3.1.2 函数的表示法-分段函数 课后训练数学人教A版(2019)必修第一册

3.1.2 函数的表示法-分段函数
A 级——基础过关练
1．(多选)下列给出的函数是分段函数的有( )
A ．f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，
2x ，x ＜1
B ．f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥4，
x 2，x ≤4
C ．f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，
x 2，x ≤1
D ．f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x ＜0，
x －1，x ≥5
2．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧x 2＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，若f (a )＝10，则a 的值是( )
A ．3或－3
B ．－3或5
C ．－3
D ．3或－3或5
3．已知函数f (x )＝错误!则f (x )的函数图象是( )
A
B
C
D
4．定义运算x ⊗y ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧x ，x ≤y ，y ，x ＞y ，若|m －1|⊗m ＝|m －1|，则m 的取值范围是( )
A ．⎣⎡⎭⎫1
2，＋∞ B ．[1，＋∞) C ．⎝
⎛⎭⎫－∞，12 D ．(0，＋∞)
5．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )
A B C D
6．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，
1x ，0＜x ＜2，－x 2
＋4x －3，x ≥2，
且f (a )＝3
4
，则实数a 的值可能为( )
A ．－5
4
B ．32
C ．43
D ．52
7．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，
x ＋2，0＜x ≤3，若f (x )＝3，则x ＝__________．
8．函数f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的解析式为__________________．
9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧2x ，0≤x ≤1，2，1＜x ＜2，3，x ≥2的定义域是__________．
10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0＜x ≤4，－x ＋2，x ＞4．
(1)求f (f (f (5)))的值； (2)画出函数的图象．
B 级——综合运用练
11．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，
1，x ＜0，
则
(a ＋b )＋(a －b )f (a －b )
2
(a ≠b )的值为( )
A ．a
B ．b
C ．a ，b 中较小的数
D ．a ，b 中较大的数
12．(多选)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，
x 2，－1＜x ＜2，下列关于函数f (x )的结论正确的有( )
A ．f (x )的定义域为R
B ．f (x )的值域为(－∞，4)
C ．若f (x )＝3，则x 的值是3
D ．f (x )＜1的解集是(－1，1)
13．甲、乙两车同时沿某公路从A 地出发，驶往距离A 地300 km 的B 地，甲车先以75 km/h 的速度行驶，在到达A ，B 中点C 处停留2 h 后，再以100 km/h 的速度驶往B 地，乙车始终以v (单位：km/h)的速度行驶．
(1)将甲车距离A 地的距离f (t )(单位：km)表示为离开A 地的时间t (单位：h)的函数，求出该函数的解析式并画出函数的图象；
(2)若两车在途中恰好相遇两次(不包括A ，B 两地)，试求乙车行驶速度v 的取值范围．
C 级——创新拓展练
14．(多选)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪
⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则下列各式错误的有( )
A ．x ＝－x |sgn x |
B ．x ＝－x sgn |x |
C ．|x |＝|x |sgn x
D ．|x |＝x sgn x
答案解析
1、【答案】AD
【解析】对于B ，取x ＝4，得f (4)＝5或16，对于C ，取x ＝1，f (1)＝5或1，所以B ，C 都不合题意．
2、【答案】B
【解析】若a ≤0，则f (a )＝a 2＋1＝10，∴a ＝－3(a ＝3舍去)；若a ＞0，则f (a )＝2a ＝10，∴a ＝5．综上可得a ＝5或a ＝－3．故选B ．
3、【答案】A
【解析】当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1，0)，显然D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0，1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过点(1，2)，B 错．故选A ．
4、【答案】A
【解析】由||m －1⊗m ＝||m －1，可得||m －1≤m ，所以m ≥0，两边平方得m 2－2m ＋1≤m 2，即m ≥12
．
5、【答案】B
【解析】根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A ，D ，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ．故选B ．
6、【答案】ACD
【解析】当a ≤0时，f (a )＝a ＋2＝34，解得a ＝－54；当0＜a ＜2时，f (a )＝1a ＝3
4，解得a
＝43；当a ≥2时，f (a )＝－a 2＋4a －3＝34，解得a ＝52或a ＝3
2(舍去)．综上，实数a 的值可能为－54，43，5
2
．故选ACD ．
7、【答案】－3或1
【解析】依题意，若x ≤0，则x 2＝3，解得x ＝－3或x ＝3(舍去)．若0＜x ≤3，则x ＋2＝3，解得x ＝1．
8、【答案】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1＜x ＜2，3，x ≥2
【解析】当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，把点(1，2)代入，得k ＝2，所以f (x )＝2x ；当1＜x ＜2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3．
所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧2x ，0≤x ≤1，2，1＜x ＜2，3，x ≥2．
9、【答案】[0，＋∞)
【解析】定义域为[0，1]∪(1，2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．
10、解：(1)因为5＞4，所以f (5)＝－5＋2＝－3． 因为－3＜0，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1．
因为0＜1＜4，所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1，即f (f (f (5)))＝－1． (2)图象如图所示．
11、【答案】C
【解析】若a －b ＞0，即a ＞b ，f (a －b )＝－1，则(a ＋b )＋(a －b )f (a －b )2＝12[(a ＋b )－(a －
b )]＝b ．若a －b ＜0，即a ＜b ，f (a －b )＝1，则(a ＋b )＋(a －b )f (a －b )2＝1
2[(a ＋b )＋(a －b )]＝a ．综
上所述，(a ＋b )＋(a －b )f (a －b )
2
为a ，b 中较小的数．
12、【答案】BC
【解析】由题意知函数f (x )的定义域为(－∞，2)，故A 错误；当x ≤－1时，f (x )的取值范围是(－∞，1]，当－1＜x ＜2时，f (x )的取值范围是[0，4)，因此f (x )的值域为(－∞，4)，故B 正确；当x ≤－1时，x ＋2＝3，解得x ＝1(舍去)，当－1＜x ＜2时，x 2＝3，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)，故C 正确；当x ≤－1时，x ＋2＜1，解得x ＜－1，当－1＜x ＜2时，x 2＜1，解得－1＜x ＜1，因此f (x )＜1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D 错误．故选BC ．
13、解：(1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧75t ，0≤t ＜2，
150，2≤t ≤4，
150＋100(t －4)，4＜t ≤11
2，
它的图象如图1所示．
(2)由已知，得乙车离开A 地的距离g (t )(单位：km)表示为离开A 地的时间t (单位：h)的函数为g (t )＝v t ⎝⎛⎭
⎫0≤t ≤300
v ，其图象是一条线段，如图2所示．
由图象，知当此线段经过点(4，150)时，v ＝75
2，
当此线段经过点⎝⎛⎭⎫112，300时，v ＝60011
，
故当752＜v ＜600
11
时，两车在途中恰好相遇两次(不包括A ，B 两地)，即v 的取值范围是
⎝⎛⎭
⎫752，60011．
14、【答案】ABC
【解析】对于A ，右边＝－x |sgn x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝x ，故A 错误；对于B ，右
边＝－x sgn |x |＝⎩⎪⎨⎪
⎧－x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝x ，故B 错误；对于C ，右边＝|x |sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ＞0，0，x ＝0，
－|x |，x ＜0
＝x ，x ∈R ，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，
－x ，x ＜0，故C 错误；对于D ，右边＝x sgn x ＝⎩⎪
⎨⎪⎧x ，x ＞0，
0，x ＝0，
－x ，x ＜0，
而
左边＝|x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，
－x ，x ＜0，故D 正确．故选ABC ．。