高考数学赢在微点2018年 理科使用-配餐作业38

配餐作业(三十八)
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、选择题
1．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，
则p 是q 的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 画出可行域，易知命题q 中不等式组表示的平面区域在命题p 中不等式表示的圆面内，故是必要不充分条件。

解析：取x ＝y ＝0满足条件p ，但不满足条件q ，反之，对于任意的x ，y 满足条件q ，显然必满足条件p ，所以p 是q 的必要不充分条件。

故选A 。

答案 A
2．若满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y －2≤0，
y ≥a
的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是
指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．0
解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只
有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点。

故选C 。

答案 C
3．已知不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤1，x －y ≥－1，
y ≥0
所表示的平面区域为D ，若直线y
＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围是( )
A ．[－3,3]
B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫
13，＋∞
C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－13，13
解析 满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示。

因为直线y ＝kx －3过定点(0，－3)，所以当y ＝kx －3过点C (1,0)时，k ＝3；当y ＝kx －3过点B (－1,0)时，k ＝－3，所以当k ≤－3或k ≥3时，直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点。

故选C 。

答案 C
4．(2017·北京高考)若x ，y
满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤3，x ＋y ≥2，
y ≤x ，
则x ＋2y 的最大值为
( )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
解析 根据二元一次不等式组作出可行域，如图中阴影部分。

令z ＝x ＋2y 。

令z ＝0，即x ＋2y ＝0，在图中作出直线x ＋2y ＝0(虚线表示)。

向上平移这条直线，当它过点A 时，z 取得最大值(实线表示)。

A 为直线x ＝3与直线y ＝x 的交点，解得A (3,3)。

故z max ＝3＋3×2＝9。

故选D 。

答案 D
5．设x ，y
满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，
3x －y －5≥0，
则z ＝2x －y 的最大值为
( )
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
解析 画出可行域如图所示。

由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移，当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时，即得z 的最大
值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5，
y ＝2，
即A (5,2)，
则z max ＝2×5－2＝8。

故选B 。

答案 B
6．(2018·石家庄质检)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，mx －y ≤0，
3x －2y ＋2≥0，且z ＝3x －y 的
最大值为2，则实数m 的值为( )
A ．1
3 B ．23 C ．1
D ．2
解析 若z ＝3x －y 的最大值为2，则此时目标函数为y ＝3x －2，直线
y ＝3x －2与3x －2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A (2,4)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
34，14，mx －y ＝
0经过其中一点，所以m ＝2或m ＝13，当m ＝1
3时，经检验不符合题意，故m ＝2。

故选D 。

答案 D
7．(2018·洛阳统考)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，
2x －y ＋2≥0，
若z ＝y
－ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数a 的取值集合为( )
A ．{2，－1}
B ．{a ∈R |a ≠2}
C ．{a ∈R |a ≠－1}
D ．{a ∈R |a ≠2且a ≠－1}
解析 不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示。

由z ＝－ax ＋y 得y ＝ax ＋z 。

若a ＝0，直线y ＝ax ＋z ＝z ，此时最大的最优解只有一个，
满足条件。

若a >0，则直线y ＝ax ＋z 的纵截距最大时， z 取得最大值，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则a ≠2。

若a <0，则直线y ＝ax ＋z 的纵截距最大时，z 取得最大值，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则a ≠－1。

故选D 。

答案 D
8．(2018·武汉调研)设x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≥a ，
x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay
的最小值为7，则a ＝( )
A ．－5
B ．3
C ．－5或3
D ．5或－3
解析 根据约束条件画出可行域如图①中阴影部分所示：
图①
可知可行域为开口向上的V 字型。

在顶点处z 有最小值，顶点为
⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12，则a －12＋a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a ＋12＝7，解得a ＝3或a ＝－5。

当a ＝－5时，如图②，虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意。

故选B 。

图②
答案 B 二、填空题
9．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0，x ＋y ≥0，
kx －y ＋1≥0
表示的平面区域是等腰直
角三角形，则其表示的区域面积为________。

解析 直线kx －y ＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线kx －y ＋1＝0垂直于y 轴(如图①)或与直线x ＋y ＝0垂直(如图②)时才符合题意。

所以S ＝12×1×1＝12或S ＝12×22×22＝1
4。

答案 12或14
10．若直线y ＝2x
上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x ≥m ，
则
实数m 的取值范围是________。

解析 根据题意，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ，
x ＋y －3＝0，可求得交点坐标为(1,2)，要使直
线y ＝2x
上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x ≥m ，
则点(1,2)在可行
域内，如图所示，可得m ≤1。

答案 (－∞，1]
11．若变量x ，y 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
|x |＋|y |≤1，
xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围是________。

解析 作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围是[－2,2]。

答案 [－
2,2]
1．(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤0，x －y ≤0，
x 2＋y 2≤r 2
(r
为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1
x ＋3
的最小值为( ) A ．－1
B ．－52＋17
C ．13
D ．－75
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知14πr 2
＝π，解得r ＝2。

z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，表示可行域内的点与点P (－
3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小。

设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有
|3k ＋2|
k 2
＋1
＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝1
－125＝－7
5。

故选D 。

答案 D
2．(2018·福州质检)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＋1≥0，x －2y ＋2≤0，
x ＋y －4≤0的解集记作D ，实数x ，
y 满足如下两个条件：
①∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ；②∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a 。

则实数a 的取值范围是( ) A ．[－
2,1] B ．[0,1] C ．[－2,3]
D ．[0,3]
【命题立意】
本题考查了数形结合思想的运用。

画出可行域，y ≥ax 与x －y ≤a 分别表示两个平面区域，利用直线斜率和截距的几何意义解决问题。

解析 根据约束条件，可得可行域D 如图中阴影部分(△ABC 及其内
部)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋2＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝2，所以点B 的坐标为(2,2)。

由
⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋1＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝3，所以点C 的坐标为(1,3)。

因为∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ，且过原点的直线y ＝ax 的斜率为a ，由图可知，a ≤k OB ，所以a ≤1。

由∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a ，设z ＝x －y ，则a ≥z min 。

当目标函数z ＝x －y 过点C (1,3)时，z ＝x －y 取得最小值，此时z min ＝1－3＝－2，所以a ≥－2。

综上可知，实数a 的取值范围是[－2,1]。

故选A 。

答案 A
3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，
x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最
大值为________。

解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示。

z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|
5
×5，即其几何含义为阴影区域内的点到直
线x ＋2y －4＝0的距离的5倍。

由⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋2＝0，
2x －y －5＝0，
得点B 坐标为(7,9)，
显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21。

答案 21
4．设P 是不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ，y ≥0，x －y ≥－1，
x ＋y ≤3
表示的平面区域内的任意一点，
向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，若OP →＝λm ＋μn ，则2λ＋μ的最大值为________。

解析 首先根据已知约束条件画出其所在的平面区域如图所示。

设点
P (x ，y )，然后由m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，且OP →＝λm ＋μn 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ，所以
⎩⎪⎨⎪⎧
μ＝x －y ，
λ＝－x ＋2y ，
所以令z ＝2λ＋μ＝(－x ＋2y )×2＋(x －y )＝－x ＋3y ，最后根据图形可得在点B 处取得最大值，即z max ＝(2λ＋μ)max ＝－1＋3×2＝5。

答案 5。