经济数学微积分多元复合函数的求导法则

u v 时，有dz z dx z dy .
x y
全微分形式不变性的实质：
无论 z是自变量u、 v的函数或中间变量u、 v
的函数，它的全微分形式是一样的.
dz zdxzdy x y
uzu xvzxvdxuzuyvzvydy uzuxdxuydyvzxvdxvydy z du z dv.
一宏观计量经济模型的设定理论二建立宏观计量经济模型的工作程序三一个小型模型的例子klein战争之间模型四中国宏观计量经济模型的案例分析1宏观经济模型的分类1宏观经济模型与宏观计量经济模型宏观经济模型是在宏观总量水平上把握和反映经济运动的全面特征研究宏观经济主要指标间的相互依存关系描述国民经济和社会再生产过程各环节之间的联系并可以用以进行宏观经济的结构分析政策评价决策研究和发展预测
f1 1xf1 y ;2
f 2 z
f2uf2v u z v z
f2 1xf2 y ;2
于是
2w xz

f11xfy12 yf2 y(f z 2 1xf2 y )2
f 1 1 y ( x z ) f 1 2 x 2 z f 2 y 2 y f 2 .
复合函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点
( x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z x

z u
u x

z v
v x

z w
w x
,
z
z

z
u

z
v

z
w
.
y u y v y w y
ux v wy
把复合函数zf[(x,y),x,y]中 的 u 及 y 看 作 不
中 的y看 作 不 变 而 对 x的 偏 导 数 变 而 对 x 的 偏 导 数
全微分形式不变性
设函数z f (u,v)具有连续偏导数，则有全微分
dz z du z dv;当u ( x, y)、v ( x, y)
3.复合函数的中间变量既有一元函数又有 多元函数的情形
定理 3 如果 u ( x, y)在点( x, y) 具有对x 和y
的偏导数，函数 v (y) 在点y 可导，且函数
z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则 复 合 函 数 z f [ ( x , y ), ( y )] 在 点( x , y ) 的 两 个 偏

2
y)

(3x
2x2 2y)
y2
；
3.
3(1 4t 2 ) .
1 (3t 4t 3 )2
二、 z [2x y
2x2 y
xy
]e x2 y2 ,
x
(x2 y2)y2
z [2 y x
2y2x
xy
]e ( x2 y2 )
y
(x2 y2)
三、 dz dx
2.
设z
x 2 ln(3 x 2 y),则 z
y2
x
_______________；
z ________________. y
3.设 z dz e sin t2t3 ,则 ________________. dt
二 、 设 z u u v , 而 e u x 2 y 2 ,v x ， 求 y z , z. x y
例2设zeusivn， 而 uxy， vxy， 求z和 z. x y
解 z z u z v x u x v x
eusivn yeuco v1 seu(ysivn co v)s,
z y

z u

u y

z v


六、设 z f ( x, x),(其中f具有二阶连续偏导数),求 y
2 x
z
2
,
2z xy
,
2 y
z
2
.
七、设z
y ,其中为可导函数,
f(x2 y2)
验证:1 z 1z z . xx yy y2
八、设z [x(x y),y],其中,具有二阶导数,求
dz(eyze x2y)dx(exze x2y)dy
z x

ye xy ez 2,
z y

xe xy ez 2.
二、小结
求导法则（分三种情况）
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
全微分形式不变性
（理解其实质）
思考题
设z f (u,v, x)，而u ( x)，v ( x)，
• 合理预期假设与适应预期假设消费函数模型已 经是相同的统计形式。
• 结论：该一般形式与各种理论假设都相容，具 有包容性。
三、中国居民消费行为实证分析
⒈ 中国的总消费构成
• 总消费=居民消费+政府消费=农业居民消费+ 非农业居民消费+政府消费
• 总消费构成数据（看统计年鉴）
• 各个消费群体具有不同的消费行为
即 z f[(x ,y )x ,y ],令 vx, wy,
v 1, w 0,
x
x
zf uf, x u x x
两者的区别
v 0, w 1.
y
y
区
zf uf . y u y y
别 类 似
把 z f (u, x, y)
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z z uzdv x u x y uy vdy
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u ,
x u x z z u z d v . y u y v d y
特殊地 zf(u ,x,y) 其中 u(x,y)
⒉ 各种消费函数模型向一般形式的推导
• “示范性” 相对收入假设消费函数模型已 具有相同的统计形式。
• “不可逆性”相对收入假设消费函数模型 推导过程中仅忽略收入的两期滞后量的影 响。
• 生命周期假设消费函数模型推导过程中仅 去掉明显共线性项，引入常数项。
• 持久收入假设消费函数模型推导过程中仅将瞬 时消费归入随机项，引入常数项。
则 dz f du f dv f ， dx u dx v dx x
试问 dz 与f 是否相同？为什么？ dx x
思考题解答
不 相 同 .
等 式 左 端 的 z是 作 为 一 个 自 变 量 x 的 函 数 ，
而 等 式 右 端 最 后 一 项 f 是 作 为 u , v , x 的 三 元 函 数 ，
上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 d z zd u zd v zd w d t ud t vd t wd t
u
zv
t
w
以上公式中的导数 d z 称为全导数.
dt
例 1 设 z uv sin t ，而u et ，v cos t ， 求全导数 dz . dt
dz
三、设 z arctan(xy),而 y e x ,求 .
dx
四、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具有一阶连续偏导
数),求 z , z . x y
五、设u f ( x xy xyz),(其中f具有一阶连续偏导
数),求u , u , u . x y z
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
定理 2 推广，设u ( x, y)、v ( x, y)、
w w( x, y)都在点( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，
同理有 f2, f11,
f122fu(uv,v), f22.
w x

f uf v u x v x
f1yfz2 ;
2w xz
( z
f1
yzf2)
fz1yf2yzfz2;
f 1 z
f1uf1v u z v z
2z 2z x2 ,y2 .
练习题答案
一、1. cos y(cos x x sin x) , x cos x( y sin y cos y) ；
y cos2 x
y 2 cos2 x
2. 2x ln(3x 2 y) 3x 2 ,
y2
(3x 2 y) y2

2x2 y3
ln(3 x

e x (1 x) . 1 x2e2x
四、 z x

2 xf 1

ye xy
f
2,
z y

2 yf1

xe xy
f 2.
五、 u f (1 y yz), u f ( x xz), u xyf .
x
y
z
六、 2 z x 2

f11
写 出 来 为
d dx zx u f (u,v,x)d du xx fv(u,v,x)d dx vx fx(u,v,x).
练习题
一、填空题:
1.设 z x cos y ,则 z ________________； y cos x x
z ________________. y
22.
二、消费函数模型的一般形式
⒈ 消费函数模型的一般形式
• 形式
C t f(Y t,C t 1 )t
C t0 1 Y t 2 C t 1 t
• 经济意义解释合理。 • 各种消费函数模型，除绝对收入假设消费 函数外，都可以近似表达为这种形式。
• 估计中的问题有哪些？ 共线性问题？ 随机解释变量问题？
解 dzzduzdvz dt udt vdt t vte u sit n co t s e tcto e tsti n ctos
et(cto ssit)n co t. s
2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理 2 如果u (x, y)及v (x, y)都在点
( x , y ) 具 有 对 x 和 y 的 偏 导 数 ，且 函 数 z f ( u , v ) ， 在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在 对 应 点( x , y ) 的 两 个
偏导数存在，且可用下列公式计算
xzu zu xvzxv yzuzuyvzvy
• 拟按照各自的消费行为建立各自的消费函数模 型
⒉ 农业居民的消费行为分析
• （讨论）
• 关于两种假设的检验：绝对收入假设和生命周期 假设。
• 两种假设导致不同的政策选择。
• 模型检验表明绝对收入假设可以用来描述我国农 业居民的消费行为。说明目前我国农民的消费仍 然由收入决定，所以欲启动农村消费市场以拉动 经济增长，必须研究如何提高农民的收入。
u v
例 4已 知 e x y 2 z e z 0 ， 求 z和 z. x y
解 d ( e x y 2 z e z ) 0 ,
e x y d ( x y ) 2 d z e z d z 0 ,
( e z 2 ) d z e x y (x d y y d x )
v y
e u sv ix n e u cv o 1 s eu(xsivn co v)s.
例3 设 wf(xyz,xy)， zf具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 求 w和 2w. x xz
解 令 u x y z , vxy;z
记
f1
f(u,v), u
经济数学微积分多元复合函 数的求导法则
一、多元复合函数的求导法则
在一元函数微分学中，复合函数的求导法则 起着重要的作用.
现在我们把它推广到多元复合函数的情形.
下面按照多元复合函数不同的复合情形， 分三种情况进行讨论.
d z z zd u zd v lim .
d t t 0 t ud t vd t来自2 yf12
1 y2
f 22 ,
2z xy

x y2
(
f12
1 y
f22 )
1 y2
f 2,
2z y2

2x y3
f2
x2 y4
f22.
2z
八、
x2
11(1)2
1,
2z y2
11()2
12
1
21