鄂尔多斯市第一中学2018-2019学年高二数学下学期第一次月考试题 文

内蒙古鄂尔多斯市第一中学2018-2019学年高二数学下学期第一次月考试题 文
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分,共60分）
1.复数i 1+2i (i 是虚数单位)的虚部是（ )
A. i
B.
C.- D 。

2.设α为平面，a,b 为两条不同的直线,则下列叙述正确的是（ ）
A.若a ∥α，b ∥α，则a ∥b
B.若a ⊥α，a ∥b ，则b
⊥α
C 。

若a ⊥α,a⊥b ，则b ∥α
D 。

若a ∥α，a ⊥b,则b ⊥α 3。

执行如图所示的程序框图,输出s 的值为（ ） A 。

2 B.- C 。

3 D. 4.曲线C
经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==y
y x x 321
'
'后，对应曲线的方程为12
2=+’’y x ，则曲线C 的方程为( )
A 。

194
22
=+y x
B.19
42
2
=+y x
C 。

19
42
2=+y x D.19422=+y x
5.已知函数x x x x f +-=23
3)(的极大值点为m,极小值点为n ，则m+n=
（ ）
A 。

0 B.2 C.—4 D .—2
6.设n
S 是等差数列｛n
a }的前n 项和，已知32
=a
,116=a ，则=7S （ )
A.13 B 。

35 C.49 D 。

63
7.将函数f(x ）=sin 2x 的图象向右平移个单位后，得到函数y=g （x ）的图象，下列关于y=g （x ）的说法正确的是（ )
A 。

其图象关于点(-π6
,0)对称 B.其图象关于直线x=-对称 C 。

在[-5π12,-π6]上单调递增 D 。

在[-π12,5π12
]上单调递增
8。

若z 是z 的共轭复数，且满足z (1—i ）2=4+2i ，则z=( ） A.—1+2i
B.-1—2i C 。

1+2i D.1—2i
9。

如图,F 1，F 2是椭圆C 1:x 2
4+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点.若四
边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ) A 。

2
B 。

3
C 。

23
D.2
6
10.棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的
三视图如图所示,
则该截面的面积为（ ） A 。

2
9
B 。

2
29
C 。

3√2 D.3
11。

已知△ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上,且cos A=2√23
，BC=1,AC=3,三棱锥O-ABC 的体积为√14
6
,则球O 的表面积为( ）
A 。

36π B.16π
C 。

12π
D 。

16π3
12.定义域为R 的可导函数y=f (x )的导函数f’（x ），满足f (x )〈f'(x ),且f (0)=2,则不等式f （x )〉2e x 的解集为（ ) A 。

（—∞，0)
B.（—∞，2)
C.（0，+∞) D 。

（2,+∞）
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分,共20分） 13.√6+√7与2√2+√5的大小关系为 .
14。

点M 的直角坐标是(√3，-1)，在ρ≥0，0≤θ<2π的条件下,它的极坐标是 。

15。

36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+(2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=(1+2+22）（1+3+32)=91,参照上述方法，可求得100的所有正约数之和为 .
16.已知点A (0,3），若圆C ：（x-a ） 2+(y —2a+4)2=1上存在点M ，使｜
MA ｜=2|MO|,则圆心C 的横坐标a 的取值范围为 .
三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
17。

(本小题满分 10分）已知曲线1
C 的极坐标方程为θρcos 6=,曲线2
C 的
极坐标方程为)(4
R ∈=ρπ
θ,曲线1
C ，2
C 相交于A ，B 两点． (1）把曲线1
C ，2
C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2）求弦AB
的长度．
18.（本小题满分 12分）为了解某市市民对政府出台楼市限购令的
态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入（单位:百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：
月收入 [15，25） [25，35) [35,45） [45,55) [55,65）
［65,75
） 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人
数
4
8
8
5
2
1
将月收入不低于55百元的人群称为“高收入族”,月收入低于55百元的人群称为“非高收入族”。

附： P （
）
0.100
0.050 0.010
0.001
k
2。

706 3.8
41 6。

635 10。

828
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？
非高收入族
高收
入族
总计 赞成
不赞
成
总计
(2）现从月收入在［55，65)的人群中随机抽取两人,求所抽取的两人中至少有一人赞成楼市限购令的概率。

19．(本小题满分 12分）如图，在四棱锥
P ABCD -中，底面ABCD 是正方形．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
交于点F ．
(Ⅰ）求证：//AB EF ；
（Ⅱ）若PA AD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，试证明AF ⊥平面PCD
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,判断线段PB 上是否存在点M ，使得EM ⊥平面PCD ?（无需说明理由)
20.(本小题满分 12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位:千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z (单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i
x 和年销售量()
1,2,
,8i
y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
x - y -
w -
8
2
1
()
i
i x x =-∑
8
2
1
()
i
i w w =-∑
81
()()i
i
i x x y y =--∑ 8
1
()()i
i
i w w y y =--∑
46.6 563
6.8
289。

8 1。

6 1469 108.8
表中i
w i x ， w -
=1
8
8
1
i
i w
=∑
附:对于一组数据1
1
(,)u v ,2
2
(,)u v ，……，(,)n
n
u v ，其回归线v u αβ∧
∧
=+的斜
率和截距的最小二乘估计分别为：
1
2
1
()()
=
()n
i
i i n
i
i u
u v v u
u β∧
==---∑∑，
(I ）根据散点图判断，
y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）; (II)根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； (III ）已知这种产品的年利润z 与,x y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答:当年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 21。

（本小题满分 12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点,左焦点为
1(1,0)F -，点B ⎛ ⎝
⎭在椭圆C 上，
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ）设过点2
(1,0)F 的斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 交于不同的两点
M
，N ，点P 在y 轴上，且PM
PN
=，求点P 纵坐标的取值范围．
22。

（本小题满分 12分）已知函数f (x )=ln x — ax+a —2，a ∈R 。

(1）求函数f (x )的单调区间;
(2）设g （x ）=xf (x )+2,求证：当a<ln 时,g （x ）〉2a.
高二文科数学第一次月考数学试题
答案
13、√6+√7
>2√2+√5 14、11(2,)6π 15、217 16、12[0,]5
17.
（1）226,x y x y x +== (2）18.
非高收入族 高收入
族 总计 赞成 25 3 28 不赞成 15 7 22 总计
40
10
50
χ2
=
50×(25×7-15×3)2
40×10×22×28
≈3。

43>2。

706，所以有90%的把握认为赞不赞成楼市
限购令与收入高低有关。

（2）
设月收入在［55，65)的5人的编号为a ，b,c ，d,e,其中a ，b 为赞
成楼市限购令的人,从5人中抽取两人的方法数有ab,ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de 共10种，其中ab ，ac ，ad,ae,bc ，bd ，be 为所抽
取的两人中至少有一人赞成的方法数,因此所求概率为7
10。

19。

（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以AB ∥CD ． 又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AB ∥平面PCD ． 又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =,所以
//AB EF ．
（Ⅱ)在正方形ABCD 中，CD AD ⊥．
又因为平面PAD ⊥平面ABCD ,
且平面PAD 平面ABCD AD =， 所以CD ⊥平面PAD ．
又AF ⊂平面PAD 所以CD AF ⊥．
由（Ⅰ)可知//AB EF ，又因为AB ∥CD ，所以CD ∥EF . 由点E 是棱PC 中点,所以点F 是棱PD 中点．在△PAD 中, 因为PA AD =，所以AF PD ⊥． 又因为PD
CD D =，所以AF ⊥平面
PCD
．
(Ⅲ）不存在．
合作20。

（Ⅰ)
由散点图可以判断，y c =+适为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程
类型.
(Ⅱ)
令w =
，先建立y
关于w 的线性回归
方程，
由于8
1
8
2
1
()()
()
i
i
i i
i w w y y d w w ==--=
-∑∑=108.8=6816
，
∴c y dw =-=563—68×6.8=100.6。

∴y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+, ∴y 关于x
的回归方程为100.6y =+
(Ⅲ）由（Ⅱ)知，当x =49时，年销售量y 的预报值
100.66849y =+=576。

6， 576.60.24966.32z =⨯-=.
21.
(II ）依题设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2
2
12
x y
+=并整理
得，
2222(21)4220k x k x k +-+-=
.
2880k ∆=+>。

………6分
设1
1
(,)M x y ，2
2
(,)N x y ，
则2
122421k x x k +=+,
21222221
k x x k -=+ 。

………7分 设MN 的中点为Q ，则2
2221Q k x k =+，2(1)21Q Q k y k x k =-=-+,即
2222(,)2121
k k
Q k k -++。

………8分 因为0k ≠，
所以直线MN 的垂直平分线的方程为2
2212()2121
k
k y x k k k +=--++，
(9)
分
令0x =解得，
21121
2P k y k k k
=
=
++
, .………10分
当0k >时，因为1222k k
+≥，所以204
P
y
<≤；
当0k <时，因为1222k k +≤-，所以2
04
P y -
≤<。

综上得点P 纵坐标的取值范围是
22[,0)(0,]44
-。

。

………12分
22。

（1）解 f'(x )=1x −a 2=2-ax 2x
(x>0）。

若a ≤0时，f'(x )>0，则函数f （x )的单调递增区间为（0,+∞）;
若a>0,当0<x<2
a 时,f’(x )>0,函数f (x ）单调递增； 当x 〉2a 时，f’(x ）〈0,函数f （x ）单调递减；
综上，若a ≤0时,函数f （x )的单调递增区间为（0,+∞)，
若a 〉0时,函数f (x )的单调递增区间为(0,2a ),单调递减区间为(2a ,+∞)。

(2)证明 g （x ）=xf （x ）+2=x ln x-ax 2+（a-2）x+2（x>0），
则g'（x ） =—ax+ln x+a-1(x 〉0）.
因为ln 2e 〈0，所以当a 〈ln 2e
时,g'(x ）=-ax+ln x+a —1在(0,+∞)内单调递增。

又g'（1）=-1<0，g’（2）=-a+ln 2—1〉—ln 2e
+ln 2-1=0,
且g'(x ）的图象是连续的，故g'（x ）在（1，2）内存在唯一的零点x 0，即g'（x 0）=0.
则当0<x 〈x 0时,g'(x ）〈0，g （x ）单调递减；
学必求其心得，业必贵于专精
11 当x ≥x 0时,g'(x )>0,g （x )单调递增；
故而g (x )≥g (x 0)=x 0ln x 0-12
a x 02+(a —2)x 0+2。

又g'（x 0）=—ax 0+ln x 0+a —1=0,且1〈x 0<2, ∴g （x )≥g （x 0)=12
a x 02—x 0+2〉2a 。