2022年中考数学压轴难题押题附答案解析

2022年中考数学压轴题
1．问题探究
（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为
BE+DF＝EF；
（2）如图②，在△ADC中，AD＝2，CD＝4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；
问题解决
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4√2，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图①，延长CD至G，使得DG＝BE，
∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠AFG＝90°，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠GAF＝∠EAF，
又∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，
故答案为：BE+DF＝EF；
（2）存在．
在等边三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
如图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE．
由旋转可得，CE＝AD＝2，BD＝BE，∠DBE＝60°，
∴△DBE是等边三角形，
∴DE＝BD，
∴在△DCE中，DE＜DC+CE＝4+2＝6，
∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，
∴BD的最大值为6；
（3）存在．
如图③，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，
∴△ABC≌△DBE，
∴DE＝AC，
∵在等边三角形BCE中，EF⊥BC，
∴BF=1
2BC＝2√2，
∴EF=√3BF=√3×2√2=2√6，
以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，
∴DF=1
2BC=
1
2
×4√2=2√2，
∴AC＝DE≤DF+EF＝2√2+2√6，即AC的最大值为2√2+2√6．
2．【问题提出】：
将一个边长为n（n≥2）的正三角形的三条边n等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少呢？
【问题探究】：
要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．
探究一：将一个边长为2的正三角形的三条边平分，连接各边中点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？
如图1，连接边长为2的正三角形三条边的中点，从上往下：共有1+2+3＝6个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，共有1+2＝3个，线段数为3×3＝9条；边长为2的正三角形有1个，线段数为3条，总共有3×（1+2+1）＝2×（1+2+3）＝12条线段．
探究二：将一个边长为3的正三角形的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？
如图2，连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下：共有1+2+3+4＝10个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，共有1+2+3＝6个，线段数为3×6＝18条；边长为2的正三角形有1+2＝3个，线段数为3×3＝9条，边长为3的正三角形有1个，线段数为3条，总共有3×（1+2+3+1+2+1）＝3×（1+2+3+4）＝30条线段．
探究三：
请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正三角形的三条边四等分（图3），连接各边对应的等分点，该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？（画出示意图，并写出探究过程）
【问题解决】：
请你仿照上面的方法，探究将一个边长为n（n≥2）的正三角形的三条边n等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？（写出探究过程）
【实际应用】：
将一个边长为30的正三角形的三条边三十等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？
解：探究三：如图3中，
连接边长为4的正三角形三条边的对应四等分点，从上往下：共有1+2+3+4+5＝15个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，第四层有4个，共有1+2+3+4＝10个结点个数，线段数为3×10＝30条；边长为2的正三角形有1+2+3＝6个，线段数为3×6＝18条，边长为3的正三角形有3个，线段数为3×3＝9，边长为4的正三角形有1个，线段数为3条，总共有3×（1+2+3+4+1+2+3+3+1）＝4×（1+2+3+4+5）＝60条线段．
问题解决：探究将一个边长为n（n≥2）的正三角形的三条边n等分，连接各边对应的等分点，从上往下：共有1+2+3+4+5＝15个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，第四层有4个，•第n层有n个，共有1+2+3+4+…+n个
结点个数，线段数为3×（1+2+3＝4+…+n）条；边长为2的正三角形有1+2+3＝6个，线段数为3×6＝18条，边长为3的正三角形有3个，线段数为3×3＝9，边长为4的正三角形有1个，线段数为3条，…边长为n的三角形1个，线段数为3，线段的个数为n （1+2+3+…+n+1）．
实际应用：将一个边长为30的正三角形的三条边三十等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数为1+2+…+30+31＝496个结点个数，线段数＝30（1+2+3+…+31）＝14880．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sin B=3
5，求ED的长．
【解答】（1）证明：连接OM，如图1，
∵OC＝OM，
∴∠OCM＝∠OMC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=1
2AB＝BD，
∴∠DCB＝∠DBC，∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，
∵MN⊥BD，
∴OM⊥MN，
∵OM过O，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连接DM，CE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，即DM⊥BC，CE⊥AB，
由（1）知：BD＝CD＝5，
∴M为BC的中点，
∵sin B=3 5，
∴cos B=4 5，
在Rt△BMD中，BM＝BD•cos B＝4，∴BC＝2BM＝8，
在Rt△CEB中，BE＝BC•cos B=32 5，
∴ED＝BE﹣BD=32
5
−5=75．
4．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．
（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；
（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；
（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，
∵P A，PB为⊙O的切线，
∴∠P AO＝∠PBO＝90°，
∵∠APB+∠P AO+∠PBO+∠AOB＝360°，
∴∠APB+∠AOB＝180°，
∵∠APB＝80°，
∴∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝50°；
（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，
由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，
∵∠APB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝60°＝∠APB，
∵点C 运动到PC 距离最大， ∴PC 经过圆心，
∵P A ，PB 为⊙O 的切线，
∴P A ＝PB ，∠APC ＝∠BPC ＝30°， 又∵PC ＝PC ，
∴△APC ≌△BPC （SAS ），
∴∠ACP ＝∠BCP ＝30°，AC ＝BC ， ∴∠APC ＝∠ACP ＝30°， ∴AP ＝AC ，
∴AP ＝AC ＝PB ＝BC ，
∴四边形APBC 是菱形；
（3）∵⊙O 的半径为r ，
∴OA ＝r ，OP ＝2r ，
∴AP =√3r ，PD ＝r ，
∵∠AOP ＝90°﹣∠APO ＝60°， ∴AD ̂的长度=60°π⋅r 180°=π3
r ， ∴阴影部分的周长＝P A +PD +AD
̂=√3r +r +π3r ＝（√3+1+π3）r ．。