坐标轴平移在多元函数积分计算中的应用

坐标轴平移在多元函数积分计算中的应用
苏灿荣;禹春福
【摘要】利用适当的坐标轴平移可将某些多元函数积分转换为便于计算的形式.【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2014(030)005
【总页数】3页(P106-108)
【关键词】坐标轴平移;多元函数积分;考研试题;数学竞赛试题
【作者】苏灿荣;禹春福
【作者单位】合肥工业大学数学学院合肥 230009;合肥工业大学数学学院合肥230009
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
多元函数积分学是高等数学课程的重要内容.对于某些特殊的多元函数积分，通过适当的坐标轴平移(本质上是变量替换)可将积分区域或被积函数化为便于计算的形式，从而使得积分计算简便可行.下面我们以数学考研试题或数学竞赛试题为例进行说明.
例1[1] 计算二重积分其中D是由直线x=-2,y=0,y=2以及曲线所围成的平面区域.(1999年全国硕士研究生入学考试数学试题)
解由知x2+(y-1)2=1(x≤0).
令x=x′,y-1=y′，则x=x′,y=y′+1,dx=dx′,dy=dy′，于是
I=(y′+1)dx′dy′，
其中D′是由直线x′=-2,y′=-1,y′=1及曲线围成的平面区域.
由对称性知而是区域D′的面积，其值为故
例2[1] 计算二重积分
其中D={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤2,y≥x}.(2009年全国硕士研究生入学考试数学试题) 解令x-1=x′,y-1=y′，则x=x′+1,y=y′+1,dx=dx′,dy=dy′，于是
其中D′={(x′,y′)|x′2+y′2≤2,y′≥x′}.所以
注与[1]中教育部考试中心提供的参考答案相比，显然本文的方法较为简便.
例3[2] 求抛物面z=x2+y2+1上任意一点P0(x0,y0,z0)处的切平面与抛物面
z=x2+y2所围成的立体的体积.(第十七届北京市大学生数学竞赛试题，2006年) 解抛物面z=x2+y2+1上任意一点P0(x0,y0,z0)处的切平面方程为
(1)
(1)式与z=x2+y2联立消去z，得切平面与抛物面z=x2+y2所围立体在xOy平面的投影区域为D={(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2≤1}.故所求立体的体积为
令x-x0=x′,y-y0=y′，则x=x′+x0,y=y′+y0,dx=dx′,dy=dy′，于是
其中D′={(x′,y′)|x′2+y′2≤1}.所以
例4[3] 设L为(x-1)2+y2=1，取逆时针方向，求∮L(2x+2y+y2)dx+(x-
1)2dy.(2004年陕西省高等数学竞赛试题)
解设曲线L所围成的闭区域为D，由Green公式知
令x-1=x′,y=y′，则dx=dx′,dy=dy′，于是
其中D′是曲线x′2+y′2=1所围成的闭区域.由对称性知又故所求积分
∮L(2x+2y+y2)dx+(x-1)2dy=-2π.
例5[4] 计算其中S为半球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2,z≥c的上侧.(1992年南京大学研究生入学考试数学试题)
解设取下侧. 若曲面S与S1所围成的空间区域为Ω，再记
由Green公式知
令x-a=x′,y-b=y′,z-c=z′，则dx=dx′,dy=dy′,dz=dz′，于是
其中Ω′由x′2+y′2+z′2=R2与z′=0围城.由对称性
而
故
直接计算可知因此
以下问题均可利用坐标轴平移进行求解，解题过程留给读者.
1. 计算二重积分其中D={(x,y)|x2+y2≤x+y+1}.(1994年全国硕士研究生入学考试数学试题)
2. 计算二重积分其中D是圆域x2+y2≤2y.(2006年陕西省高等数学竞赛试题)
3. 计算积分其中S是第一卦限内边长为a的正六面体的表面，原点为立方体的一个顶点，取外侧.(1982年华中工学院高等数学竞赛题)
4. 计算其中S是球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=1的外侧.
[参考文献]
【相关文献】
[1] 《大学数学》编辑部. 硕士研究生入学考试数学试题精解[M].合肥：合肥工业大学出版社，2013.
[2] 李心灿，孙洪祥，邵鸿飞，等.大学生数学竞赛试题解析选编[M].北京：机械工业出版社，2011.
[3] 陕西省第五次大学生高等数学竞赛[J].高等数学研究，2004,7(6):57-59.
[4] 宋国柱.分析中的基本定理和典型方法[M].北京：科学出版社，2004.。