人教A版数学选修1-1第三章-导数-复习学案

第三章 导数复习
【考向1】确定函数的单调性或求函数的单调区间
【例题1】如图,是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下面判断正确的是( )
０
A ．在区间(-２,1）上)(x f 是增函数
B ．在区间（１，3）上)(x f 是减函数
C ．在区间（4,５）上)(x f 是增函数
D ．当4=x 时,)(x f 取极大值. 【例题２】【２016高考新课标1文数】已知函数()()()2
2e 1x f x x a x =-+-. （Ｉ)讨论()f x 的单调性; (ＩI)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
【考向2】已知函数的单调性求参数的范围
【例题3】【2016高考新课标１文数】若函数1
()sin 2sin 3
f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是( ）
（A ）[]1,1-(B)11,3⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦（C)11,33
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（Ｄ）11,3⎡
⎤--⎢⎥
⎣
⎦
【考向3】利用导数研究函数的极值问题
【例题4】【20１6高考山东文数】设f （x )=x ln x –ax 2+(２a –1）x ,a ∈Ｒ. (Ⅰ)令g （x )=f'(ｘ),求g (x ）的单调区间;
(Ⅱ)已知ｆ（x ）在x =1处取得极大值.求实数ａ的取值范围.
【考向4】利用导数解决函数的最值问题
【例题5】已知2
()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+- （1）求函数()f x 在[,2)(0)t t t +>上的最小值;
(2)对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立,求实数的取值范围； (3)证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12
ln x x e ex
-
＞成立.
趁热打铁
1．已知函数(1)
()ln 1
a x f x x x -=
-+在[1,)+∞上是减函数,则实数的取值范围为（ ) A.1a < B ．2a < C ．2a ≤ Ｄ.3a ≤ 2．若ｆ（x)=2
1ln(2)2
x b x -
++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是( ) A.(-１，+∞） B.(-1,+∞) C.（－∞，-1] D ．(-∞,-1）
3．已知等比数列{}n a 的前项的和为1
2n n S k -=+,则()3221f x x kx x =--+的极大值为
（ ）
A ．２ Ｂ.3 C.
72 D ．52
4．若函数()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，则实数的取值范围是_____＿_．
5.已知函数()()321x
f x x a x ax a e ⎡⎤=+--+⎣⎦,若0x =是()f x 的一个极大值点,则实数的取
值范围为 ．
6.已知向量2=(e ,-x)2
x
x a + ,1()b t ＝，，若函数()·f x a b ＝在区间(－1,1)上存在增区间，则t 的取值范围为____＿＿__. 7．已知函数()ln
(1)2ex f x f x '=-⋅,32()()2x a g x f x x
=--（其中a R ∈). (1)求()f x 的单调区间;
(2）若函数()g x 在区间[2,)+∞上为增函数，求的取值范围;
８.已知函数2
()ln f x x a x =+,0a ≠.
（1）若1x =是函数()f x 的极值点,求实数的值； (2）讨论()f x 的单调性.
9．已知函数()3
2
33f x x ax bx =-+的图象与直线1210x y +-=相切于点()1,11-.
(1）求,a b 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间.
1０.已知函数233
()ln 22
f x x x ax a =-
+（R a ∈)，其导函数为()f x '． （1）求函数()()(31)g x f x a x '=+-的极值;
(2)当1x >时，关于的不等式()0f x <恒成立,求的取值范围.
导数复习答案解析
【例题1】C
【例题2】【解析】(Ｉ)()()()()()
'12112.x x f x x e a x x e a =-+-=-+ (ｉ)设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时,()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以在(),1-∞单调递减,在()1,+∞单调递增. （ii)设0a <，由()'0f x =得x =1或x =ln(－2a ）.
①若2e
a =-
,则()()()'1x f x x e e =--,所以()f x 在(),-∞+∞单调递增． ②若2
e
a >-,则l ｎ(-２a)<１，故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞时，()'0f x >;
当()()
ln 2,1x a ∈-时,()'0f x <，所以()f x 在()()
(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增,在
()()ln 2,1a -单调递减．
③若2
e
a <-
，则()21ln a ->,故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞时，()'0f x >,当()()
1,ln 2x a ∈-
时,()'0f x <，所以()f x 在()()(
)
,1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()(
)
1,ln 2a -单调递减. (I Ｉ)(ｉ)设0a >,则由(Ｉ)知,()f x 在(),1-∞单调递减,在()1,+∞单调递增. 又()()12f e f a =-=，,取b 满足b <0且ln 22
b a <, 则()()()23
321022a f b b a b a b b ⎛⎫>
-+-=->
⎪⎝⎭
,所以()f x 有两个零点.
【例题３】【答案】Ｃ 【例题4】
(Ⅰ）由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 则()112'2ax
g x a x x
-=
-=
, 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时,()'0g x >,函数()g x 单调递增； 当0a >时,10,
2x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,()'0g x >,函数()g x 单调递增, 1,2x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()'0g x <,函数()g x 单调递减.
所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞; 当0a >时,函数()g x 单调递增区间为10,
2a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
．
②当
1 0
2
a
<<
时,
1
1
2a
>，由（Ⅰ）知()
'f x在
1
0,
2a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
内单调递增,
可得当当()
0,1
x∈时,()
'0
f x<，
1
1,
2
x
a
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
时,()
'0
f x>,
所以()
f x在(0,１)内单调递减,在
1
1,
2a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
内单调递增,
所以()
f x在1
x=处取得极小值,不合题意.
③当
1
2
a=时,即
1
1
2a
=时，()
'f x在（0，1)内单调递增,在()
1,+∞内单调递减，所以当()
0,
x∈+∞时,()
'0
f x≤，()
f x单调递减，不合题意.
【例题5】【解析】（1)()ln1
f x x
'=+,
当
1
(0,),()0,()
x f x f x
e
'
∈<单调递减，当
1
(,),()0,()
x f x f x
e
'
∈+∞>单调递增①
1
2
t
e
+≤，'()0
f x<，函数()
f x单调递减,没有最小值;
②
1
02
t t
e
<<<+，即
1
0t
e
<<时,
min
11
()()
f x f
e e
==-；
③
1
2
t t
e
≤<+,即
1
t
e
≥时，[]
(),2
f x t t+
在上单调递增,
min
()()ln
f x f t t t
==；
所以
min
11
,0.
()
1
ln,
t
e e
f x
t t t
e
⎧
-<<
⎪⎪
=⎨
⎪≥
⎪⎩
（2）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x
≤++
， 设3()2ln (0)h x x x x x
=++>,则2
(3)(1)
()x x h x x +-'=, ① (0,1),()0,()x h x h x '∈<单调递减, ② (1,),()0,()x h x h x '∈+∞>单调递增， 所以min ()(1)4h x h ==,对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=；
【趁热打铁＊答案与解析】 1.【答案】C 【解析】 由题意得,2
(1)21()ln ,01(1)a x a f x x x x x x -'=
-=->++，因为函数(1)
()ln 1
a x f x x x -=-+在[1,)+∞上是减函数，所以()0f x '≤在[1,)+∞上恒成立,即
221
0(1)a x x
-≤+在[1,)+∞上恒成
立，即2(1)1
22x a x x x
+≤
=++在[1,)+∞上恒成立,又因为11224x x x x ++≥⋅=,当且仅当1x =是取等 号,所以2a ≤,故选C ． 2．:【答案】C 【解析】若f(x)=21ln(2)2x b x -
++∞在(-1,+)上是减函数,则02
)(≤++-='x b
x x f ,只需 )2(+≤x x b 在),1(+∞-上恒成立,1)1()2(2-+=+=x x x y 在),1(+∞-上1->y ,所以b 的
取值范围是1-≤b ,选Ｃ.
3.【答案】D 【解析】
因k a S S k a a S k a S +=+=+=+=+==4,2,132321211,即2,1,1321==+=a a k a ，故题设21,1)1(2-
==+k k ,所以122
1
)(23+-+=x x x x f ,由于)1)(23(23)(2/+-=-+=x x x x x f ，因此当)1,(--∞∈x 时, )(,0)(/x f x f >单调递增;
当)3
2
,1(-∈x 时, )(,0)(/
x f x f <单调递减，所以函数)(x f 在1-=x 处取极大值
2
5
12211)1(=+++
-=-f ,应选D. ４.【答案】2a ≥ 【解析】'()1002a a x
f x a x a x a x x
-=
-=≥⇒-≥⇒≥⇒≥．
６.【答案】()1e ∞－，＋
【解析】2
x
f(x)=e -tx,x (-1,1),2
x +∈ '()e x f x x t =+-,函数在12()x x ，⊆(－1,1）上单调递增，故12()x
e x t x x x >∈＋，，时恒成立,又
1
11x e x e e
-<<+＋,故1t e <＋
． 7.【答案】（１)单调增区间为(0,2)，单调减区间为(2,)+∞．（2）3a ≥-. 【解析】(１）1()(1)f x f x ''=
-,1
(1)1(1),(1)2
f f f '''∴=-∴=， 1()ln ,(0)22
ex f x x x ∴=->,故112()22x
f x x x -'=-=
． ∴当02x <<时,()0f x '>;当2x >时，()0f x '<.
∴()f x 的单调增区间为(0,2),单调减区间为(2,)+∞.
(2）2()2ln 2a ex
g x x x =--,则222
1222()2a x x a g x x x x -+'=-+=，由题意可知22
220x x a
x -+≥在[2,)+∞上恒成立,即2220x x a -+≥在[2,)+∞上恒成立，因函数2()22u x x x a =-+开口向上，且对称轴为1
4
x =
,故()u x 在[2,)+∞上单调递增，因此只需使(2)0u ≥,解得3a ≥-；易知当3a =-时，()0g x '≥且不恒为0. 故3a ≥-.
（2）①若0a >,则'()0f x >恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增. ②若0a <,令'()0f x =，得2
a x =
-
当)2a x ∈-时，'()0f x <,()f x 单调递减；当(,)2
a
x ∈-+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增.
9．【解析】(１）()2
363f x x ax b '=-+．．．．..．.．．．.．.．．.．．．.．.2分
由题意知()()136312
113311f a b f a b '=-+=-⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩
．．．.....．...．.．．.．.．．.． (4)
解得1
3
a b =⎧⎨
=-⎩.．.．...．．.．．.．.．．．．．．．６分
（2)由（1)知()2
363f x x ax b '=-+,
所以()0f x '>，解得31x x ><-或．．..．．．.．.．.．.．．．．．.．．8分 ()0f x '<，解得13x -<<．.．
．...．．......．..．.．.．.．.．．.．...10分
()
f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()3,+∞，单调递减区间为()1,3-.
１
0.
（2）由题意，'()ln 31f x x ax =-+
（I ）当0≤a 时，'()ln 310f x x ax =-+>在1>x 时恒成立，则)(x f 在),1(+∞上单调递增,所以0)1()(=>f x f 在),1(+∞上恒成立，与已知矛盾,故0≤a 不符合题意．……7分 (ＩI)当0>a 时,令'()()ln 31x f x x ax ϕ==-+，则'1()3x a x ϕ=-
，且)1,0(1∈x ①当31a ≥，即13a ≥时,'1()30x a x
ϕ=-<,于是)(x ϕ在),1(+∞∈x 上单调递减, 所以()(1)130x a ϕϕ<=-≤，0)('<x f 在),1(+∞∈x 上恒成立.则)(x f 在),1(+∞∈x 上单调
递减，所以0)1()(=<f x f 在),1(+∞∈x 上成立，符合题意………………………９分 ②当031a <<,即103a <<
时，113a >,'13()13()3a x a x a x x ϕ--=-=， 若1(1,)3x a ∈，则0)('>x ϕ,)(x ϕ在1(1,)3a
上单调递增；。