解密含参不等式的解法-2018版高人一筹之高二数学特色训练()含解析

一、选择题
1．【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学2018届高三上学期第一次联考】不等式220ax bx ++>的解集为{12}x x -<<，则不等式220x bx a ++>的解集为（ )
A 。

{1x <-或1}2x >
B . 1{1}2x x -<<
C 。

{21}x x -<<
D 。

{2x <-或1}x >
【答案】B
2．【河北省冀州中学2017—2018学年高一上学期第一次月考】若实数
，且满足，，则代数式的值为( ）
A . -20
B 。

2
C 。

2或—20
D 。

2或20
【答案】A
【解析】满足，可看着方程
的两根，，
，故选A.
【方法点睛】本题主要考查韦达定理的应用以及数学的转化与划归思想。

属于难题。

转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度。

运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点。

以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中。

本题表面是求出的值，再代入求值,其实需要转化为利用韦达定理整体代入求解.
二、填空题
3．【2016-2017盐城市第一中学高二期末】已知关于x 的不等式240
1,m，则实数
-+<的解集为()
x x t
m=___________．
【答案】3
【解析】因为不等式240
1,m
x x t
-+<的解集为()
所以1，m是240
-+=的两个实数根，
x x t
所以14m +=，即3m =
故答案为：3
4．【2017江苏省镇江市10月高三数学月考】若关于x 的不等式(),a x b a b R x
+≤∈的解集为{|012}x x x <≤≤或，则b
a 的值为__________． 【答案】8
5．【2017年春学期金坛四中高一年级第二次质量检测】若，则不等式
的解集是______. 【答案】
或 【解析】因为
，变形为。

解得或。

所以解集为或.
6．【福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2016—2017学年高一下学期期末联考】若不等式： 210ax ax -+≤的解集为空集,则实数a 的取值范围是______________
【答案】04a ≤<
【解析】当0a =， 10≤,
x R ∈，符合要求;当0a ≠时，因为关于x 的不等式210ax ax -+≤的解集为空集，即所对应图象均在x 轴上方，故须20{ 0440
a a a a >⇒<<=-<，综上满足要求的实数a 的取值范围是[)0,4，故答案为04a ≤<。

点睛:本题是对二次函数的图象所在位置的考查．其中涉及到对二次项系数的讨论，在作题过程中,只要二次项系数含参数，就要分情况讨论，这也是本题的一个易错点；先对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在不为0时，把解集为空集转化为所对应图象均在x 轴上方，列出满足的条件即可求实数a 的取值范围。

三、解答题
7．【广东省揭阳市普宁华美实验学校2017—2018学年高二上学期第一次月考】解下列关于x 的不等式．
（1)≥3， （2)x 2﹣ax ﹣2a 2≤0(a ∈R
【答案】(1) （2，］；（2） [2a ，﹣a ]。

【解析】试题分析：（1）主要考查了分式不等式的解法，需通过移项将3移到不等式的左边，整理后不等式转化为2702x x -≤-，最后化为()()2720{ 20
x x x --≤-≠，由一元二次不等式的解法可得出不等式的解集。

（2）主要考查了二次不等式
的解法，可将x 2﹣ax ﹣2a 2≤0转化为()()20x a x a -+≤，再由数轴穿根法即可求出解集，但要注意对a 进行分类讨论.
8．【河北省鸡泽县第一中学2017-2018学年高二第一次月考】已知常数a R ∈，解关于x 的不等式220.ax
x a -+< 【答案】当0a =，原不等式为{}0x
x ； 当10a -<<时，原不等式的解集为2
11{|a x x +-<或
211}a x -->．； 当0∆=时， 1a =-时，原不等式的解集为{|1}x x R x ∈≠-且． 当1a <-时，原不等式的解集为R ．
【解析】试题分析：讨论a 是否为0．当0a ≠，再讨论a 的正负，同时讨论其判别式．当判别式大于0时注意两根的大小,画抛物线结合图像可解不等式．
（3）若2
0,44a a <∆=-． ①当0∆>，即10a -<<,原不等式的解集为211{|a x x +-<或
2
11}a x -->． ②当0∆=时, 1a =-时，原不等式化为()2
10x +>， ∴原不等式的解集为{|1}x x R x ∈≠-且．
③当0∆>，即1a <-时，原不等式的解集为R
综上所述，当1a ≥时，原不等式的解集为∅； 当原不等式的解集为221111{|}a a x x --+-<<； 当0a =，原不等式为{}0x
x ； 当10a -<<时，原不等式的解集为2
11{|a x x +-<或
2
11}a x a
->．；
当0∆=时， 1a =-时，原不等式的解集为{|1}x x R x ∈≠-且． 当1a <-时,原不等式的解集为R ．
考点：一元二次不等式．
9．【江苏省东台市创新学校2017-2018学年高二9月月考】关于x 的不等式ax 2+（a ﹣2）x ﹣2≥0(a ∈R ）
（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1］∪［2，+∞），求a 的值;
（2）解关于x 的不等式ax 2+（a ﹣2）x ﹣2≥0．
【答案】（1）1a = (2）当a =0时,不等式的解集为｛x |x ≤﹣1}，当a ＞0时，不等式的解集为｛x ｜x ≥或x ≤﹣1｝,当﹣2＜a ＜0时,不等式的解集为{x |≤x ≤﹣1｝，当a =﹣2时，不等式的解集为｛x |x =﹣1｝，当a ＜﹣2时，不等式的解集为{x ｜﹣1≤x ≤}．
【解析】试题分析：（1)且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪［2，+∞），∴a ＞0；又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2,从而可求出a 的值；（2）分四种情况讨论a 的取值，分别根据一元二次不等式的解法求出对应不等式的解集即可。

∴不等式的解集为{x｜x≥或x≤﹣1}；
当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1)≤0,
不等式对应方程的两个实数根为和﹣1，
在﹣2＜a＜0时，＜﹣1，
∴不等式的解集为｛x|≤x≤﹣1｝；
在a=﹣2时，=﹣1,不等式的解集为｛x｜x=﹣1｝;
在a＜﹣2时,＞﹣1，不等式的解集为{x｜﹣1≤x≤｝．综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，
a＞0时，不等式的解集为｛x|x≥或x≤﹣1},
﹣2＜a＜0时,不等式的解集为｛x|≤x≤﹣1}，
a=﹣2时，不等式的解集为｛x｜x=﹣1},
a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤｝
【方法点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题。

分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度。

运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点。

充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰,进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中。

10．【重庆市铜梁县第一中学2018届高三上学期第一次联考】已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．
（Ⅰ)解该不等式；
(Ⅱ）定义区间(m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．
【答案】（1）当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x ＜3a，
当a=1或a=2时,原不等式的解集为∅,
当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．（2）当a=4时，d max=6.
（Ⅰ）原不等式可化为（x-a2—2）（x﹣3a)＜0，
当a2+2＜3a，即1＜a＜2时,原不等式的解为a2+2＜x＜3a；
当a2+2=3a,即a=1或a=2时，原不等式的解集为∅；当a2+2＞3a，即a＜1或a＞2时,原不等式的解为3a＜x ＜a2+2．
综上所述，当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a,
当a=1或a=2时，原不等式的解集为∅，
当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．（Ⅱ)当a=1或a=2时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大．当a≠1且a≠2时，
,a∈R．设t=a2+2﹣3a，a∈R,则当a=0
时，t=2，当时,，当a=4时，t=6，∴当a=4时，d max=6．
点睛：这道题目注意，解二次不等式要想到因式分解，再就是比较两根大小；找区间长度，即是两根之差的最值；
11．【山西省芮城中学2016—2017学年高一下学期期末】设函数()()2442f x x a x a =+-+-， （1）解关于x 的不等式()0f x >；
（2)若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()0f x >恒成立，求a 的取值范围；
【答案】（1）见解析 （2）1a <
（2）由题意得： ()()2
22a x x ->--恒成立，
[]1,1x ∈- []23,1x ∴-∈--
2a x ∴<-+恒成立.
易知 ()min 21x -+=,
∴a 的取值范围为： 1.a <
12．【江苏省淮安市淮海中学2018届高三上学期第一次阶段调研】已知关于x 的不等式2
320ax x -+>（a R ∈).
(1)若不等式2
320ax x -+>的解集为{ 1 x x <或}x b >，求a ， b 的
值;
（2)求不等式2
325ax x ax -+>-(a R ∈）的解集.
【答案】（1）1a = 2b =；(2） ①当0a >时，
31a >-,∴3
{ x x a
>或}1a <-
②当30a -<<时，
3
1a
<-,∴31x x a
⎧⎫
<<-⎨⎬⎩⎭
③当3a =-时， 3
1a
=-，∴∅ ④当3a <-时,
31a >-，∴31x x a ⎧
⎫
-<<⎨⎬⎩⎭。

【解析】试题分析：(1）由不等式2
320ax x -+>的解集为
{ 1 x x <或}x b >，
可得a ＞0，同时1，b 是一元二次方程ax 2
﹣3x +2＞0的两个实数根，利用韦达定理即可得出； (2)不等式ax 2﹣3x +2＞5﹣ax 化为ax 2+(a ﹣3）x ﹣3＞0,即（ax ﹣3）(x +1）＞0．对a 分类讨论:当a =0时；当a ＞0或a ＜﹣3时；当﹣3＜a ＜0时，解出即可．
∴①当0a >时， 31a >-，∴3
{ x x a
>或}1a <- ②当30a -<<时， 31a <-，∴31x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭
③当3a =-时， 3
1a
=-，∴∅ ④当3a <-时，
31a >-，∴31x x a ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩
⎭ 13．【甘肃省天水一中2017-2018学年高一上学期开学考】（1)若1m =时，求关于x 的不等式()2220x m x m -++>的解 （2)求解关于x 的不等式()2220x m x m -++>,其中m 为常数。

【答案】(1)
1x <
或2x > ;（2）若2m =时, 2x ≠，若2m <时，
x m <或2x >，若2m >时， 2x <或x m >
【解析】试题分析： (1) 当1m =时，不等式为:
2320x x -+>则不等式的解集为
1x <
或2x > ；
(2）分类讨论可得不等式的解集为：若2m =时， 2x ≠，
若2m <时,
x m <或2x >，若2m >时， 2x <或x m >.
点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据(1）二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．（2）当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．14．【江苏省泰州市2016—2017学年度第二学期期末】已知函数．
(1)若的解集为，求的值；
(2）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时,解关于的不等式（结果用表示）．【答案】（1）(2）(3)见解析
【解析】试题分析：（1)根据不等式解集与方程根的关系得的两个根为—1和3，再根据韦达定理可得．（2）一元二次方程恒成立,得，解得实数的取值范围；（3）当时，先因式分解得，再根据a与1的大小分类讨论不等式解集。

（3）当时,即，
所以, 当时，； 当时，; 当时,
．
综上，当时,不等式的解集为
；
当时，不等式的解集为； 当
时,不等式
的解集为
．
15．【贵州省遵义航天高级中学2016—2017学年高一下学期第三次月考】已知函数f （x ）= 2x
解关于x 的不等式f (2x ）+(a -1）f (x )〉a
【答案】见解析
【解析】试题分析：先代入因式分解得()()
2
120x
x a -+>，
再根据a 的大小进行讨论：两个讨论点，一个是零，一
个是1-，最后求出解集 试题解析： ()()()
221202120x x x x a a a +-->⇒-+>
当0a ≥ 时， 210x x >⇒> ;解集为()0,+∞
当1a =- 时, 210x x ≠⇒≠；解集为()()0,,0+∞⋃-∞
当01
a >>- 时,
()
2120ln x x a x x a >-⇒<-或或 ；解集为()()()0,,ln a +∞⋃-∞-
当
1
a <- 时，
()
2210ln x x a x x a >-<⇒-或或 ；解集为
()()()ln ,,0a -+∞⋃-∞
16．【江西赣中南五校2017—2018学年高二第一次联考】解关于x 的不等式()2210ax ax a a R +++>∈.
【答案】当0a ≥时,原不等式的解集为R ，当0a <时，原不
等式的解集为x x ⎧
⎫⎪⎪
<<
⎨
⎬⎪⎪⎩⎭
. 【解析】试题分析：分三种情况讨论，当0a =时,直接得
x R ∈；当0a >时，由0∆=<可得
x R ∈；当0a <时,由求根公式结合一元二次不等式的基本
解法可得结果.
【方法点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点。

充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
17．【江西省赣州市2016—2017学年高一期末】已知关于x 的不等式2
320ax
x -+≤的解集为{|1}x x b ≤≤．
（1）求实数,a b 的值； (2)解关于x 的不等式： 0x c
ax b
->-（为常数）
【答案】(1）
;(2）当时解集为
； 当
时解集为；
当时解集为。

【解析】试题分析：（1）由题知为关于的方程的两根，由韦达定理得关于a b、的方程组，解得；（2）不等式等价于，所以当时解集为;当时解集为；当时解集为
．
考点：1、二次不等式与二次方程之间的关系；2、二次不等式的解集.
18．【福建省三明市2016-2017学年高一期末】已知函数。

（1)解关于的不等式；
(2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。

【答案】(1)答案见解析；(2）且.
【解析】（1）不等式，可化为，即，当时，解集为.
当时，解集为，
当时,解集为.
（2）不等式，可化为。

设，则图象的对称轴为,
所以在上单调递增，
则，
所以且.
19．【四川省内江市2016-2017学年高一下学期期末】（1）710314
(2）解关于x的不等式()
2220
-++<。

x a x a
【答案】(1）710314
a<时，原不等式
>；（2）当2
解集为(),2a；当2
a>时，原
a=时，原不等式解集为∅;当2
不等式解集为()2,a.
【解析】试题分析：（1710314平方，作差比较即可；
(2）∵()()()222020x a x a x x a -++<⇔--<,分2,2,2a a a = 三种情况
分类讨论即可得到不等式的解集
20．【甘肃省肃南县第一中学2016-2017学年高二下学期期末】解关于x 的不等式2
2560x ax a +-<.
【答案】详见解析。

【解析】试题分析:先将不等式变形为()()780x a x a +-<，确
定两根78
a a -，，再对实数0a a >分，
0a =， 0a <进行分类讨
论,写出不等式的解集。

试题解析：
原不等式可化为()()780x a x a +-<，
点睛：本题是一道含参数一元二次不等式的解法问题，求解时按一般的一元二次不等式的解法进行求解，即先求出一元二次方程22560x
ax a +-=的解，确定两根分别为78a a -，，再对实数0a a >分， 0a =， 0a <进行分类讨论，写出不等式22560x ax a +-<的解集：
21．【山西省怀仁县第八中学2016—2017学年高一期末】解关于x 的不等式
【答案】见解析.
【解析】试题分析：（1）讨论的取值，分为
，两种情形，求出对应不等式的解集即可。

试题解析：当a =0时,原不等式化为x +10，解得；
当时，原不等式化为，解得
；综上所述,当a =0时，不等式的解集为
，当时，不等式的解集为。

点睛：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，元二次不等式的核心还是求一元二次方程的根，然后在结合图象判定其区间解题时应用分类讨论的思想，是中档题目；常见的讨论形式有：1、对二项式系数进行讨论；2、相对应的方程是否有根进行讨论;3、对应根的大小进行讨论.
22．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2016—2017学年高一6月检测】解关于x 的不等式()2110ax a x -++≤,（其中a 为常数且0a >）
【答案】当1a =时不等式的解集为{}1
当1a >时不等式的解集为1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
当01a <<时不等式的解集为11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】试题分析：
利用题意分类讨论可得：
当1a =时不等式的解集为{}1
当1a >时不等式的解集为1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
当01a <<时不等式的解集为11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
23．【福建省龙海市程溪中学2016—2017学年高一年下学期期中】已知关于x 的不等式ax 2＋（1－a )x －1>0
（1)当a=2时，求不等式的解集。

(2）当a 〉－1时。

求不等式的解集
【答案】（1）1|1, x x x a ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭
或，；（2）见解析。

【解析】试题分析：(1）当2a =时，不等式即为()()1210x x -+>,由此可求得不等式的解集；
(2）不等式即为()()110x ax -+>，其对应的方程的根为1a -和1，利用二次函数的性质分类讨论，即可求解不等式的解集.
试题解析：
（1）原不等式的解集为
（2）二次项系数含有参数，因此对a在0点处分开讨论．若a≠0，则原不等式ax2＋(1－a）x－1〉0等价于（x－1）（ax＋1）〉0。

其对应方程的根为－与1.
24．解关于x的不等式
【答案】当a＜0或a＞1时时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
当a=0或a=1时,原不等式的解集为φ.
【解析】试题分析：
根据分类讨论思想分为和三种情况进行讨论
试题解析：解：(1）当a＜0或a＞1时，有a＜a2，此时不等式的解集为
(2）当时，有a2＜a,此时不等式的解集为
（3）当a=0或a=1时，原不等式无解．
综上，当a＜0或a＞1时时,原不等式的解集为
当时,原不等式的解集为
当a=0或a=1时，原不等式的解集为φ。

25．【江苏省张家港市沙洲中学2016-2017学年高一期中】已知不等式的解集为，
(1)求；
(2)解不等式.
【答案】（1）a＝1，b＝2；（2)见解析。

（2)所以不等式ax2－（ac＋b)x＋bc〈0,
即x2－（2＋c）x＋2c〈0，即(x－2)（x－c)〈0.
当c〉2时,不等式(x－2）（x－c）<0的解集为{x｜2〈x 〈c}；
当c〈2时,不等式(x－2)（x－c)<0的解集为{x｜c〈x<2｝；当c＝2时，不等式（x－2）(x－c）〈0的解集为∅.
综上，当c>2时，不等式ax2－（ac＋b）x＋bc〈0的解
集为｛x|2<x<c}；
当c<2时，不等式ax2－（ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c 〈x<2｝;
当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc〈0的解集为∅.【方法点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想。

分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度。

运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点。

充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.。