直线法线式方程在建筑施工放样中的应用

直线法线式方程在建筑施工放样中的应用
作者：杨旭江;程新民;邱晓波
来源：《价值工程》2012年第11期
摘要：建筑物轴线的放样主要是计算出各轴线的交点的坐标，然后通过全站仪极坐标放样的方法定出轴线交点的位置。

由于建筑物坐标系和测量坐标系不同，应先通过坐标转换将建筑物轴线交点转换为测量指标，本文提出无需进行坐标转换，而是通过建立建筑方格网主轴线法线式直线方程，并以此推求出建筑物轴线的法线式直线方程，进而通过解方程组求得交点坐标。

Abstract: Setting out the main axis of the building is to calculate the coordinates of the intersection of the axis, and then setting out the total station to determine axes intersection point. As the building coordinate system is different from the measurement coordinate system, we should first convert axes intersection point to measurement index by coordinate conversion. The article creates normal linear equation of building grid and inquires out the building axis normal linear equation, then solves equations to obtain the intersection coordinates.
关键词：法线式直线方程；测量坐标系；建筑坐标系；坐标方位角；放样；全站仪；双变量线性回归；解方程组
Key words: normal linear equation；measurement coordinate system；building coordinate system；coordinates azimuth；lofting；total station；two-variable linear regression；solution of equations
中图分类号：TU74 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）11-0058-02
0 引言
建筑物轴线的交点的坐标往往为建筑设计坐标，与全站仪所架设的已知控制点的测量坐标系统不一致，必须将交点的建筑设计坐标换算成对应的测量坐标，方可通过全站仪极坐标放样的方法定出轴线交点的位置。

本文提出一种无需进行建筑坐标到测量坐标的转换便可求建筑物轴线交点坐标的方法。

只要在测量坐标系统下建立建筑方格网主轴线法线式直线方程，并以此推求出建筑物轴线的法线式直线方程，进而通过解方程组求得交点的测量坐标。

1 直线法线式方程
如图1所示，过坐标原点O作直线L的垂线，也称直线L的法线，原点O到直线L的距离为P，也称为法线长，其恒为非负数，x轴逆时针（x轴正向转向y轴正向）到直线L的夹角为θ。

则由图易知：xcosθ+ysinθ=P （P0）即，xcosθ+ysinθ-P=0（1）
任意直线均有唯一的θ和P，或已知θ和P便可确定一条直线，则（1）式可以表示直线L 的位置，我们称该式为直线L的法线式方程[1]。

在测量的直角坐标系中，由于坐标的纵轴为x轴，横轴为y轴，如图2所示。

如果定义由x轴坐标正向转向y轴坐标正向到直线L的夹角，设为Q。

原点O到直线L 的距离为P，也为法线长，其恒为非负数。

那么所建立的直线的方程的形式依然为（1）式，即：
xcosQ+ysinQ-P=0 （2）
夹角Q刚好符合测量中坐标方位角的定义，所以Q也称为法线P的坐标方位角[2]。

2 建筑物轴线交点坐标的计算方法
2.1 建立建筑方格网的主轴线法线式方程通过坐标测量的方法求得建筑方格网主轴线上的各主点的测量坐标，然后按照双变量线性回归计算[3]、[4]方法获得在测量坐标系中的主点所在主轴线的斜截式直线方程为：y=Bx+A（其中A，B为所求回归方程的系数）。

若设直线的坐标方位角为，则tan=B，而A为直线L在y轴上的截距。

所以：=tan-1B。

由图2又知Q=±90°，则可求出两个Q。

将（2）式进行如下变化 y=-x+
可见P=AsinQ，将所求的两个Q分别代入，取使P大于0所对应的Q，同时也知道了P 值，从而建立了建筑方格网主轴线的法线式直线方程。

2.2 推求建筑物轴线的法线式方程由图3可知，若待求直线同直线L平行，且间距为d，则待求直线的法线式方程为：
scosQ+ysinQ-（P±d）=0 （3）
若待求直线位于坐标原点和已知直线之间取“-”号，位于同侧则取“+”号。

由于建筑物各轴线同建筑方格网主轴线平行，所以由设计施工图上获得建筑物轴线同建筑方格网主轴线的间距，由（3）式很容易推求出建筑物轴线的法线式直线方程。

2.3 计算轴线交点的坐标将两两相交轴线的直线方程联立，求所组成一元二次方程组的解即为二者交点的测量坐标。

（图3）
3 举例说明
如图4所示，有一建筑坐标系x′o′y′，x′轴上的主点为W、V，y′上的主点为M、N。

由建筑场地的已知测量控制点测得各主点的测量坐标为W（6768.519，2049.375）、V(6236.057，1452.313)、M（6726.187，1551.171）、N（6278.390，1950.518）。

建筑物ABCD的长为100米，宽为60米，且到两主轴线的距离分别为35米和40米，求建筑物四角的测量坐标。

解：按双变量线性回归法，并进行转换可求得两主轴线的法线式直线方程的参数为：
LMN∶QMN=48°16′24″，PMN=5634.485795mLWV∶QWV=318°16′24″，
PWV=3687.517394m
因为AB、CD平行WV，则AB和CD的直线方程参数为：
LAB∶QAB=QWV=318°16′24″，PAB=PWV-
35=3652.517394mLCD∶QCD=QWV=318°16′24″，PCD=PWV-95=3592.517394m
同理，AD、BC平行MN，则AD和BC的直线方程参数为：
LAD∶QAD=QMN=48°16′24″，
PAD=PMN+140=5774.485795mLBC∶QBC=QMN=48°16′24″，PBC=PMN+40=5674.485795m
分别联立LAB和LAD、LAB和LBC、LBC和LCD及LCD和LAD直线方程解得A、B、C、D的坐标为：
xA=6569.347myA=1878.629m；xB=6476.166myB=1774.143m
xC=6431.387myC=1814.078m；xD=6524.568myD=1918.563m
4 结束语
通过上述的方法便可求出建筑物四角的测量坐标。

只要在设计图中找出建筑物轴线同方格网主轴线间的几何尺寸，而无需知道各交点的设计建筑坐标，然后就可以运用全站仪极坐标放样的方法，在实地定出各点，为建筑物的基础开挖和施工提供依据。

如果再据此编写相应的程序，就更方便、快速地计算出所有建筑物顶角的测量坐标。

参考文献：
[1]陈希英.平面解析几何入门[M].黑龙江：黑龙江教育出版社.1988.
[2]宁津生.测绘学概论[M].湖北：武汉大学出版社.2008.
[3]刘顺忠.数理统计理论、方法、应用和软件计算[M].湖北省：华中科技大学出版社.2005.
[4]于俊年.计量经济学[M].北京：对外经济贸易大学出版社.2000.。