北京市高三数学上学期周练3 理 新人教B版

八一中学2013届高三（上）数学周练（三）
一、选择题（每题6分,共54分.）
1.若集合}2)1(log |{2
1-≥-∈=x R x A , 则A 在实数集R 中的补集=A C R （ ）
A.（1,5）
B.（-∞，1]∪(5, +∞)
C. (5, +∞)
D. (1, 5] 2.
dx x x e )21
(1+⎰等于（ ）
A.2e
B.12-e
C. 1+e
D. 1-e
3.已知)('x f 是函数)(x f y =的导函数，且)('x f 的图象如图所示，则函数)(x f 的图象可能是（ ）
4.曲线sin 1sin cos 2x y x x =
-+在点(,0)4
M π
处的切线的斜率为（ ）
A ．12-
B ．1
2
C ．22-
D ．22
5.曲线x x y -=3
的所有切线中，经过点（1,0）的切线的条数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6.设函数c x b bx x x f 3)1(33)(2
23+-++=有两个极值点12x x 、，且x 1∈(-1,2),
x 2∈(2,+∞), 则实数b 的取值范围是（ ）
A. （-3，-1）
B. （-3,0）
C. （-3，-2）
D. （-2，-1）
7.设直线x t =与函数2
(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ） A ．1 B ．
1
2
C ．52
D ．22
8.已知函数⎩⎨⎧>+-≤<=5
,65
0,ln )(x x x x x f ，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则abc 的
取值范围是（ ）
A.(1,10)
B.(5,6)
C.(10,12)
D.(20,24)
9.对于定义域为R 的函数()f x ，给出下列命题：
①如果函数()f x 对任意的x ∈R ，都有()()f a x f a x +=-（a 为一个常数），那么函数()f x 必为偶函数；
②如果函数()f x 对任意的x ∈R ，满足(2)()f x f x +=-，那么函数()f x 是周期函数； ③如果函数()f x 对任意的12,x x ∈R 、且12x x ≠，都有1212)[()()]0x x f x f x -->(，那么函数()f x 在R 上是增函数；
④函数()y f x =和函数(1)2y f x =-+的图象一定不能重合. 其中，真命题的个数是（ ）
A ．4 B. 3 C. 2 D. 1
二.填空题（前6道每题5分,第16题6分,共36分.）
10.等差数列}{n a 中,若37=a ，8142=+a a ，则10a =_______________. 11.函数x x x f 2)(2
-=与x 轴围成的曲边梯形的面积等于_______________. 12.函数3
2
()31f x x x =-+的极小值点为_______________.
13.已知函数a ex e x f x
+-=)(有零点，则实数a 的取值范围是_______________. 14.如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图(2)(3)所示.
给出下说法：
①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价； ②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本． 其中所有说法正确的序号是_______________.
15.函数2
()cos f x x x =-,对于ππ22
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，上的任意12x x ，,有如下条件：①12x x >；
(1)
(2)
(3)
②22
12x x >；③12x x >.其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_______________.
16. 已知数列}{n a 和}{n b 中，21=a ，121+=
+n n a a ，|1
2
|
-+=n n n a a b ，*N n ∈， 则3b =__________；
若k b 不超过257，则最大的正整数k =__________.
三.解答题（每题15分,共60分.）
17. 在等比数列}{n a 中，)(0*
N n a n ∈>，且134a a =，13+a 是2a 和4a 的等差中项.
（I ）求数列}{n a 的通项公式；
（II ）若数列}{n b 满足n n n a a b 21log +=+（1,2,3...n =），求数列}{n b 的前n 项和n S .
18. 已知函数ax e
x f x
+=-)(，
（Ⅰ）已知1-=x 是函数)(x f 的极值点，求实数a 的值； （Ⅱ）若1a =，求函数)(x f 的极值；
（III ）求证：函数)(x f 的图象不落在直线x a y )1(-=的下方.
19. 已知函数2
()ln 20)f x a x a x
=
+-> (. （Ⅰ）若曲线)(x f 在点(1,(1))P f 处的切线与直线2+-=x y 平行，
求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；
（Ⅲ）记()()()g x f x x b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 在区间1
[, ]e e -上有两个零
点，
求实数b 的取值范围.
20. 已知函数)0(1)(2
>+=a ax x f ，bx x x g +=3
)(.
（I ）若曲线)(x f y =与曲线)(x g y =在它们的交点),1(c 处具有公共切线，求b a ,的值； （II ）当b a 42=时，求函数)()(x g x f +的单调区间，并求其在区间]1,(--∞上的最大值.
八一中学2013届高三（上）数学周练（三）答案
10. 6 11.
3 12．x=2
13. ]0,(-∞∈a 14．②,③ 15．② 16. 16, 7 (各3分).
17解：（I ）设等比数列}{n a 的公比为q .由134a a =可得224a =，因为0n a >，所以22a =（3分）
依题意有)1(2342+=+a a a ，得3432a a a q ==，因为30a >，所以，2=q （6分）
所以数列}{n a 通项为1
2-=n n a （8分）
（II ）n n n a a b 21log +=+n
n 2)1(+-=（10分）
可得)2)1(()22()21()20(32n
n n S +-+++++++=Λ，
)2222())1(210(32n n +++++-++++=ΛΛ（12分）
1222
4++--=n n n （15分）
18解：（I ）a e x f x
+-=-)('（2分），0)1('=+-=-a e f ，e a =（4分），经检验 e
a =符合条件（5分） (II) 令01)('=+-=-x
e
x f ，0=x （7分），列表，表格中第一行必须有0，表格列全（9
分）. 当0=x 时，)(x f 极小值为1. （10分）
(III)令x a x f x g )1()()(--==x e x +-（12分），令01)('=+-=-x
e
x g ，得0=x ，写
出第二问的单调性（13分），知1)0()(=≥g x g （14分）,即x a x f )1()(-≥. 19解：直线2y x =+的斜率为1.函数()f x 的定义域为(0,)+∞，（1分） 因为22()a f x x x '=-
+，
所以22(1)111
a
f '=-+=-，所以1a =.（2分）检验切线与已知直线确实平行而不是重合.（3分） 所以2()ln 2f x x x =
+-. 22
()x f x x
-'=.由()0f x '>解得2x >；由()0f x '<解得02x <<.
所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞,单调减区间是(0,2). （5分）
(II) 22
22()a ax f x x x x -'=-+=， 由()0f x '>解得2x a >；由()0f x '<解得20x a <<.所以()f x 在区间2
(, )a +∞上单调
递增，在区间2(0, )a 上单调递减.（7分）所以当2
x a
=时，函数()f x 取得最小值，
min 2
()y f a
=.
因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，所以2
()2(1)f a a
>-即可.（8分）
则22
ln 22(1)2a a a a
+->-. 由2ln a a a >解得20a e <<.所以a 的取值范围是2(0, )e .（10分）
(III)依题得2
()ln 2g x x x b x
=++--，则222()x x g x x +-'=.由()0g x '>解得1x >；
由()0g x '<解得01x <<.所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数. （11分）
又因为函数()g x 在区间1
[, ]e e -上有两个零点，所以1()0,()0, (1)0. g e g e g -⎧⎪⎨⎪<⎩
≥≥（13分），
解得211b e e <+-≤
.所以b 的取值范围是2
(1, 1]e e
+-.（15分） 20解：（I ）由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则b x x g +=2
3)('，23k b =+，∴23a b =+，(1)1g b =+，(1)1f a =+
∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：3
3a b =⎧⎨
=⎩
． （II ）Q 24a b =，∴设3221
()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++
则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26
a
x =-；
Q 0a >，∴26
a a -<-，
∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
，上单调递增
①若12
a
--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；
②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
③若16a --
≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
． 综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
．。