湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2016届高三数学模拟考试试题 理(含解析)

湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2016届高三数学
模拟考试试题 理（含解析）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知复数1i
z i
=
-（其中i 为虚数单位），则z z =（ ）
A ．1
B ．34
D ．
1
2
【答案】D 【解析】 试题分析：因i i i z 2
121)1(21+-=+=,故i 2121--=，所以21)21()21(22=--=⋅i z z ,
故应选D.
考点：复数的运算． 2.设非空集合P Q 、满足P
Q P =，则（ ）
A ．x Q ∀∈，有x P ∈
B ．x Q ∀∉，有x P ∉
C ．0x Q ∃∉，使得0x P ∈
D ．0x P ∃∈，
使得0x Q ∉ 【答案】B
考点：集合的运算．
3.已知随机变量X 服从正态分布()
()2
2,,040.8N P X σ<<=，则()4P X >=（ ）
A ．0.4
B ．0.2
C ．0.1
D ．0.05 【答案】C 【解析】
试题分析：由于2是对称轴,因此1.0)8.01(2
1
)4()0(=-=>=<X P X P ，故应选C. 考点：服从正态分布的随机变量的概率．
4.某学校高一、高二、高三年级分别有720、800人，现从全校随机抽取56人参加防火防灾问卷调查．先采用分层抽样确定各年级参加调查的人数，再在各年级内采用系统抽样确定参加调查的同学，若将高三年级的同学依次编号为001，002，…，800，则高三年级抽取的同学的编号不可能为（ ）
A ．001，041，……761
B ．031，071，……791
C ．027，067，……787
D ．055，095，……795 【答案】D 【解析】
试题分析：由系统抽样得到的数据特征应成等差数列,经计算答案中的数据740055795=-不是40的整数倍,因此这组数据不合系统抽样得到的,故应选D. 考点：系统抽样的特征．
5.右图为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（ ）
A ．20i <=
B ．20i <
C ．20i >=
D ．20i > 【答案】A
考点：算法流程的伪代码语言及理解．
6.已知22cos
,sin ,,33a OA a b OB a b ππ⎛⎫
==-=+ ⎪⎝⎭
，若OAB ∆是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB ∆的面积等于（ ） A ．1 B ．1
2
C ．2
D ．
32
【答案】B 【解析】
试题分析：因OAB ∆是等腰三角形,故||||OB OA =,又AOB ∠是直角,故0=⋅，即
02
2=-,也即1||||==b a ,所以OAB ∆的面积为2
1
1121=⨯⨯=
S ,应选B. 考点：向量及运算．
【易错点晴】本题以向量的坐标形式为背景，考查的是向量的有关知识在解题中的运用.解答本题的难点是搞清三角形OAB ∆的形状,也解答好本题的关键,求解时充分借助题设条件,将所提供的有效信息进行合理的分析和利用,最后使得问题化难为简避繁就简,体现数学中转化与化归的数学思想的理解和巧妙运用.本题中的隐含信息是向量a 的模为1.
7.一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期）是（ ）年（精确到0.1，已知lg 20.3010,lg30.4771==）． A ．5.2 B ．6.6 C ．7.1 D ．8.3 【答案】B 【解析】
试题分析：设半衰期为n ,则由题设可得2
1
9.0=
n
,两边取对数得:2lg 9.0lg -=n ,则6.63
lg 212
lg ≈-=
n ,应选B.
考点：指数对数的运算性质及运用． 8.已知函数()sin 26f x x m π⎛⎫
=-
- ⎪⎝
⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）
A．
1
,1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B．
1
,1
2
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭ C．
1
,1
2
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
D．
1
,1
2
⎛⎫-
⎪⎝⎭
【答案】B
考点：三角函数的图象与性质．
9.几何体的俯视图为一边长为2的正三角形，则该几何体的各个面中，面积最大的面的面积为（）
A．2 C
D．3
【答案】D
考点：三视图的识读和几何体的体积的计算．
10.已知变量,x y 满足1311
x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，若目标函数2z x y =+取到最大值a ，则122a
x ⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭的展开式中2
x 的系数为（ ）
A ．-144
B ．-120
C ．-80
D ．-60 【答案】B 【解析】
试题分析：因为512
1
323)(21)(232=⨯+⨯≤-++=+y x y x y x (当且仅当1,2==y x 时取等号),所以
5=a .在二项式5)21(-+
x x 中,不妨设0>x ,则105)1()21(x
x x x -=-+,记 r
r r r r r
r x C x
x C T --+-=-
=51010101)1()1()(,令25=-r 得3=r ,则2x 的系数为
120)1(3
103-=-C ,应选B.
考点：线性规划和二项式定理．
【易错点晴】本题以线性规划的知识为背景考查的是二项式展开式中的项的系数的求法问题.求解时充分利用题设中所提供的有效信息,对线性约束条件进行了巧妙合理的运用,使得本题巧妙获解.解答本题的关键是求出参数a 的值.本题的解答方法是巧妙运用待定系数法和不等式的可加性,将线性约束条件进行了合理的巧妙地运用,避免了数形结合过程的烦恼,直接求出2z x y =+的最大值,从而确定了参数a 的值.
11.接正方体6个面的中心形成15条直线，从这15条直线中任取两条，则它们异面的概率为（ ）
A ．235
B ．835
C ．12
35 D ．1835
【答案】C 【解析】
试题分析：从15条直线中任取两条的所有可能种数为1052
14
152
15=⨯=
C 种,其中是异面直线
的所有种数为36821444=⨯+⨯+⨯种.由古典概型的计算公式可得它们异面的概率是
35
12
10536==
P ,应选C. 考点：排列组合及古典概型的计算．
12.椭圆()2
2
211y x b b
+=<的左焦点为,F A 为上顶点，B 为长轴上任意一点，且B 在原点O
的右侧，若FAB ∆的外接圆圆心为(),P m n ，且0m n +>，椭圆离心率的范围为（ ）
A ．⎛ ⎝⎭
B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【答案】A
考点：椭圆的标准方程和圆的标准方程．
【易错点晴】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求圆的一般方程的问题.解答问题的关键是如何求出三角形的外接圆的圆心坐标,求解时充分借助题设条件将圆的方程设成一般形式,这是简化本题求解过程的一个重要措施,如果将其设为圆的标准形式,势必会将问题的求解带入繁杂的运算之中.解答本题的另一个问题是如何建立关于c a ,的不等式问题,解答时也是充分利用题设中的有效信息,进行合理的推理判断,最终将问题化为0>>c b 的不等式的求解问题,注意到整个过程都没有将b 表示为c a ,的表达式,这也是简化本题求解过程的一大特点.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.函数()2cos f x x =在点1,42π⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线方程为__________． 【答案】1024
x y π
+--= 【解析】
试题分析：因x x x x f 2sin )sin (cos 2)(/-=-=,而14
2sin )4
(/
-=⨯
-=π
πf ,即切线的斜
率1-=k ,故切线方程为)4(121π--=-x y ,即1024
x y π
+--=. 考点：导数的几何意义．
14.有两个等差数列2，6，10，…，190，及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为___________． 【答案】1472
考点：等差数列的定义和通项公式．
【易错点晴】数列的本质是将数按一定的顺序进行排列,本题考查的是将两个数列中的相同项进行从新组合而得一个新的数列,求的问题是这个新数列的各项之和.求解时是探求两个数列的项数m n ,之间的关系.探求出其关系是3
1
2+=
n m 后,再对正整数m n ,进行取值,从而探究求出新数列中的新数的特征是第二个数列中的所有奇数项所组成的.于是运用等差数列的求和公式求出这个数列的各项之和.
15.如果一个正方形的四个项点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为2的锐角ABC ∆的内接正方形面积的最大值为____________． 【答案】1
考点：相似三角形的性质和基本不等式的运用．
16.平面直角坐标系中，若函数()y f x =的图象将一个区域D 分成面积相等的两部分，则称
()f x 等分D ，若(){},|1D x y x y =+≤，则下列函数等分区域D 的有__________（将满
足要求的函数的序号写在横线上）． ①sin cos y x x =，②3
12016y x x =+，③1x y e =-，④34y x =-，⑤295
28
y x =-+ 【答案】①②⑤ 【解析】
试题分析：由题设可知区域是在坐标轴上的截距都是的正方形内部及边界,是关于坐标原点O 成中心对称的中心对称图形和关于y 轴对称的轴对称图形.由于函数
x x x y 2sin 21cos sin =
=和函数31
2016
y x x =+都是奇函数,其图象关于坐标原点O 成中心对称,所以它的图象等分这个区域；函数295
28y x =-+是偶函数,其图象关于y 轴对称,所
也等分这个区域,故应填①②⑤. 考点：函数对称性和不等式表示的区域．
【易错点晴】本题通过定义了一个新的概念为背景和前提,考查的是对函数的图象的性质的理解和运用.解答时充分利用题设条件,将平面区域(){},|1D x y x y =
+≤的形状搞清楚,也就
是说平面区域表示的是一个正方形区域及边界.解答时充分运用函数等分这个新概念和新信息,抓住所个函数的表达形式和图形的几何特征,逐一分析判断,最终选出作为正确答案,从而使本题获解.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）
已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><<
⎪⎝
⎭
的图象经过三点151100081212ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，，，， 且在区间5111212ππ
⎛⎫
⎪⎝
⎭
，内有唯一的最值，且为最小值． （1）求出函数()()sin f x A x ωϕ=+的解析式；
（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角A B C 、、的对边，若1
24
A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且1,3bc b c =+=，求a 的值．
【答案】(1))6
2sin(41)(π
+=
x x f ；(2)a =
（2）∵1
24
A f ⎛⎫=
⎪⎝⎭，∴3A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∵1,3bc b c =+=，
∴由余弦定理得：()2
22222
2cos 3936a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-=-=，
则a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：三角函数的图象和性质及余弦定理等有关知识的运用． 18.（本小题满分12分）
某位同学为了研究气温对饮料销售的影响，经过对某小卖部的统计，得到一个卖出的某种饮料杯数与当
天气温的对比表．他分别记录了3月21日至3月25日的白天平均气温x （0
C ）与该小卖部的这种饮料
销量y （杯），得到如下数据：
（1）若先从这五组数据中任取2组，求取出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
（2）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （3）根据（2）中所得的线性回归方程，若天气预报3月26日的白天平均气温7（0
C ），请预测该小卖部
这种饮料的销量．（参考公式：()()
()
1
2
1
ˆˆˆ,n
i
i
i n
i
i x x y y b
a
y bx x x ==--==--∑∑） 【答案】(1)
5
2
；(2) 2.25 2.25y x =+；(3)18.
（2）由数据，求得810141112212535262811,2755
x y ++++++++==== 由公式，求得ˆˆˆ2.25, 2.25b
a y
b x ==-=， ∴y 关于x 的线性回归方程为 2.25 2.25y x =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
（3）当7x =时， 2.257 2.2518y =⨯+=，
所以该小卖部这种饮料的销量大约为18杯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：概率线性回归方程等有关知识的运用．
19.（本小题满分12分）
AB 是O 的直径，点C 是O 上的动点，过动点C 的直线VC 垂直于O 所在的平面，,D E 分别是
,VA VC 的中点．
（1）试判断直线DE 与平面VBC 的位置关系，并说明理由 ；
（2）若已知2,01AB VC BC ==<<，求二面角C VB A --的余弦值的范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)
⎛
⎝.
考点：线面垂直的判定定理和空间向量的数量积等有关知识的运用．
【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与平面的垂直问题和空间两个平面所成角的范围的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件与判定定理,探寻直线DE与AC平行,再推证DE与平面VBC垂直即可.关于
第二问中的二面角的余弦值的问题,解答时巧妙运用建构空间直角坐标系,探求两个平面的法向量,然后运用空间向量的数量积公式建立了二面角的余弦关于变量b 的目标函数,最后通过求函数的值域求出二面角的余弦的取值范围.
20.（本小题满分12分）
已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点()1,2A 为抛物线C 上一点．
（1）求C 的方程；
（2）若点()1,2B -在C 上，过B 作C 的两弦BP 与BQ ，若2B P B Q k k =-，
求证：直线PQ 过定点．
【答案】(1) 24y x =或212
x y =；(2)证明见解析
. ∴1244222
y y =---，即()12122120y y y y -++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
∴48120b m --+=即32b m =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
直线AB ：32x my b my m =+=+-即()32x m y -=-，
∴直线AB 过定点()3,2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：直线与抛物线的有关知识及运用．
21.（本小题满分12分）
已知函数()x nx f x e mx n
-=++． （1）若0,1m n ==，求函数()f x 的最小值；
（2）若0,0m n >>，()f x 在[)0,+∞上的最小值为1，求
m n 的最大值． 【答案】(1)1；(2)12.
①当120t -<时，则()0120h t '=-<，因为x →+∞时()h x '→+∞，
∴00x ∃>使得()00,x x ∈时()0h x '<，
∴()h x 在()00,x 上单调递减，又因为()00h =，
考点：导数在研究函数的最值中的运用．
【易错点晴】函数是高中数学的核心内容,也是高考必考的重要考点.运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型.解答这类问题时,一定要先求导,再对求导后的导函数的解析式进行变形(因式分解或配方),其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号,以便确定其单调性,这是解答这类问题容易忽视的.本题第二问的求解过程则先预见函数)(x f 在区间[
)0,x ∈+∞上单调递增,再运用分析转化的思维方式进行推证,最后求出m n
的最大值. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，ABC ∆的外接圆为O ，延长CB 至Q ，再延长QA 至P ，使得
22QC QA BA QC -=．
（1）求证：QA 为O 的切线；
（2）若AC 恰好为BAP ∠的平分线，6,12AB AC ==，求QA 的长度．
【答案】(1)证明见解析；(2)8.
根据弦切角定理的逆定理可得QA 为O 的切线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）∵QA 为O 的切线，
∴PAC ABC ∠=∠，而AC 恰好为BAP ∠的平分线，
∴BAC ABC ∠=∠，于是12AC BC ==，
∴2212QC QA QC -=，①
又由QCA QAB ∆∆得::12:6QC QA AC AB ==，②
联合①②消掉QC ，得8QA =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
考点：圆中的有关定理及运用．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系中曲线C 的参数方程为4cos 3sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）经过点()0,1M 作直线l 交曲线C 于,A B 两点（A 在B 上方），且满足2BM AM =，求直线l 的方
程． 【答案】(1)22
1169
x y +=；(2) 0x =.
考点：直线与曲线的参数方程的运用．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()235f x x x =-+-．
（1）求不等式()4f x ≥的解集；
（2）若()f x a <的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)4|53x x x ⎧
⎫≥≤⎨⎬⎩⎭
或；(2)72a >.
考点：绝对值不等式及有关知识的运用．。