=y对变量x求不定积分，得同样将fxy”(x，y)=x+y 对变量)，求不定积分，得比较两个表达式，得即由于fx′(0，0)=2，故C=2．即将两边对戈求不定积分，得从而由于fy′(0，y)=－3，得C2′(y)=－3．故C2(y)=－3y+C3，于是再由f(0，0)=1的C，=1，所以涉及知识点：多元函数微积分学
26．求函数z=x4+y4－x2－2xy－y2的极值．
正确答案：因此函数的驻点为(1，1)，(－1，－1)，(0，0)．在(1，1)处，A=10＞0，B=－2，C=10＞0，AC—B2=96＞0，故(1，1)是极小值点，z(1，1)=-2是函数的极小值．在(－1，－1)处，A=10＞0，B=－2，C=10＞0，AC—B2=96＞0，故(－1，－1)是极小值点，z(－1，－1)=-2是函数的极小值．在(0，0)处，A=－2，B=－2，C=－2，AC－B2=0，无法用函数取极值的充分条件判断，需用函数极值的定义判断．将函数改写成z=x4+y4－(x+y)2，则易知：在点(0，0)的充分小的去心邻域内，若点(x，y)位于y=－x上，则z=2x4＞0=f(0，0)；若点(x，y)位于x=0上，则z=y2(y2－1)＜0=f(0，0)．故(0，0)不是函数的极值点．总之，函数的极小值为－2，没有极大值．涉及知识点：多元函数微积分学。