绥棱县第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

绥棱县第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式a n 为（ ） A ．2n ﹣1
B ．﹣3n+2
C ．（﹣1）n+1（3n ﹣2）
D ．（﹣1）n+13n ﹣2
2． 定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-，则有（ ）
A ．(49)(64)(81)f f f <<
B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f << D ．(64)(81)(49)f f f <<
3． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a=5，b=4，
cosC=，则△ABC 的面积是（ ） A ．16
B ．6
C ．4
D ．8
4． 从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
5． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ） A ．
14 B ．18 C ．23 D ．112
6． 命题：“∀x ＞0，都有x 2﹣x ≥0”的否定是（ ）
A ．∀x ≤0，都有x 2﹣x ＞0
B ．∀x ＞0，都有x 2﹣x ≤0
C ．∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0
D ．∃x ≤0，使得x 2﹣x ＞0
7． 从1、2、3、4、5中任取3个不同的数、则这3个数能构成一个三角形三边长的概率为（ ） A.110 B.15 C.310 D.25 8． 用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ） A ．a ，b 都能被5整除 B ．a ，b 都不能被5整除 C ．a ，b 不能被5整除 D ．a ，b 有1个不能被5整除
9． 已知，y 满足不等式430,
35250,1,x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）
A ．3
B ．
13
2
C ．12
D ．15 10．若如图程序执行的结果是10，则输入的x 的值是（ ）
A ．0
B ．10
C ．﹣10
D ．10或﹣10
11．集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，
N ，P 的关系（ ）
A ．M P N =⊆
B ．N P M =⊆
C ．M N P =⊆
D ．M P N ==
12．如图，△ABC 所在平面上的点P n （n ∈N *）均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为3；1， =
﹣
（2x n +1）（其中，{x n }是首项为1的正项数列），则x 5等于
（ ）
A ．65
B ．63
C ．33
D ．31
二、填空题
13．已知函数()()31
,ln 4
f x x mx
g x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数
()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
14．不等式的解集为R ，则实数m 的范围是
．
15．△ABC 中，，BC=3，
，则∠C=
．
16．如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为km．
17．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是．
18．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||=2，则
=．
三、解答题
19．已知一个几何体的三视图如图所示．
（Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．
20．已知cos （+θ）=﹣，
＜θ＜
，求
的值．
21．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足S n =2a n ﹣n 2+3n+2（n ∈N *） （Ⅰ）求证：数列{a n +2n}是等比数列；
（Ⅱ）设b n =a n sin π，求数列{b n }的前n 项和；
（Ⅲ）设C n =﹣，数列{C n }的前n 项和为P n ，求证：P n ＜．
22．（本小题满分10分） 已知函数()|||2|f x x a x =++-.
（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； （2）若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]，求的取值范围.
23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AB=2，
（1）证明：BC1∥平面A1CD；
（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；
（3）求三棱锥A1﹣DEC的体积．
24．已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，满足4S n=（a n+1）2．
（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=（n∈N*），求证：b1+b2+…+b n＜．
绥棱县第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）n+1，绝对值为3n ﹣2，故通项公式a n=（﹣1）n+1（3n﹣2）．
故选：C．
2．【答案】A
【解析】
考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111]
3．【答案】D
【解析】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC==，
∴S△ABC=absinC==8．
故选：D．
4．【答案】B
【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到，
这三个事件是相互独立的，
第一次不被抽到的概率为，
第二次不被抽到的概率为，
第三次被抽到的概率是，
∴女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是=，
故选B．
5． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202
303
-=-.故本题答案选C. 考点：几何概型． 6． 【答案】C
【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：
∃x ＞0，使得x 2
﹣x ＜0，
故选：C ．
【点评】本题主要考查含有量词的命题 的否定，比较基础．
7． 【答案】
【解析】解析：选C.从1、2、3、4、5中任取3个不同的数有下面10个不同结果：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，
4，5），能构成一个三角形三边的数为（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5），故概率P ＝3
10.
8． 【答案】B
【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．
故应选B ．
【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．
9． 【答案】C
考点：线性规划问题．
【易错点睛】线性规划求解中注意的事项：（1）线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的基础．（2）目标函数的意义，有的可以用直线在y 轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示．（3）线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定． 10．【答案】D
【解析】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，
当x ＜0，时﹣x=10，解得：x=﹣10 当x ≥0，时x=10，解得：x=10 故选：D ．
11．【答案】A 【解析】
试题分析：通过列举可知{}{}2,6,0,2,4,6M P N ==±±=±±±，所以M P N =⊆.
考点：两个集合相等、子集．1 12．【答案】 D
【解析】解：由=﹣（2x n +1），
得+（2x n +1）
=，
设
，
以线段P n A 、P n D 作出图形如图，
则，
∴
，∴
，
∵，∴，
则，
即x n+1=2x n +1，∴x n+1+1=2（x n +1），
则{x n +1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴x 5+1=2•24
=32，
则x 5=31． 故选：D ．
【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．
二、填空题
13．【答案】()
53
,44
--
【解析】
试题分析：()2
3f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足
()10,0,0f f m ><<，解得51534244
m m >->⇒-<<- 考点：函数零点
【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还
是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
14．【答案】．
【解析】解：不等式，
x2﹣8x+20＞0恒成立
可得知：mx2+2（m+1）x+9x+4＜0在x∈R上恒成立．
显然m＜0时只需△=4（m+1）2﹣4m（9m+4）＜0，
解得：m＜﹣或m＞
所以m＜﹣
故答案为：
15．【答案】
【解析】解：由，a=BC=3，c=，
根据正弦定理=得：
sinC==，
又C为三角形的内角，且c＜a，
∴0＜∠C＜，
则∠C=．
故答案为：
【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．
16．【答案】
【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，
在△ABC中，根据正弦定理得：BC==海里，
则这时船与灯塔的距离为海里．
故答案为．
17．【答案】①②④．
【解析】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．
∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．
∵f（2x）=2f（x），
∴f（2k x）=2k f（x）．
①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确；
②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．
若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．
…
一般地当x∈（2m，2m+1），
则∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，
从而f（x）∈[0，+∞），故正确；
③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，
∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，
即2n﹣1=9，∴2n=10，
∵n∈Z，
∴2n=10不成立，故错误；
④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数，
∴若（a，b）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．故答案为：①②④．
18．【答案】（﹣，）．
【解析】解：∵，，
设OC与AB交于D（x，y）点
则：AD：BD=1：5
即D分有向线段AB所成的比为
则
解得：
∴
又∵||=2
∴=（﹣，）
故答案为：（﹣，）
【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，
可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，
其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧=×2π×2×2=4π；
S圆柱侧=2π×2×4=16π；
S圆柱底=π×22=4π．
∴几何体的表面积S=20π+4π；
（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：
则AB===2，
∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．
20．【答案】
【解析】解：∵＜θ＜，∴+θ∈（，），
∵cos（+θ）=﹣，∴sin（+θ）=﹣=﹣，
∴sin（+θ）=sinθcos+cosθsin=（cosθ+sinθ）=﹣，
∴sinθ+cosθ=﹣，①
cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=（cosθ﹣cosβ）=﹣，
∴cosθ﹣sinθ=﹣，②
联立①②，得cosθ=﹣，sinθ=﹣，
∴==
==．
【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数诱导公式、加法定理和同角三角函数关系式的合理运用．
21．【答案】
【解析】（I ）证明：由S n =2a n ﹣n 2+3n+2（n ∈N *
），
∴当n ≥2时，，
a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2a n ﹣1﹣2n+4，
变形为a n +2n=2[a n ﹣1+2（n ﹣1）]，当n=1时，a 1=S 1=2a 1﹣1+3+2，解得a 1=﹣4，∴a 1+2=﹣2，∴数列{a n +2n}是等比数列，首项为﹣2，公比为2；
（II ）解：由（I ）可得a n =﹣2×2n ﹣1﹣2n=﹣2n
﹣2n ．
∴b n =a n sin
π=﹣（2n +2n ）
，∵ =
=（﹣1）n ，
∴b n =（﹣1）n+1（2n
+2n ）．
设数列{b n }的前n 项和为T n ．
当n=2k （k ∈N *）时，T 2k =（2﹣22+23﹣24+…+22k ﹣1﹣22k
）+2（1﹣2+3﹣4+…+2k ﹣1﹣2k ）
=﹣2k=﹣n ．
当n=2k ﹣1时，T 2k ﹣1=﹣2k ﹣（﹣22k
﹣4k ）=
+n+1+2n+1=
+n+1．
（III ）证明：C n =﹣
=
，当n ≥2时，c n ．
∴数列{C n }的前n 项和为P n ＜==，
当n=1时，c 1=成立．
综上可得：∀n ∈N *
，
．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．【答案】（1）{|1x x ≤或8}x ≥；（2）[3,0]-. 【解析】
试
题解析：（1）当3a =-时，25,2()1,
2325,3x x f x x x x -+≤⎧⎪
=<<⎨⎪-≥⎩
，当2x ≤时，由()3f x ≥得253x -+≥，解得1x ≤； 当23x <<时，()3f x ≥，无解；当3x ≥时，由()3f x ≥得253x -≥，解得8x ≥，∴()3f x ≥的解集为
{|1x x ≤或8}x ≥.
（2）()|4||4||2|||f x x x x x a ≤-⇔---≥+，当[1,2]x ∈时，|||4|422x a x x x +≤-=-+-=， ∴22a x a --≤≤-，有条件得21a --≤且22a -≥，即30a -≤≤，故满足条件的的取值范围为[3,0]-. 考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题. 23．【答案】
【解析】（1）证明：连接AC 1与A 1C 相交于点F ，连接DF ， 由矩形ACC 1A 1可得点F 是AC 1的中点，又D 是AB 的中点，
∴DF ∥BC 1，
∵BC 1⊄平面A 1CD ，DF ⊂平面A 1CD ，
∴BC 1∥平面A 1CD ； …
（2）解：由（1）可得∠A 1DF 或其补角为异面直线BC 1和A 1D 所成角．
DF=BC 1
=
=1，A 1
D=
=
，A 1
F=A 1C=1．
在△A 1DF 中，由余弦定理可得：cos ∠A 1
DF=
=
，
∵∠A 1DF ∈（0，π），∴∠A 1
DF=
，
∴异面直线BC 1和A 1D 所成角的大小；…
（3）解：∵AC=BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，
∵平面ABB 1A 1∩平面ABC=AB ，∴CD ⊥平面ABB 1A 1，
CD==1．
∴
=
﹣S △BDE
﹣
﹣
=
∴三棱锥C ﹣A 1DE 的体积
V=
…
【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线BC 1和A 1D 所成角，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：由4S n=（a n+1）2，
令n=1，得，即a1=1，
又4S n+1=（a n+1+1）2，
∴，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0．∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，则{a n}是等差数列，
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，b n==，
则b1+b2+…+b n=
=
=．。