金版学案2016秋数学人教A版必修5课件：第一章1.2第3课时三角形中的几何计算

归纳升华 解三角变换与三角形面积公式的综合应用题时，以下 结论常常用到： (1)A＋B＝π－C，A＋2 B＝π2－C2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．
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(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
三边．
(4)三角形内的诱导公式：
sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，
4. (2014·北京卷)在△ABC 中，a＝1，b＝2，cos C＝14， 则 c＝________，sin A＝________．
解析：由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－
2×1×2×14＝4，即
c＝2，cos
b2＋c2－a2 4＋4－1 A＝ 2bc ＝2×2×2＝
78，所以 sin A＝
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[知识提炼·梳理] 1．方位角 从指北方向线_逆__时__针___转到目标方向线的_正__角． 2．方向角 从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西 60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转 60°.
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3．三角形常用面积公式 (1)三角形面积公式 S＝12_底__×__高___． (2)三角形面积公式的推广： S＝_12_a_b_s_in__C__＝_12_b_c_s_i_n_A___＝12casin B. (3)S＝12r_(a_＋__b_＋__c_)__ (r 为三角形内切圆半径)．
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(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定 理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．
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类型 2 三角形中三角恒等式的证明 [典例 2] 在△ABC 中，已知A→B·A→C＝3B→A·B→C. (1)求证：tan B＝3tan A； (2)若 cos C＝ 55，求 A 的值． (1)证明：由A→B·A→C＝3B→A·B→C， 得|A→B||A→C|cos A＝3|B→A||B→C|cos B， 即为 cbcos A＝3cacos B，bcos A＝3acos B，
A.125
B.145
C.154 3
D.152 3
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解析：由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，即 72＝52
＋b2＋5b，所以 b＝3 或 b＝－8(舍去)，所以 S△ABC＝12absin
C＝154
3 .
答案：C
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[变式训练] 在△ABC 中，证明：acos2 C2＋ccos2 A2＝ 12(a＋b＋c)． 证明：因为 sin B＝sin (A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，由正弦定理可得 acos C＋ccos A＝b， 所以 acos2 C2＋ccos2 A2＝12(a＋c＋acos C＋ccos A)＝ 12(a＋b＋c)．
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解：(1)依题意，三角形的面积 S＝12acsin B，得：
S＝12×4×5×sin 30°＝5(cm2)．
(2)根据正弦定理sinb B＝sinc C，
c＝bssiinnBC，S＝12bcsin A＝12b2
sin C sin sin B
A，
B＝180°－(A＋C)＝180°－(75°＋45°)＝60°，
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类型 3 三角变换与三角形面积公式的综合
应用(规范解答)
[典例 3] (本题满分 12 分)在△ABC 中，角 A，B，
C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为△ABC 的面积，满足
S＝
3 4
(a2＋b2－c2)，
(1)求角 C 的大小；
(2)求 sin A＋sin B 的最大值．
tan(A＋B)＝－tan C C≠π2 ，
sin
A＋B 2 ＝cos
C2 ，cos
A＋B 2 ＝sin
C2 .
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π [变式训练] 在△ABC 中，BC＝2，C＝ 4 ，cos B＝
35，试求△ABC 的面积． 解：由题意 cos B＝35得 sin B＝45.
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1．求三角形的面积的问题，先观察已知哪些元素， 用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，就可以求出三 角形的面积．
2．利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件 转化为方程组是解决复杂问题的常见思路，将方程化为 只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考查 边或角的关系．
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由余弦定理得：a2＝22＋52－2×2×5×45＝13， 所以 a＝ 13. 答案： 13
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类型 1 三角形面积公式及正弦定理应用 [典例 1] 在△ABC，根据下列条件，求三角形的面 积 S. (1)已知 a＝4 cm，c＝5 cm，B＝30°； (2)已知 A＝75°，C＝45°，b＝4 cm.
1－782＝
15 8.
答案：2
15 8
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5．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、 c，且 cos A＝45，若 b＝2，△ABC 的面积为 3，则边长 a ＝________．
解析：因为 cos A＝45，所以 sin A＝35，由面积公式 S ＝12bcsin A 得：12·2·c·35＝3，所以 c＝5.
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解析：(1)三角形面积公式适用于所有的三角形，故 正确；(2)利用三角形面积公式 S＝12absin C 显然能求出其 面积，故命题错误；(3)已知两角及一边，由正弦定理可 求另边与角，由面积公式可求出，故命题错误．
答案：(1)√ (2)× (3)×
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tan
A＝－13应舍去．所以
tan
A＝1，所以
π A＝ 4 .
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归纳升华 三角形中三角恒等式证明的关键与思路
(1)证明三角形中的恒等式的关键：利用正弦定理和 余弦定理以及其他公式，对边角关系进行互化．
(2)证明三角形中的恒等式一般思路是：从要证的三 角恒等式一端出发，证明其与另一端相等，也可同时证明 两端都等于同一个式子．
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解：(1)由题意可知
1 2absin
C＝
43×2abcos
C．(2
分)
所以 tan C＝ 3.(4 分)
π 因为 0＜C＜π，所以 C＝3.(6 分)
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(2)由已知 sin A＋sin B＝sin A＋sin π－A－π3 ＝
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由正弦定理得 sin Bcos A＝3sin Acos B， 两边同除以 cos Acos B 得 tan B＝3tan A. 即 tan B＝3tan A 成立．
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(2)解：因 cos C＝ 55，所以 C 为锐角，所以 tan C＝2， 由(1)tan B＝3tan A，且 A＋B＋C＝π，得 tan[π－(A＋C)]
sin A＋sin23π－A＝
sin A＋
3 2
cos A＋12sin A＝
3sinA＋π6 ≤ 30＜A＜23π.(9 分)
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π 当 A＝3时， 即△ABC 为等边三角形时取等号，(11 分) 所以 sin A＋sin B 的最大值为 3.(12 分)
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3．许多题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚 至可以两者兼用，当用一个公式求解受阻时要及时考虑 换用其他公式列式．
4．若题目中的量有单位，作答时要注意书写单位.
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第一章 解三角形
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第 3 课时 三角形中的几何 计算
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[学习目标] 1.能够运用正、余弦定理解决测量角度 的实际问题． 2.能够运用正、余弦定理进一步解决一些 有关三角形的计算问题． 3.掌握三角形的面积公式的简 单推导和应用．
2．在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，C＝45°，则三角
形的面积为( )
3
6
A. 2 B. 3 C. 2 D. 6
解析：S△ABC＝12absin C＝12×3× Nhomakorabea2×
22＝
3 2.
答案：A
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3．在△ABC 中，a＝5，c＝7，C＝120°， 则三角形
的面积为( )
＝3tan A，即－tan (A＋C)＝3tan A⇒
tan A＋tan C
－
＝3tan A，
1－tan A tan C
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tan A＋2
即
＝3tan A.
2 tan A－1
所以 tan A＝1 或 tan A＝－13.
因 tan B＝3tan A，由内角和为π知两角均为锐角，故
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[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( ) (2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．( ) (3) 已 知 三 角 形 的 两 内 角 及 一 边 不 能 求 出 它 的 面 积．( )
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S＝12×42×sin
45°sin 75° 4（3＋
＝ sin 60°
3
3）
(cm2)．
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归纳升华 对于求三角形面积的问题，一般用公式 S＝12absin C ＝12bcsin A＝12acsin B 进行求解，可分为以下两种情况： (1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其 他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．
sin A＝sin (π－B－C)＝sin34π－B＝
sin
3π 4 cos B－cos
3π 4 sin
B＝
22×35＋
22×45＝7102，
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由正弦定理siBnCA＝siAnBC，得 AB＝170. 所以 S＝12BC·AB·sin B＝12×2×170×45＝87.