最新-生物统计学正态分布 精品

dx
14
标准正态分布
正态分布由μ和σ所决定，不同的μ、σ值就决定了不同的正态分布 密度函数，因此在实际计算中很不方便的。需将一般的N(μ，σ2 ) 转换为μ=0, σ2 =1的正态分布。我们称μ=0, σ2 =1的正态分 布为标准正态分布(standard normal distribution)
30
生物统计学
正态分布
1
正态分布
2

样本有几个特别重要的数字特征，这些数字是描述样本频 率分布特征的，称之为样本特征数 而在生物统计学中，样本特征数使用频繁的有以下几个 1.算术平均数，简称平均数（ ）。
3
• 2.样本方差:样本中各数据与样本平均数的 差的平方和的平均数。
• 3.样本标准差:样本方差的算术平方根做。
x Sx
t
它不再服从标准正态分布
服从具有n-1自由度t-分布
T分布类似于正态分布，也是一种对称分布，它只有一个参数，就是自由 度 所谓自由度是指独立观测值的个数，应为计算标准差时所使用的n个观测值， 受到平均数x的约束，这就等于有一个观测值不能独立取值，因此自由度为 df=n-1
26
T分布的密度函数为：
12
正态曲线的性质
y
μ= -1 σ=0.5 μ=0 σ=1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 σ=2 2 3 4x y y μ=1
-3 -2 -1 0
1 2
x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线是单峰的,它关直线x=μ对称. （3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) （4）曲线与x轴之间的面积为1 （5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时, 以x轴为渐近线,向它无限靠近. (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
当 a 3 时正态总体的取值几乎总取值于区间 ( 3 , 3 ) 之内, 其他区间取值几乎不可能.在实 际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.
由于这些概率值很小（一般不超过5 ％ ），通常称这些情况发生为小概率事件。
22
T分布 几个重要概念
从一个正态总体中抽取的样本统计量的分布样本平 均数 x 和样本方差S2是描述样本特征的两个最重 要的统计量
如：双侧 0.05 分位点 u0.025 = 1.96
29
t-分布的特点
（1）t分布为对称分布，关于t = 0对称；只有一个峰，峰值 在t = 0处；与标准正态分布曲线相比，t分布曲线顶部略低， 两尾部稍高而平 （2）t分布曲线受自由度df 的影响，自由度越小，离散程度越大 （3） t分布的极限是正态分布。df越大，t分布越趋近标准正 态分布 当n >30时，t分布与标准正态分布的区别很小；n >100时，t 分布基本与标准正态分布相同；n→∞时，t 分布与标准正态 分布完全一致
4


样本方差和样本标准差都是衡量一个样本 波动大小的量，样本方差或样本标准差越 大，样本数据的波动就越大。 方差和标准差是测算离散趋势最重要、最 常用的指标。
5
• 正态分布的概念 • 如果把数值变量资料编制频数表后绘制频数分布图（又称直方 图，它用矩形面积表示数值变量资料的频数分布，每条直条的 宽表示组距，直条的面积表示频数（或频率）大小，直条与直 条之间不留空隙。），若频数分布呈现中间为最多，左右两侧 基本对称，越靠近中间频数越多，离中间越远，频数越少，形 成一个中间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称的分布，那 我们一般认为该数值 • 变量服从或近似服从 • 数学上的正态分布。
tn (x)
/2
x t/2(n)
则称这个数 c 是自由度n 的 t 分布的双侧 分位点 (数) ，记成 t / 2 (n) 。
对称分布的双侧 分位点就是上侧 /2 分位点
28
标准正态分布 N (0,1 ) 的双侧 分位点
记为 ： u / 2
(x)
/2
/2
– u/2 o x u/2
17
变换后的正态分布密度函数为：f (u )
1 2
e
u2 2
标准正态分布均具有μ=0，σ2=1的特性
如果随机变量u服从标准正态分布，可记为：u～N（0，1）
18
标准正态函数
1 2 f ( x) e x (,) 2
y
x2
μ=0
σ=1
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
19

事实上,上面的计算已经制成了表格,只要知 道了平均数和标准差即可查出相应的区间概 率.
函数
f ( x)
1 e 2
( x )2 2 2
x (,)
称f( x)的图象称为正态曲线 式中:л= 3.1416 e= 2.71828 x----表示变量 μ---表示理论平均数 表示总体标准差 δ2—表示总体方差 这个公式表示x变量区间内发生的概率
δ---
9

如果变量X的概率密度函数服从上述函数， 则称该变量服从正态分布。记做 X ~ N (, 2 )
13


而整个正态分布则应该是各区间密度函数的累计积分.
一种连续的分布不可能求某项(某点)的概率,而只能求某个 区间的概率. 任意两点x1，x2且(x1x2)，X在 (x1, x2)范围内取值的概率P, 即正态分布曲线在(x1, x2)下面积
P
x2
x1
1 e 2
( x )2 2 2
就是由正态分布密度函数
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
得到标准正态分布密度函数：
1 f ( x) e 2
x2 2
15
由于正态分布的概率密度函数比较复杂，积分的 计算也比较麻烦，最好的解决办法：将正态分布 转化为标准正态分布，然后根据标准正态分布表 直接查出概率值。
如果原总体的平均数为μ，标准差为σ，那么样本平均数 抽样总体：
平均数为：
x
标准差为：
x
为样本平均数抽样总体的标准误差简称为标准误，标 准误表示平均数抽样误差的大小，反映样本平均数与 新总体平均数之间的离散程度。
23
经计算得出两个重要结论 抽样的样本平均数的平均数等于总体平均数,即
x
抽样的抽样平均数的标准差等于总体标准差除以 样本单位数的平方根。即
10
在σ不变的情况下 函数曲线形状不变，若μ变大时，曲线位置向右移； 若变小时，曲线位置向左移，故称μ为位置参数。
11
在μ不变的情况下 函数曲线位置不变，若σ变大时，曲线形状变的越来越 “胖”和“矮”； 若σ变小时，曲线形状变的越来越“瘦”和“高”，故 称σ为形态参数或变异度参数。
1 2
3
20
特殊区间的概率:
若X~N
(, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
a
P( a ≤ a)
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面 积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 ( a, a] 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
对于服从任意正态分布N（μ,σ2）的随机变量， 欲求其在某个区间的取值概率，需先将它标准化 为标准正态分布N（0,1）的随机变量，然后查 表即可。
16

正态分布转化为标准正态分布
可以将x作一变换，令

u
x

u称为标准正态变量或标准正态离差，服从标准正态分布 的随机变量 这个变换称为标准化或u变换,由于x是随机变量，因此u 也是随机变量，所得到的随机变量U也服从正态分布， 因此，由任意正态分布随机变量标准化得到的随机变量 的标准正态分布常称为u分布。
x
n
24
4. t-分布（不要求）
设有服从正态分布的随机变量x，正态分布的标准化公式为：
u
x

对于总体方差σ2已知的总体，根据公式可以知道样本平均数在某一区间内 出现的概率，公式为：
u
x
x
u x x u x
附： x
服从标准正态分布

n
25
假如σ2未知，而且样本容量又比较小（n≤30）时： 标准化公式可变换为：
( x )dx
, a
x=μ
特别地有
-a
+ a
P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974.
21
我们从上图看到，正态总体在 2 , 2 以外取值的概率只有4.6％，在 3 , 3 以外 取值的概率只有0.3 ％。
2 ( n 1) / 2 Γ [(n 1) / 2] x f ( x) 1+ n , x n Γ (n / 2)
T分布的计算已列成表格,应用时可根据需要由 t值,自由度查概率;也可以由概率,自由度查t值.
27
t 分布的双侧分位点

假定 X ~ t (n) ， 给定：0 ＜ ＜ 1 ， 如果一个数 c 满足： P { | X | ＞ c } = ，/2 – t/2(n) o
6
• 当n∞，直方条面积(频率)各自的概率 • 然后组距０时，直方条的宽度０，直 方条垂直线，各个直方条顶点间的连线 构成一条光滑的曲线，即：概率密度曲线， 而曲线下(直方条)的总面积始终为１，在区 间[a,b]的概率＝对应曲线段下的面积(直方 条面积) 。
7
正态分布的概念
8
• 正态曲线的定义：