数学方法的应用

十四： 数学方法的应用专题（一）
复习目标：
1．学会将物理问题转化为数学问题，即理解物理图景，建立物理模型，并根据物理规律，用变量、函数表达式和函数图象等数学语言表达出物理量之间的相互关系。

2．掌握中学物理中常用的数学解题方法，如微元分析法、极值分析法、递推法、作图法、图象法、比例法、不等式法等，会应用数列、导数、解析几何等知识解决物理问题。

专题训练：
1．某种放射性元素20天后有16
15的核发生了衰变，再过10天，这种元素还没有衰变的核有
（ ） A ．16
1 B ．
32
1 C ．
64
1 D ．
64
63
2．一人站在竖直放置的平面镜前某处时，从平面镜中看到了自己的全身像和周围的一些景物的像。

若此人向远离平面镜的方向后退若干步，它能从平面镜中看到 （ ） A ．景物范围扩大，它的像仍是全身像 B ．景物范围缩小，它的像仍是全身像 C ．景物范围扩大，它的像不是全身像 D ．景物范围缩小，它的像不是全身像
3．一辆汽车以额定功率在平直的公路上行驶，经过3分钟，速度由10m/s 提高至20m/s ，则在这段时间内，汽车驶过的路程（设车受到阻力恒定） （ ） A ．一定大于2.7千米 B ．一定等于2.7千米 C ．一定小于2.7千米 D ．不能确定
4．如图 所示，
，电源电动势为，内阻r=，滑动变阻器滑动键滑
动过程中安培表和伏特表示数的极小值是多大?
5．如图所示，物体放在粗糙的地面上，物体与地面间的动摩擦因数为μ，现用与地面成θ角的倾斜向上的力拉物体，要使物体做匀速运动，θ角为多大时最省力？
6．如图所示，轻杆BC可绕光滑铰链转动，重物G吊于端点C，在C点系一细绳绕过光滑
的定滑轮并用力F拉动。

在物体缓慢上升的过程中，拉力F的大小
及杆BC上的张力N如何变化？
7．已知两力F1、F2中F1>F2，两力的夹角θ可任意变化，求合力F与力F1间的夹角α和合力F与力F2间的夹角β的范围。

8．某地强风地风速为v，设空气的密度为ρ，如果将通过横截面积为S的风的动能全部转化为电能，则其电功率为多少?
9．一小物块以速度v0=10 m／s沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出，如图所示，当高台的高度h多大时，小物块飞行的水平距离s最大?这距离是多少?(g取10 m／s2)
10．轮船航行的耗油量由两部分组成的，其一是和航行时间成正比，其二是和航行的速度有关，速度越快，单位时间内耗油量越多．设第一部分单位时间耗油量为m。

，第二部分耗油量和速度的平方成正比，比例系数为k．现有一艘轮船要航行s米，船长应该选择多大的速度耗油量最少?
11．一列波先后通过相距6米的A、B两点，用时间0．02秒，已知A、B两质点运动方向始终相反，这列波的频率是多大?
12．有n块质量均为m，厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图所示，人至少做多少功?
13．如图所示的电路，电源电动势为ε，内阻为r，当滑动头从变阻器R的端点a滑到端点
b的过程中电流表○A的读数如何变化？
14．如图所示，将各有300张的甲、乙两本书逐张交叉地叠放在一起，置于水平桌面上，设每张纸的质量为3克，纸与纸之间的最大静摩擦力与正压力成正比，且比值为0.25，现将甲书固定不动，用多大的水平力F才能把乙书向右方抽出?
15．如图所示，平行光束射到中空玻璃球上，玻璃球内外球
面半径分别为b、a，玻璃球体的折射率为n。

射到球面的光
线通过折射有一部分能射进空腔内部，试求能射入空腔内部
的光线所对应入射光线的横截面积。

16．在有空气阻力的情况下，以初速度v1竖直上抛一物体，经过时间t1到达高点，又经过时间t2，物体由最高点落回到抛出点，这时物体的速度为v2，则：
A．v2>v1t2>t1 B．v2<v1t2<t1
C．v2>v1t2<t1 D．v2<v1t2>t1
17．如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个边长为a（a<L），质量为m的正方形闭合线框以初速v0垂直磁场边界滑过磁场后，
速度变为v（v<V0），求：
（1）线框在这过程中产生的热量Q
（2）线框完全进入磁场后的速度v'
18．10个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平地面上，如图所示，每个木块的质量为m=0.40始，长度l=0.45 m，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为=0.10．原来木块处于静止状态．左方第一个木块的左端上方放一个质量为M=0.10 kg的小铅块，它与木块间的静摩擦因数和动摩擦因数均为=0.20．现突然给铅块一向右的初速度一4.3 m／s，使其在大木块上滑行．试确定铅块最后的位置在何处(落在地上还是停在哪块木块上)．重力加速度g取10 m/s2，设铅块的长度与木块相比可以忽略．
专题预测：
1．如图所示，ABC为光滑轨道，AB部分呈水平状态，BC
部分为半径为R的半圆环，整个装置处于竖直平面内。

AB
上静止一个质量M=0.99千克的木块，一颗质量为0.01千克
的子弹以400米/秒的水平速度打入木块且不穿出，然后沿
轨道运动到半圆最高点，要使木块平抛的水平位移最大，半
圆环BC的半径应多大？最大水平位移多大？（g取10m/s2）
2．如图所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面。

现给金属杆一个水平向右的初速度V0，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？
十四：数学方法的应用专题（二）
专题训练：
1．如图所示，真空中A、B两点固定着两等量正点电荷Q，MN为A、B
连线的中垂面，O为A、B连线的中点。

现将一点电荷q从中垂面上一点P
沿中垂面向O点移动的过程中，点电荷q受A、B两点电荷共同作用力大
小的变化情况是：（）
A．一定是逐渐增大
B．一定是逐渐减小
C．可能是逐渐减小
D．可能是先变大后变小
2．质量为M的平板小车在光滑的水平面上以v0向左匀速运动，一质量为m的小球从高h 处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度仍为h，设M》m，碰撞弹力N》mg，球与车之间的动摩擦因数为μ，则小球弹起后的水平速度可能是（）
A.gh
2 B.0 C.gh
2μ D.v0
2
3．两支光滑的直角弯管abc和a'b'c'按图所示位置放置，现将
两个质量完全相同的小球分别沿两管由静止滑下，设在直角转
弯处无能量损失，两球到达出口c和c'处的时间分别为t和t'，
则（）
A.t>t'
B.t=t'
C.t<t'
D.条件不够，不好判断
4．如图所示，在离水平地面h高的平台上有一相距L的光滑轨道，左端接有已充电的电容
器，电容为C，充电后两端电压为U1，轨道平面处于垂直向上
的磁感应强度为B的匀强磁场中，在轨道右端放一质量为m的
金属棒，当闭合S，棒离开轨道后电容器的两极电压变为U2，求
棒落在离平台水平方向多远的位置。

5．一根质量为m，长度为L的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低
端刚好与水平面接触，今将链条轻轻释放，让它落到地面上，如图所
示，求链条下落了长度x时，链条对地面的压力为多大？
6．如图所示，甲车以8m/s的速度从距O点200m处的A点向正南方
向行驶，乙车以10m/s的速度从距O点400m处的B点向正西方向行
驶，求两车间的最小距离。

7．如图所示，质量m=2kg的平板小车，后端放有质量M=3kg的铁块，它和车之间的动摩
擦因素5.0
μ，开始时，车和铁块共同以v0=3m/s的速度向
=
右在光滑水平面上前进，并使车与墙发生正碰，设碰撞时间极
短，碰撞无机械能损失，且车身足够长，使得铁块总不能和墙
相撞，求碰后小车走过的总路程。

（g取10m/s2）
8．质点以加速度a从静止出发做直线运动，在时刻t，加速度变为2a，在时刻2t，
加速度变为3a……，在nt时刻，加速度变为(n+1)a，求：
(1)nt时刻质点的速度；
(2)nt时间内通过的总路程．
9．使一原来不带电的导体小球与一带电量为Q的导体大球接触，分开之后，小球获得电量q．今让小球与大球反复接触，在每次分开后，都给大球补充电荷，使其带电量恢复到原来的值Q．求小球可能获得的最大电量．
10．如图所示的墙角处斜靠着一根重为G的均质杆，墙面光滑，地面粗糙，杆与地面间的动摩擦因素为，要保持杆能静止，求杆与墙面间所能成的最大夹角．
11．用电流表和电压表测电源的电动势和内电阻时，在如图甲和乙两种情况下电动势的测量值与真实值、电源内阻的测量值与真实值间的关系如何?
12．如图所示，空间有一水平方向的匀强磁场，大小为B，一光滑导轨竖直放置，导轨上接有一电容为C的电容器，并套一可自由滑动的金属棒，质量为m，释放后，求金属棒的加速度a．
13．如图所示，在半径为R的圆柱形容器中盛有高为H的水，当容器底部开一半径为r的小孔，孔上有塞子．问当把塞子拔掉时，最初水以多大的速率从孔中流出?
14．如图所示，一质量为m的人，从长为l、质量为M的铁板的一端匀加速跑向另
一端，并在另一端骤然停止．铁板和水平面间摩擦因数为，人和铁板间摩擦因数为，且
．这样，人能使铁板朝其跑动方向移动的最大距离L是多少?
15．如图所示，质量为M的物体和墙的最大静摩擦力是正压力的倍，现用如图所示方向的力F压在M上，使物体处于静止状态，问角为多大时所需的力最小?
16．在一原子反应堆中，用石墨(碳)作减速剂，使快中子减速，已知碳核的质量是中子的12倍，假设中子与碳核的碰撞是弹性正碰，而且认为每次碰撞前碳核都是静止的，求：
(1)设碰撞前中子的动能是，问经过一次碰撞，中子损失的能量是多少?
(2)至少要经过多少次碰撞，中子的动能才能小于
17．如图所示，质量为m的小球，从距地面H高处由静止起下落，空气阻力，不变，跟地面相碰时无机械能损失．求：
(1)小球跟地面碰撞第n次后上升的高度；
(2)小球在整个运动过程中通过的路程；
(3)若每次跟地面碰撞损失机械能的k倍(k<1)，再求(1)、(2)．
18．如图所示，几个动滑轮与一个定滑轮所组成的滑轮组，每个滑轮的质量均为m，若在n=1的动滑轮上吊一质量为M的物体，求在最末一个滑轮上所需加的拉力F的大小．
19．图中AB表示一横放的平面镜，是水平放置的米尺(有刻度的一面朝着平面镜)，MN是屏，三者互相平行，屏MN上的ab表示一条竖直的缝(即a、b之间是透光的)．某人眼睛紧贴米尺上的小孔s(其位置见图)，可通过平面镜看到米尺的一部分刻度，试在本题
的图上用三角板作图求出可看到的部分，并在上把这部分涂以标志
专题预测：
1．如图所示，来自质子源的质子(初速度为零)，经一加速电压为800 kV的直线加速器加速，形成电流强度为1.0 mA的细柱形质子流．已知质子电荷e=这束质子流每秒打到靶上的质子数为_______．假设分布在质子源到靶子之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距l和4l的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中质子数
分别为和，则
2．如图所示，一质量为m、带电量为q的粒子以速度V0经O点沿y轴正方向射向磁感应
强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，
粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴
正方向夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负
方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方
的c点，粒子重力不计，试求：
（1）圆形匀强磁场区域的最小面积
（2）c点到b点的距离。

专题十四：数学方法的应用（一）
专题训练：
1．C 2．B 3．A 4．
5．μμ
πβπθ1
1
1
2
2
--=-=
-=
tg
tg
6．N 大小不变，拉力F 逐渐减小
7．0≤α≤sin -1
12
F F 0≤β≤π 8．答案 ：
9． (1)2.5 m (2)5 m 10． 时耗油量最小，耗油量最小为
11．
12．
13．安培表读数是先减小后增大 14．
15．S=2b π
16．D 17．
)(2
12
2
0v v m - v'=
2
0v v + 18．
专题预测：
1．R=0.2m S max =0.8m 2．X=2
2
0L
B R mv
专题十四：数学方法的应用（二）
专题训练：
1．CD 2．CD 3．C 4．
g
h m
U U CBL 2)
(21- 5．N=
L
mgx 3
6．d=5.8780=93.7m 7．m 4
5
8．(1) (2)
9．
10．
11．图甲中真测εε=，真测r r >；图乙中真测εε>，真测r r > 12． 13．
14．
15．
时所需力最小 最小力为
16．
17．
18． 19．
专题预测： 1． 2．(1)
22
2
02
43B
q v m (2)
qE
mv 2
34。