人教版数学八年级下册16.1二次根式的概念学习要点

二次根式的概念学习要点
二次根式是一种特殊的代数式，它在实际生活以及其它科学技术中都有着广泛的应用，为了帮助同学们学好这一知识点，现提醒同学们学习时应注意领会以下几个要点：
一、正确理解二次根式的定义
同学们已经接触到的象0、…、a ≥0〕等式子，这些式子是什么样的一个式子呢？我们把式子a 〔a ≥0〕叫做二次根式.由此，对于a 〔a ≥0〕的讨论应注意下面的问题：
〔1〕式子a 只有在条件a ≥0时才叫二次根式.
.
〔2a ≥0〕实际上就是非负数a 的算术平方根.
〔33，但3不是二次根式.因此二次根式指的是某种式子的“外部形态〞.如，当a 为实数时， a 、2a 、12+a 、2)1(-a 都是二次根式，而10+a 、12-a 都不一定是二次根式.这是因为a 是实数时，并不能保证a +10、a 2－1是非负数，即a +10、a 2－1可以是负数，如当a ＜－10时，a +10＜0；又如当0＜a ＜1时，a 2－1＜0，因此，10+a 、12-a 不一定是二次根式.
二、能运用二次根式的定义确定有关二次根式的字母取值范围 由于式子a 〔a ≥0〕叫做二次根式，它实际上是一个非负的实数a 的算术平方根的表达式.所以式子a 中的被开方数或被开方式必须大于或等于零，即式子a 是一个非负数.
如，当x ≥3时，式子3-x 在实数范围内有意义.这是因为由二次根式的定义可知被开方式x －3≥0，即x ≥3，就是说当x ≥3时，式子3-x 在实数范围内有意义.这类问题实质上是当x 是什么数时，x －3是非负数，式子3-x 有意义.
三、能运用二次根式的定义解题
我们知道，二次根式的结果是一个非负数，在初中阶段，常见的非负数有三个：a 2≥0，a ≥0，a ≥0.利用“几个非负数的和为零，那么这几个非负数都为零〞的性质解题，在各类考试中屡见不鲜.
例1 y ，那么y x
＝ . 简析 根据二次根式的被开方数是一个非负数，可得3－x ≥0且x －3≥0，即x ≤3且x ≥3，所以x 只能等于3，所以y ＝6.故
y x ＝63＝2.
例2 3x -+y 2+4y 0，求x y z x y z
-+++的值.
简析 此题可变形为3x -+(y +2)2＝0，因为是三个非负数的和为0，所以x －3＝0，y +2＝0，z －1＝0，即x ＝3，y ＝－2，z ＝1，故
x y z x y z
-+++＝3(2)1321--+-+＝3.
下面两道题目供同学们自己练习：
1、实数a 满足2007a -a ，求a －20072的值.
2a 、x 、y 是两两不同的实数，求222
23y
xy x y xy x +--+的值.
3、假设实数x 、y 、a 试问长度分别为x 、y 、a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.
参考答案
1，由a －2021≥0，得a ≥2021.故式可化为a －2007+a ，所以
2007，两边平方并整理，得a －20072＝2021.
2，由a (x －a )≥0及x －a ≥0得a ≥0；由a (y －a )≥0及a －y ≥0得a ≤0，故a ＝0，
，x ＝－y ≠0，故原式＝2222
223y
y y y y y ++--＝31. 3，由x +y －8≥0，8－x －y ≥0，得x +y ≥8，x +y ≤8.所以8≤x+y ≤8，x +y ＝8.这时，
0.00，
00.从而3x －y －a ＝0，x －2y +a +3＝0.这两
个等式相加，得4x －3y ＝－3.联立x +y ＝8和4x －3y ＝－3，得8,43 3.
x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得
3,5.x y =⎧⎨=⎩
这时a ＝3x －y ＝4.因为x 、y 、a 中的任意两者的值大小第三者的值，所以长度分别为x 、y 、a 的三条线段能组成一个三角形.因为x 2+a 2＝y 2，所以长度分别为x 、y 、a 的三条线段能组成一个直角三角形，且两条直角边的长度分别为3、
4.所以该三角形的面积值＝3×4÷2＝6.。