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(3) n 维随机变量的概念 设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 S {e}, 设 X1 X1(e), X2 X2(e),, Xn Xn(e), 是定义 在 S 上的随机变量,由它们构成的一个n 维向量 ( X1, X2 ,, Xn ) 叫做 n维随机向量或n维随机变量.
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1,2,, 称此为二维离散型随机变量( X ,Y ) 的分布律,或 随机变量X和Y的联合分布律.
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为:
X Y
y1 y2
yj
x1
x2
xi

p11 p21 pi1
说明 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为
P{X i,Y j} pij , i, j 1,2,. X 和Y 相互独立 P{X xi ,Y yj } P{X xi }P{Y yj } 即 pij pi p j .
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x, y),边缘概率密度分别为f X ( x), fY ( y),则有

记
pi pij P{ X xi }, i 1,2,,
j 1

p j pij P{Y y j }, j 1,2,,
i 1
分别称 pi (i 1,2,) 和 p j ( j X 和关于 Y 的边缘分布律.
(4) n 维随机变量 ( X1 , X 2 ,, X n ) 的边缘概率密度
若 f ( x1 , x2 ,, xn ) 是 ( X1 , X 2 ,, X n ) 的概率 密度, 则 ( X1 , X 2 ,, X n ) 关于 X1 , 关于 ( X1 , X 2 ) 的 边缘概率密度分别为
X 和 Y 相互独立 f ( x, y) fX ( x) fY ( y). (3) X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
二维随机变量的推广
(1) n 维随机变量 ( X1, X2,, Xn ) 的分布函数为
F ( x1, x2 ,, xn ) P{ X1 x1, X2 x2 ,, Xn xn }, 其中 x1, x2 ,, xn 为任意实数.
的概率是
P{(X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y.
G
(3) 说明
几何上, z f ( x, y) 表示空间的一个曲面.

f (x, y)d xd y 1
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全 部体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y,
(1) 离散型随机变量的条件分布
设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量,对于固定的
j, 若 P{Y j} 0, 则称
P{ X

xi Y

yj}
P{X xi ,Y P{Y y j }
yj}
pij , p j
i 1,2,,
为在Y

y
条
j
件下随
机变量
X
的条件分布律.
同理可定义
对于固定的 i, P{ X xi } 0, 则称
P{Y

yj
X

xi }
P{X xi ,Y P{X xi }
yj}
pij , pi
j 1,2,,
为在 X xi 条件下随机变量Y 的条件分布律.
(2) 连续型随机变量的条件分布
设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为 f ( x, y),
FX1 ( x1) F ( x1,,,,)
称为
n
维随机变量
(
X1
,
X
2
,,
X
n
)
关于
X
的边缘
1
分布函数.
FX1,X2 ( x1) F ( x1, x2 ,,,,)
称为n维随机变量 ( X1 , X 2 ,, X n ) 关于( X1 , X 2 )的 边缘分布函数.
其它依次类推.
YX
fX (x)
联合分布、边缘分布、条件分布的关系
联合分布
边缘分布 条件分布
联合分布
随机变量的相互独立性
设 F ( x, y)及FX ( x),FY ( y)分别是二维随机变 量( X ,Y )的分布函数及边缘分布函数.若对于所有 x, y有
P{ X x,Y y} P{ X x}P{Y y}, 即 F ( x, y) FX ( x)FY ( y), 则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的.
对于二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数F ( x, y), 如果存在非负的函数 f (x, y) 使对于任意 x, y 有
yx
F ( x, y)
f (u,v) d udv,

则称 ( X ,Y ) 是连续型的二维随机变量, 函数 f ( x, y)
称为二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度, 或称为随机
G
P{(X ,Y ) G}的值等于以G为底,以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.
(4) 两个常用的分布
设 D 是平面上的有界区域, 其面积为 S, 若二 维随机变量 ( X, Y ) 具有概率密度
f
(
x,
y)


1 S
,
(x, y) D,
0, 其他.
则称( X,Y )在D上服从均匀分布.
fX1 ( x1)
x
FX ( x) F ( x,)
f (x, y)d y d x,

记

fX ( x)
f (x, y)d y

称为随机变量( X , Y ) 关于 X 的的边缘概率密度.
同理得 Y 的边缘概率密度
fY ( y)

f (x, y)d x.

随机变量的条件分布
同理令 x ,
FY ( y) F (, y) P{ X ,Y y} P{Y y}
为随机变量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数.
离散型随机变量的边缘分布
设二维离散随机变量( X ,Y )的联合分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,.
( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若对于固定
的
y,
fY ( y) 0, 则称
f ( x, y) 为在Y fY ( y)

y 的条件下
X 的条件概率密度,记为
f (x, y)
f (x y)
.
XY
fY ( y)
在给定 X x 的条件下Y 的条件概率密度为
f ( y x) f (x, y).
(2) n 维随机变量 ( X1, X2,, Xn ) 的概率密度函数 F ( x1, x2 ,, xn )
xn
xn1
x1


f ( x1, x2 ,, xn )d x1 d x2 d xn .
(3) n 维随机变量 ( X1, X2,, Xn ) 的边缘分布函数
二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.
边缘分布函数
设F ( x, y)为随机变量( X ,Y )的分布函数,则 F ( x, y) P{ X x,Y y},
令 y , 称
P{X x} P{X x,Y } F( x,) 为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边缘分布函数. 记为 FX ( x) F ( x,).
F (,) lim F ( x, y) 1. x y
30 F ( x, y) F ( x 0, y),F ( x, y) F ( x, y 0), 即 F ( x, y) 关于 x 右连续,关于 y 也右连续.
40 对于任意 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 , 有 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 ) 0.
联合分布
边缘分布
随机变量关于X 和 Y 的边缘分布函数分别为

FX ( x) F ( x,)
pij ,
xi x j1

FY ( y) F (, y)
pij .
y j y i1
连续型随机变量的边缘分布
对于连续型随机变量( X ,Y ), 设它的概率密 度为 f ( x, y),由于
若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度
1
f (x, y)
2πσ1σ2
1 ρ2
e
1 2(1 ρ2
[( )
x μ1 σ12
)2
2
ρ(
x μ1 )( σ1σ2
y
μ2
)(
y μ2 σ22
)2
]
( x , y )
其中μ1 , μ2 ,σ1 ,σ2 , ρ为常数,σ1 0,σ2 0,1 ρ 1, 则称( X ,Y )服从参数为μ1 , μ2 ,σ1 ,σ2 , ρ的二维正态分 布.记为 ( X ,Y ) ~ N ( μ1, μ2 ,σ12 ,σ22 , ρ).
(1) 定义
设 ( X ,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y ,二元函数: F ( x, y) P{(X x) (Y y)} P{ X x,Y y} 称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数,或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数.
(2) 性质 10 F ( x, y) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y, 当 x2 x1 时 F ( x2 , y) F ( x1 , y); 对于任意固定的x,当y2 y1时F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
变量 X 和 Y 的联合概率密度.
(2) 性质
10 f ( x, y) 0.
20

f ( x, y) d x d y F (,) 1.

30 若f ( x, y)在( x, y)连续,则有 2F ( x, y) f ( x, y). xy
40 设G是xoy平面上的一个区域,点( X ,Y )落在G内
20 0 F( x, y) 1, 且有
对于任意固定的 y, F(, y) lim F( x, y) 0; x
对于任意固定的 x, F ( x,) lim F ( x, y) 0; y
F (,) lim F ( x, y) 0; x y
对于任意 n 个实数x1, x2 ,, xn ,n 元函数 F ( x1, x2 ,, xn ) P{ X1 x1, X2 x2 ,, Xn xn }
称为随机变量( X1, X2 ,, Xn )的联合分布函数.
二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量( X ,Y )所有可能取的 值为 ( xi , y j ),i, j 1,2,,记
第三章 多维随机变量及其分布 习题课
一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题
一、重点与难点
1.重点
二维随机变量的分布 有关概率的计算和随机变量的独立性
2.难点
条件概率分布 随机变量函数的分布
二、主要内容
二
推广
维
定义
随
机
联合分 布函数
变
量
定性
义质
随机变量 的相互独立性
联合分布律 联合概率密度 条件分布
p12 p22 pi 2


p1 j p2 j pij


离散型随机变量 ( X,Y ) 的分布函数为
F ( x, y) pij ,
xi x y j y
其中和式是对一切满足xi x, yj y 的i, j求和.
二维连续型随机变量的概率密度
(1) 定义
边缘分布
两个随机变量的函数的分布
二维随机变量
设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 S {e}, 设X X (e) 和 Y Y (e) 是定义在 S 上的随机变量, 由它们构成的一个向量( X ,Y ), 叫作二维随机向量 或二维随机变量.
X (e)
e S
Y (e)
二维随机变量的分布函数