三角形中位线重心的性质及应用
三角形重心性质及应用
三角形重心性质及应用三角形的重心是三条中线的交点，也是三个顶点与对应中线交点的连线所形成的三角形中的重心。
三角形重心有很多特点和应用。
首先，三角形的重心坐标性质。
假设三角形的三个顶点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，那么重心的坐标可以表示为G(x, y)，其中x=(x1+x2+x3)/3，y=(y1+y2+y3)/3。
这个性质可以很容易地通过几何推导得到，也可以通过向量运算证明。
这个性质可以用来计算三角形的重心坐标。
其次，三角形的重心与重心连线。
三角形的重心与三个顶点分别连线，可以得到三条中线。
中线是三角形的一个特殊的线段，它连接了一个顶点与对应的底边的中点。
三角形的重心恰好是三条中线的交点，因此可以通过重心连线来确定重心的位置。
再次，三角形的重心与面积。
三角形的重心将三角形划分为六个小三角形，其中每个小三角形的面积都相等。
这个性质可以用于求三角形的重心坐标。
设三角形的重心坐标为G(x, y)，且已知三个顶点的坐标为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，则可以通过面积的性质得到x=(Ax1+Ax2+Ax3)/3、y=(Ay1+Ay2+Ay3)/3。
此外，三角形重心的应用还有很多。
其中之一是三角形质心定理。
根据三角形的重心定义，可以推导出质心与顶点的距离满足d(G, A):d(G, B):d(G, C)=2:2:1。
这个性质可以用于解决一些几何问题，例如求质心到某一点的距离比例等。
此外，三角形重心还可以用于求解三角形的面积。
根据面积的定义，可以得到三角形的面积等于底乘以高的一半。
对于任意一个三角形ABC，以重心G为底可以得到一个位于底边上的高。
因此，可以通过底边的长度与高的长度来计算三角形的面积。
最后，三角形的重心还可以用于设计平衡结构。
在工程中，有时候需要设计一个三角形结构，使得结构保持平衡。
此时，可以选择使得结构的重心和支点重合，从而达到平衡的效果。
三角形中位线的推论
三角形中位线的推论三角形有三条中位线，分别连接每个顶点与对面的中点。
在以下内容中，我们将讨论中位线的一些推论以及它们在几何学中的应用。
1. 三角形中位线相等最基本的推论是，三角形中的三条中位线相等。
我们可以通过使用向量的方法来证明这一点。
通过连接一对顶点并标记对角线上的中点，我们可以将三角形分成两个相等的三角形。
根据向量加法的定义，我们知道中位线的两端点的向量和等于顶点向量的和的一半。
因为我们拥有两个相等的三角形，它们的顶点向量之和相等，并且它们的中位线向量之和也相等。
因此，三角形中的三条中位线相等。
2. 中位线的交点是重心三条中位线的交点形成一个点，叫做三角形的重心。
重心是三条中位线的交点，并且它到三角形的每个顶点的距离相等。
重心也被定义为三角形质心的一种形式。
重心在几何学中扮演着重要的角色，因为它是很多求解问题的关键点。
3. 重心黄金分割我们可以进一步推导出一个有趣的结论，即：重心将每个中位线分成两个部分，其中一个部分的长度是另一个部分长度的2倍。
这种比例被称为“重心黄金分割”，并且在某些证明和设计问题中非常有用。
4. 中位线长度的应用中位线的另一个应用是在解决三角形面积问题时。
根据中位线长度的定义，我们可以将三角形分成4个形似的三角形。
其中的3个三角形是等边三角形，并且它们的边长是中位线的长度。
因此，我们可以使用等边三角形的公式（底边乘以高的1/2）来计算它们的面积。
通过将3个面积相加，我们得到三角形的面积。
5. 完美一致性最后，我们需要注意的是，在三角形中位线的推论中，它们之间存在完美的一致性。
这意味着，如果我们知道了中位线的长度，我们就可以推导出其他与之相关的所有值，如重心位置、面积等。
同时，如果我们知道了三角形某些属性，比如重心或者面积，我们也可以计算出相应的中位线长度。
这种完美一致性使得中位线在解决三角形问题时非常方便。
综上所述，中位线在解决三角形几何问题时非常有用。
它们的长度相等，交于重心，将三角形分成形似的三角形并且满足完美一致性。
三角形的中位线
三角形的中位线1. 引言在几何学中，三角形是最基本的形状之一。
它由三条边和三个顶点组成。
在研究三角形的性质时，有一条特殊的线段叫做中位线，它连接三角形的一个顶点和对边中点。
本文将介绍三角形的中位线的定义、性质和应用。
2. 定义三角形的中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
对于三角形ABC，以顶点A为例，其中位线是连接顶点A和对边BC中点的线段AD。
3. 性质三角形的中位线有以下几个重要的性质：3.1. 中点中位线的一个重要特点是它的中点。
对于三角形ABC来说，中位线AD的中点是线段BC的中点。
这意味着中位线将三角形分为两个面积相等的小三角形。
3.2. 长度在一个三角形中，三个中位线的长度是相等的。
对于三角形ABC来说，中位线AD的长度等于中位线BE和CF的长度。
3.3. 平行性三角形的三条中位线互相平行。
也就是说，对于三角形ABC来说，中位线AD 和中位线BE是平行的，中位线BE和中位线CF是平行的，中位线CF和中位线AD是平行的。
3.4. 相交点三角形的三条中位线相交于一个点，这个点被称为三角形的重心。
重心是三角形内部的一个点，它从三个顶点到对边的距离之和最小。
3.5. 面积三角形的三条中位线将三角形分成六个小三角形。
这六个小三角形的面积之和等于三角形的面积。
4. 应用三角形的中位线在几何学和实际应用中有一些重要的应用：4.1. 三角形面积通过利用三角形的中位线，可以更方便地计算三角形的面积。
由于三条中位线将三角形分成六个小三角形，我们可以根据这些小三角形的面积相加来得到整个三角形的面积。
4.2. 构造平行线利用三角形的中位线平行性，我们可以构造出一对平行线。
例如，如果我们在三角形ABC的中位线AD上取一个点E，并将DE延长到与BC相交于点F，那么线段EF就与AB平行。
4.3. 定位三角形重心通过绘制三角形的中位线，我们可以定位三角形的重心。
重心是三角形内部的一个点，通过中位线的相交点可以轻松确定。
三角形的中位线与高线
三角形的中位线与高线三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条线段组成，每条线段都连接两个顶点。
而中位线与高线是三角形中的两个重要元素，它们在三角形的性质和特点中起着重要的作用。
一、中位线中位线是连接三角形的两个边中点的线段。
具体来说，对于任意三角形ABC，中位线是连接AB、BC和AC的中点的线段。
我们可以用M、N和P来表示这三条中位线，它们分别连接AB和C的中点、AC和B的中点，以及BC和A的中点。
中位线具有以下性质：1. 三角形的三条中位线交于一点。
这个点被称为三角形的质心，通常用字母G来表示。
质心位于三角形的内部，离每条中位线的交点都有相等的距离。
2. 质心将每条中位线分成两等分。
也就是说，GM = MG，GN = NP，和PM = MN。
3. 质心到每个顶点的距离是顶点到相应中点的距离的2倍。
比如，如果以d来表示质心到顶点A的距离，那么d = 2AM。
二、高线高线是从三角形的顶点向对边所在直线的垂直线段。
如果我们考虑三角形ABC，其中AD、BE和CF分别是从A、B和C向对边BC、CA和AB的垂直线段，那么AD、BE和CF就是三角形ABC的三条高线。
高线具有以下性质：1. 三角形的三条高线交于一点。
这个点被称为三角形的垂心，通常用字母H来表示。
垂心可以在三角形内部、三角形外部或者三角形的边上。
2. 垂心到顶点的距离和垂心到对边的距离之积相等。
比如，以AH为例，垂心到顶点A的距离为HA，到对边BC的距离为HD，那么HA * HD = HB * HC。
3. 高线和对边的垂足之间的距离相等。
也就是说，比如以AD为例，AD = HD。
三、中位线和高线之间的关系中位线与高线有一些有趣的关系：1. 三角形的质心、垂心和重心一般不重合。
重心是用字母K来表示的，它是三角形三条中位线的交点。
质心到垂心的距离是质心到重心的距离的2倍。
2. 任意两条中位线的交点到垂心的距离都相等。
比如，如果MN和PQ是两条中位线，它们的交点R到垂心的距离HR与点S到垂心的距离HS相等。
三角形的中位线
三角形的中位线介绍三角形是一个基础的几何形状，它由三条线段相连而成。
三角形的中位线是通过三角形的顶点和中点构成的线段，它连接了三角形的一个顶点和与其对边上的中点。
本文将介绍三角形的中位线的性质、公式以及应用。
中位线的性质1.定长性质：三角形的三条中位线相等，且长度等于三角形两边中点的连线。
定长性质示意图定长性质示意图2.中点性质：三角形的三条中位线的交点即为三角形的重心，也就是三角形的三条中线的交点。
中点性质示意图中点性质示意图3.分割性质：每条中位线将三角形分割成两个面积相等的三角形。
分割性质示意图分割性质示意图中位线的公式设三角形的三个顶点为A（x1, y1）、B（x2, y2）和C（x3, y3），则三角形的三条中位线的方程为：1.第一条中位线（连接顶点A和边BC的中点）：x = (x2 + x3) / 2y = (y2 + y3) / 22.第二条中位线（连接顶点B和边AC的中点）：x = (x1 + x3) / 2y = (y1 + y3) / 23.第三条中位线（连接顶点C和边AB的中点）：x = (x1 + x2) / 2y = (y1 + y2) / 2中位线的应用中位线是三角形的重要性质之一，它在数学和几何学中有着广泛的应用。
以下列举了一些中位线的应用场景：1.寻找三角形的重心：根据中点性质，三角形的三条中位线的交点即为三角形的重心。
重心是三角形的一个重要中心，它与三角形的其他几个中心（外心、内心和垂心）一起构成了三角形的几何特性。
2.计算三角形的面积：利用分割性质，可以将三角形分割成两个面积相等的三角形。
通过计算每个三角形的面积，可以得到整个三角形的面积。
3.构造平行线和垂直线：中位线的定长性质可以用来构造平行线和垂直线。
通过在中位线上选择一点，然后连接这个点和三角形的顶点，就可以得到一条平行于对边的线段或一条垂直于对边的线段。
4.解决几何问题：中位线是三角形的重要几何特性之一，因此可以应用于各类几何问题的解决方法中。
三角形的中位线角平分线和垂线
三角形的中位线角平分线和垂线三角形的中位线、角平分线和垂线三角形是初中数学中一个重要的图形，它由三条边和三个顶点组成。
在三角形中，中位线、角平分线和垂线是三条与三角形内部相关的特殊线段。
本文将介绍中位线、角平分线和垂线在三角形中的性质和应用。
一、中位线中位线是连接一个三角形的两个顶点和对边中点的线段。
对于三角形ABC，三条中位线分别为AD，BE和CF（D、E和F分别为边BC、AC和AB的中点）。
中位线具有以下性质：性质1：三角形中的三条中位线互相平分。
性质2：三角形中的三条中位线交于一个点，该点被称为中心。
性质3：中心到各顶点的距离等于中心到对边中点的距离，而且中心是中位线的重心。
应用：中位线的应用较多，最常见的是利用中位线求三角形重心。
重心是以三角形三条中位线的交点为顶点的新三角形的重心。
我们可以根据中位线的性质计算重心的坐标。
二、角平分线角平分线是从一个角的顶点出发，平分这个角的角度的线段。
对于三角形ABC，角BAC的角平分线为AD（D在BC上）。
角平分线具有以下性质：性质1：角平分线把原来的角分成两个相等的角。
性质2：三角形的三条角平分线交于一点，该点被称为内角平分点。
性质3：内角平分点到三个顶点的距离相等。
应用：角平分线的应用较多，最常见的是利用角平分线求三角形内心。
内心是以三角形的三条角平分线的交点为顶点的新三角形的内心。
我们可以根据角平分线的性质计算内心的坐标。
三、垂线垂线是从一个顶点引出，与对边垂直相交的线段。
对于三角形ABC，从顶点A引出的垂线为AD（D在BC上）。
垂线具有以下性质：性质1：垂线与对边垂直相交，交点为垂足。
性质2：三角形的三条垂线交于一点，该点被称为垂心。
应用：垂线的应用较多，可以用于求解三角形的垂心。
垂心是以三角形的三条垂线的交点为顶点的新三角形的垂心。
我们可以根据垂线的性质计算垂心的坐标。
综上所述，三角形的中位线、角平分线和垂线在几何学中具有重要的地位和应用。
探讨三角形的中位线
探讨三角形的中位线三角形的中位线是连接三角形的任意两个顶点和与第三个顶点的中点所形成的线段。
在本文中，我们将探讨三角形中位线的性质、应用以及相关的数学定理。
一、中位线的性质三角形的中位线有一些独特的性质，我们先来探讨这些性质。
1. 三角形的三条中位线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
2. 三角形的重心将中位线按1:2的比例分成两段，离重心较远的中位线段是离相应顶点较远的中位线段的两倍长度。
3. 三角形的重心到三个顶点的距离之和等于三角形三条中位线的长度之和。
二、中位线的应用中位线不仅仅是一个几何概念，还有一些实际应用和相关的数学定理。
1. 三角形面积计算中位线可以用来计算三角形的面积。
根据一个定理，三角形的面积等于任意两条中位线长度的乘积除以4。
2. 三角形三边长度关系根据中位线的性质，我们可以得出三角形三边长度之间的关系。
设三角形的三边长分别为a、b、c，中位线的长度分别为m1、m2和m3，则有m1 = √(2b²+2c²-a²)/4，m2 = √(2a²+2c²-b²)/4，m3 = √(2a²+2b²-c²)/4。
3. 三角形类比中位线的概念也可以应用于类比几何中，例如四边形的对角线构成的中位线。
类似地，对于任意四边形，可以找出两个对角线中点的连线，得到一个类似中位线的线段。
三、中位线定理除了上述的性质和应用，还有一些中位线定理与三角形的中位线相关。
1. 中位线定理一三角形的重心到三个顶点的距离之和等于三条中线的长度之和的3倍。
2. 中位线定理二三角形重心到三个顶点的距离之和大于等于三条中位线的长度之和，且等号成立的条件是三角形是等腰三角形。
3. 中位线定理三三角形重心到三个顶点的距离之和小于等于三条中位线的长度之和，且等号成立的条件是三角形是等边三角形。
四、总结三角形的中位线是连接两个顶点和与第三个顶点中点的线段。
直角三角形重心知识点总结
直角三角形重心知识点总结一、重心的概念重心是一个几何形状的质心，表征着这个形状的整体重量的几何中心。
在直角三角形中，三条中线的交点就是重心，位于三角形的内部。
重心是一个三角形的重要性质，能够帮助我们研究三角形的性质和相关定理。
二、重心的性质1. 重心将三角形分成三个面积相等的三角形2. 重心到顶点的距离是中线到所在边中点距离的二分之一3. 重心到对边中点的距离是重心到这条边的距离的二分之一4. 重心到任一顶点的距离是重心到非对角顶点中点的距离的二分之一5. 重心同时在三条中线上三、如何求直角三角形的重心通常我们可以通过以下几种方法来求解直角三角形的重心：1. 根据重心的定义来求解2. 利用中线长度关系来求解3. 利用坐标方法来求解下面我们就分别来看一下这几种方法的具体步骤。
四、根据重心的定义来求解在直角三角形中，重心就是三条中线的交点，所以我们可以通过以下步骤来求解：1. 先找到直角三角形的三个顶点A、B、C2. 根据中位线的定义，找到AB、BC、AC的中点D、E、F3. 用直线相交的方法求解出重心G这种方法简单直接，但是需要保证我们能够准确地找到中点和重心的坐标。
五、利用中线长度关系来求解在直角三角形中，三条中线的长度关系是：AG^2 = 2 * BG^2 = 2 * CG^2。
我们可以通过这个关系来求解重心。
具体步骤如下：1. 先找到直角三角形的三个顶点A、B、C2. 根据中位线长度关系，求解出重心G的坐标这种方法相对简单，只需要比较中线长度关系即可求解出重心的坐标。
六、利用坐标方法来求解在直角三角形中，我们可以利用坐标方法来求解重心的坐标。
具体步骤如下：1. 已知直角三角形的三个顶点A、B、C的坐标2. 分别求得AB、BC、AC的中点D、E、F的坐标3. 利用中点和重心的关系，求解出重心G的坐标这种方法是最直接的，只需要根据坐标计算的方法，即可求解出重心的坐标。
七、直角三角形重心的应用1. 利用重心来求解三角形的面积直角三角形的重心可以将三角形分成三个面积相等的三角形，利用这一性质，我们可以通过重心来求解三角形的面积。
三角形的中位线与中心
三角形的中位线与中心三角形是几何学中最基本的图形之一，它有很多重要的性质和特点。
本文将着重讨论三角形的中位线及其与三角形中心的关系。
一、中位线的定义所谓中位线，是指三角形内任意两个顶点之间的连线中点所组成的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A和B的中点M₁，连接顶点B和C的中点M₂，连接顶点C和A的中点M₃所组成的线段M₁M₂M₃即为三角形的中位线。
二、中位线的性质1. 中位线互相平行在任意三角形中，三条中位线互相平行，即M₁M₂ // M₂M₃ //M₃M₁。
2. 中位线长度相等三角形三条中位线的长度相等，即M₁M₂ = M₂M₃ = M₃M₁。
3. 中位线交于一点三条中位线交于同一点G，这个交点G被称为三角形的重心。
重心是三角形的内心，也是重心到三角形三个顶点的距离之和最小的点。
三、三角形中位线与重心的关系重心是三角形的中位线的交点，也是三角形的一个特殊点。
1. 重心到顶点的距离重心到三角形三个顶点的距离之比为2:1。
即AG = 2GM₁，BG =2GM₂，CG = 2GM₃。
2. 重心的位置重心将每条中位线分成两个部分，即AG = GM₁，BG = GM₂，CG = GM₃。
3. 重心的作用重心是三角形内部重要的几何中心之一，具有以下作用：- 重心所在的中位线可以将三角形分成面积相等的两部分。
- 当三角形悬挂在任意一条中位线上时，重心处于该中位线的中点。
- 重心是三角形内切圆的圆心。
四、应用实例1. 设计建筑在建筑设计中，重心的概念被广泛运用。
由于重心的位置对于建筑物的平衡性和稳定性具有重要影响，建筑师需要在设计过程中考虑到重心的位置，以确保建筑物能够安全地承受外部的压力和重力。
2. 交通规划在交通规划中，重心也是一个重要的考虑因素。
交通规划师通过分析城市不同区域的人口、就业机会和基础设施等因素，可以确定城市的重心位置，从而优化交通网络的设计，提高交通效率。
3. 科学研究三角形的中位线和重心不仅仅在几何学中有重要的应用，它们在其他学科中也扮演着重要的角色。
三角形的中位线和中点
三角形的中位线和中点三角形中存在许多特殊的线段和点，其中之一是中位线和中点。
本文将对三角形的中位线和中点进行深入的探讨。
一、中位线的定义和性质中位线是指连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
对于任意一个三角形ABC，AC的中位线连接BC的中点B和BC的对边AC的中点M。
同理，BA的中位线连接AC的中点C和CA的中点N，CB的中位线连接BA的中点A和AB的中点P。
中位线具有以下性质：1. 三角形的三条中位线交于一点，该点称为三角形的重心G。
即BM、CN和AP三条中位线交于一点G。
2. 三角形重心G将每条中位线分成两部分，其中一部分的长度是另一部分的两倍。
即BG = 2GM，CG = 2GN，AG = 2GP。
3. 重心G到三角形各顶点的距离之和等于重心G到各中点的距离之和。
即GA + GB + GC = GM + GN + GP。
二、中点的定义和性质中点是指连接两个点的线段的中点。
在三角形中，每条中位线的中点同时也是其他两条边的中点。
三角形的每条边上都存在一个中点。
以三角形ABC为例，顶点A 和B的中点为D，顶点B和C的中点为E，顶点C和A的中点为F。
中点具有以下性质：1. 三角形的三个顶点和三个中点共同组成六个点，这六个点可以构成两个平行四边形。
即ABCD、BCEF和AFED都是平行四边形。
2. 三角形的三个中点可以构成一个新的三角形，该三角形是原三角形的几何中位三角形。
即DEF是三角形ABC的几何中位三角形。
三、中位线和中点的应用中位线和中点在几何学中有许多应用，我们来了解一些常见的应用场景。
1. 证明三角形重心和中点重合。
可以通过证明中点D、E、F重合，即BD = DE = EC，来证明三角形ABC的重心和几何中位三角形DEF的重合。
2. 进行三角形的分割和构造。
通过连接三角形的顶点和中点，可以将三角形分割成几个具有特定形状和性质的图形。
3. 探索三角形的内部结构。
通过对三角形的中位线和中点进行研究，可以深入了解三角形的形状、性质和关系，进而推导出更多有关三角形的定理和公式。
三角形重心知识点总结
三角形重心知识点总结三角形是初中数学中重点学习的内容之一，其中三角形的重心也是一个非常重要的概念。
在这篇文章中，我们将对三角形重心的相关知识进行总结。
一、什么是三角形重心三角形是由三条边和三个角组成的图形，它是几何学中最基本的概念之一。
而三角形的重心则是三角形内部的一个点，它被三条中线所交叉的点。
三角形的中线分别是连接每个角的对边中点的线段，它们交于三角形的一个点，这个点就是三角形的重心。
重心通常用字母G 表示。
二、三角形重心的特点1. 重心是三条中线交点三角形的重心是三条中线的交点，即三个中点所构成的点。
2. 重心到顶点的距离比相等三角形三个顶点到重心所连的线段长度相等。
也就是说，重心到每个顶点的距离是相等的。
3. 重心所在直线是中位线连接重心和中点的线段就是三角形的中位线。
4. 重心将中线按比例分割以重心为顶点的三角形，与原三角形的各个边成比例。
三、三角形重心的性质1. 重心位于三角形重心所在直线上三角形三条中线的交点即为三角形的重心。
这个交点所在的直线被称为三角形重心所在直线。
2. 重心到三角形各顶点距离之和最小重心到三角形各顶点的距离之和最小，且一定小于任何一个三角形内部的点到三角形各顶点距离之和。
3. 重心分离定理在三角形内，以重心为圆心、以重心到任一顶点长度为半径所画的圆，与三角形外接圆相内切。
4. 重心定理重心所在直线把三角形面积分为 $2:1$。
5. 等腰三角形的重心落在中线交点处在等腰三角形中，重心与垂足重合，也就是重心位于中线交点处。
四、三角形重心相关例题1. 如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接AF交DE于K，连接BE交CD于L，连接AC交DE 于M，求KLM三角形的重心。
解：首先我们需要确定三角形ABC的重心G，它是三条中线的交点。
然后根据重心的性质，我们可以得知重心到三角形各顶点的距离一定相等。
因此，在三角形ABC中，AG=BG=CG。
我们知道，三角形的中线将对边分成两段相等的部分，因此AE=EC，BE=BD，CF=FA。
三角形五心及其性质
引言概述:三角形是几何学中最基本、最重要的图形之一，三角形的性质和特点被广泛研究和应用。
其中，三角形的五心是三角形内外最重要的五个点：重心、外心、垂心、内心和旁心。
五心之间的关系和性质对于解决三角形相关问题和证明定理具有重要的作用。
本文将详细介绍三角形的五心及其性质。
正文内容：一、重心1. 三角形的重心是三边中线的交点，也是中位线和高线的交点。
2. 重心到顶点的距离是中点到顶点距离的2/3，是高线的距离的2/3。
3. 重心将三角形分割为六个三角形，其中三个三角形的面积相等。
二、外心1. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也是三角形的三条角平分线的交点。
2. 外心到顶点的距离等于外心到对边的距离，也等于外心到三角形内切圆的半径。
三、垂心1. 垂心是三边垂直平分线的交点，也是三角形内心和外心连线的中点。
2. 垂心到顶点的距离等于垂心到底边垂足的距离。
四、内心1. 三角形的内心是三边的内切圆的圆心，也是三边角平分线的交点。
2. 内心到三边的距离相等，等于三角形的内切圆的半径。
3. 内心到三角形各顶点的连线所围成的三个小三角形的面积相等。
五、旁心1. 旁心是三边的旁切圆的圆心，也是外角平分线的交点。
2. 旁心到其所在边的距离相等，等于旁切圆的半径。
3. 旁心和顶点之间的连线与三角形所在边垂直。
总结：三角形的五心（重心、外心、垂心、内心和旁心）是三角形内外部最重要的五个点，它们分别有着独特的性质和作用。
通过研究五心之间的关系和性质，可以更深入地理解三角形的结构和性质。
五心的位置和特点对于解决三角形相关问题和证明定理具有重要的作用。
理解和应用五心的性质可以帮助我们更好地理解和应用三角形的定理与性质，从而更好地解决相关问题。
三角形的中位线与高线
三角形的中位线与高线三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角所组成。
在三角形中，有两条特殊的线段，它们是中位线和高线。
本文将探讨这两条线段的特点和性质。
一、中位线中位线是三角形中连接三角形两边中点的线段。
对于任意三角形ABC，连接AB的中点M，连接BC的中点N，连接AC的中点P，则三个中点连线MN、MP和NP交于一点O，且O是中位线的交点。
中位线有以下几个重要的性质：1. 中位线的长度等于边平分线的长度：在任意三角形ABC中，中位线MN的长度等于边AB上的边平分线，中位线MP的长度等于边AC上的边平分线，中位线NP的长度等于边BC上的边平分线。
2. 中位线的交点是重心：在任意三角形ABC中，中位线MN、MP和NP的交点O是三角形ABC的重心。
重心是三角形的几何中心之一，它被定义为三角形三条中位线的交点。
3. 重心将中位线按1:2分割：对于任意三角形ABC中的重心O，它将每条中位线按照1:2的比例分割，即AO:OM=BO:ON=CO:OP=1:2。
二、高线高线是从三角形的顶点向底边所引的垂线。
对于任意三角形ABC，从顶点A向边BC引一条垂线AH，则线段AH即为三角形ABC的高线。
高线有以下几个重要的性质：1. 高线长度相等：在任意三角形ABC中，从顶点A引的高线AH 与从顶点B和C引的高线BH和CH的长度相等。
2. 高线的垂足在底边中点：在任意三角形ABC中，高线AH、BH 和CH的垂足分别为D、E和F，且D、E和F分别是边BC、AC和AB的中点。
3. 高线和底边的关系：在任意三角形ABC中，高线AH与底边BC 的延长线交于点M，且AM是BC上的中线。
同理，高线BH和CH与底边AC和AB的延长线交于点N和P，且BN和CP分别是AC和AB 上的中线。
综上所述，中位线和高线是三角形中具有特殊性质的线段。
中位线连接着三角形的中点，而高线连接着顶点与底边之间的垂线。
它们的长度和交点位置对于三角形的性质和构造具有重要的作用。
三角形的中位线与高线
三角形的中位线与高线三角形是几何学中的基本图形之一，其具有丰富的性质和特点。
其中，中位线和高线是三角形中常用的概念和工具。
本文将介绍三角形的中位线和高线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、中位线的定义和性质中位线是指一个三角形的顶点与对边中点所连线段，一个三角形有三条中位线，分别连接三个顶点和对边中点。
下面我们来看一下中位线的性质。
性质1：三角形的三条中位线交于一点，该点被称为三角形的重心。
性质2：三角形的重心到顶点的距离是中位线长度的两倍。
性质3：三角形的重心将中位线分成两部分，其中一部分长度是另一部分长度的两倍。
通过以上性质，我们可以得出结论：三角形的重心是中位线的共同交点，且重心将中位线按照1:2的比例分割。
二、高线的定义和性质高线是指从三角形的顶点向对边所作的垂线，一个三角形有三条高线。
下面我们来看一下高线的性质。
性质1：三角形的三条高线都交于一点，该点被称为三角形的垂心。
性质2：三角形的垂心到三边的距离分别等于三条高线的长度。
性质3：垂心将高线分成两部分，其中一部分长度是另一部分长度的两倍。
通过以上性质，我们可以得出结论：三角形的垂心是高线的共同交点，且垂心将高线按照1:2的比例分割。
三、中位线和高线的应用中位线和高线在几何学中的应用非常广泛，它们可以用于求解三角形的面积、判断三角形的性质以及推导其他几何定理等。
应用1：求解三角形的面积。
根据中位线定理，三角形的面积可以通过中位线的长度和对边长度来计算，公式为：面积 = 1/2 * 中位线长度 * 对边长度。
应用2：判断三角形的性质。
通过研究中位线和高线的长度关系，我们可以判断三角形的形状（等边三角形、等腰三角形等）以及大小关系（大小关系判断方法请自行查询）。
应用3：推导其他几何定理。
中位线和高线在推导其他几何定理时也是非常有用的工具，例如中位线定理、垂心定理等。
综上所述，三角形的中位线和高线是三角形中常用的概念和工具，它们有着丰富的性质和应用。
三角形的中位线与重心性质解析
三角形的中位线与重心性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和特点。
其中，中位线和重心是三角形中常用来研究和解析的重要概念。
本文将从理论和几何推导的角度，对三角形的中位线和重心的性质进行分析。
1. 中位线的概念和性质中位线是连结三角形的一个顶点与对边中点的线段。
对于三角形ABC，其三个顶点分别为A、B、C，而对边中点分别为D、E、F。
则三角形ABC的中位线分别为AD、BE、CF。
下面分别探讨中位线的性质。
（1）中位线和边的关系三角形的中位线把三角形分割成三个面积相等的小三角形，即△ADB、△BEC和△CFA面积相等。
这是因为中位线上的点把对边等分。
（2）中位线所在的点三角形的中位线的三个交点（D、E、F）称为三角形的重心。
重心是三角形内部的一个点，具有重要的性质。
接下来我们将更详细地探讨重心的性质。
2. 重心的概念和性质重心是三角形内部的一个点，它位于三角形的中位线的交点处。
重心具有以下几个性质。
（1）三角形的每条中线都通过重心中线是从三角形的一个顶点到对边中点的线段。
对于三角形ABC，重心为G，则AG、BG、CG都经过点G。
这是因为重心是中位线的交点。
（2）重心将三角形分成六个小三角形以三角形的重心为圆心，以重心到三个顶点的距离为半径，可以画出三个同心圆。
这三个同心圆分割成的区域，正好是由三个小三角形和三个中位线所形成的。
（3）重心到顶点的距离比重心到中点的距离大对于边长为a、b、c的三角形ABC，重心到三个顶点的距离分别为d₁、d₂、d₃。
而重心到三个对边中点的距离分别为D₁、D₂、D₃。
我们可以得到以下关系式：d₁ + d₂ + d₃ > D₁ + D₂ + D₃。
3. 重心与三角形内部点的关系除了上述基本性质外，重心还与三角形内部一些点的位置关系有着密切联系。
（1）三角形内一点到三个顶点的距离之和最小的点就是重心对于三角形ABC内的任意一点P，到三个顶点的距离分别为PA、PB、PC。
三角形中的中线与中位线的性质
三角形中的中线与中位线的性质在几何学中，三角形是最基本的多边形之一，由三个边和三个顶点组成。
在三角形中，中线和中位线是两个重要的概念。
本文将探讨这些线段的性质，展示它们在三角形中的重要作用。
一、中线的性质中线是指连接三角形的一个顶点和对应边中点的线段。
在任何三角形中，都存在三条中线，它们相交于一个点，称为三角形的重心。
以下是中线的性质：1. 中心位置：三角形的三条中线的交点即为三角形的重心。
重心将三角形划分为三个面积相等的三角形。
2. 等长性：三角形的三条中线长度相等。
即，连接三角形的一个顶点和对边中点的线段长度相等。
3. 三点共线：三角形的顶点和对边中点以及重心共线。
这意味着无论三角形是等腰、等边还是普通三角形，其中心点都位于三角形内部，并且与三角形的顶点与边具有一定的关系。
二、中位线的性质中位线是指连接三角形的两个顶点中点的线段。
在任何三角形中，存在三条中位线，也具有一些重要的性质。
以下是中位线的性质：1. 中点连线：三角形的三条中位线的交点即为三角形内心。
2. 等长性：三角形的三条中位线长度相等。
即，连接三角形的两个顶点中点的线段长度相等。
3. 平分性：中位线将三角形的面积平分为两部分。
即，三角形内所有通过一个顶点的中位线所对应的两个小三角形面积之和等于大三角形的一半。
三、中线与中位线的关系中线和中位线是三角形中具有重要关系的特殊线段。
以下是它们之间的一些关系：1. 位置关系：三角形的三条中线相交于三角形的重心，而三条中位线相交于三角形的内心。
2. 长度比较：在同一个三角形中，中位线的长度大于中线的长度。
3. 关于重心的性质：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段与连接该顶点与三角形的重心的线段之间的比值为2:1。
4. 关于内心的性质：连接三角形的两个顶点中点的线段与连接这两个顶点与三角形的内心的线段之间的比值为1:1。
结论：通过对三角形中的中线与中位线的性质进行分析，我们可以得出以下结论：1. 中线和中位线都是三角形中的重要线段，它们与三角形重心和内心的位置关系密切。
三角形中位线与重心的几何意义解析
三角形中位线与重心的几何意义解析三角形是几何学中最基本的图形之一，其形态多样，性质丰富。
在三角形中，中位线和重心是两个重要的概念，它们具有重要的几何意义。
本文将对三角形中位线和重心的几何意义进行深入解析。
一、中位线的几何意义中位线是连接三角形两个顶点和对边中点的线段，在任意三角形中，都可以找到三条中位线。
所谓对边中点，即指的是三角形两顶点连线的中点。
中位线具有以下几何意义：1. 中位线相等性：在任意三角形中，三条中位线的长度相等。
这是三角形中位线较为重要的性质之一，可以通过简单的几何推导得出。
如图所示，∆ABC是任意三角形，AA'、BB'、CC'分别为∆ABC的三条中位线。
连接A'、B'、C'三点，可以得到∆A'B'C'。
由于∆ABC中AA'、BB'、CC'相等，所以∆A'B'C'中A'B'、B'C'、C'A'也相等。
根据两个三角形共边相等的性质，我们可以得出∆A'B'C'是个等边三角形。
因此，在任意三角形中，三条中位线的长度相等。
2. 中位线与顶点关系：在任意三角形中，三条中位线的交点即为三角形的重心。
二、重心的几何意义重心是由三角形三条中位线的交点确定的一个重要点，具有以下几何意义：1. 重心的平衡性：在等边三角形中，重心与三角形三个顶点位于同一直线上，并且重心到任意两顶点的距离相等。
这意味着重心作为三角形的平衡点，可以理解为三角形的质心。
如图所示，∆ABC是一个等边三角形，AA'、BB'、CC'分别为∆ABC的三条中位线。
连接A'、B'、C'三点，可以得到∆A'B'C'。
重心G是∆ABC中三条中位线的交点，同时也是∆A'B'C'的重心。
第14章三角形重心的性质及应用
第十四章 三角形重心的性质及应用【基础知识】三角形三条中线的交点称为三角形的重心，三角形的重心有下列有趣的性质：性质1设G 为ABC △的重心，连AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，()22221124AD AB AC BC =+-，且21AG GD =∶∶． 性质2设G 为ABC △的重心，过G 作DE BC ∥交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF AC ∥交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作KH AB ∥交AC 于K ，交BC 于H ，则 （1）23DE FP KH BC CA AB ===；（2）2DE FD KHBC CA AB++=．性质3设G 为ABC △的重心，P 为ABC △内任一点，则 （1）22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++；（2）()2222213z GA GB GC AB BC CA ++++=．证明（1）设D 为BC 边上的中点，则对APG △和DPG △分别应用余弦定理，有 2222AP AG PG AG PG cos AGP =+⋅⋅∠-，2222cos PD DG PG DG PG DGP =+-⋅⋅∠， 而2AG DG =，cos cos AGP DGP ∠=-∠，于是，有22222223AP PD AG DG PG +=++．又PD ，DG 分别是BPC △的BC 边，BGC △的BC 边上的中线，有2222122PD PB PC BC +-=，2222122DG BG CG BC =+-，从而22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++．（2）由性质1，有()2222911424AG AB AC BC =+-，()2222911424BC AB BC AC =+-， ()2222911424CG BC AC AB =+-，此三式相加，整理即得 ()22222213AG BG CG AB BC CA ++=++． 注由此性质即得到三角形中的莱布尼兹公式： ()2222222133AP BP CP PG AB BC CA ++=+++． 性质4设G 为ABC △内一点，G 为ABC △的重心的充要条件是下列条件之一： （1）13GBC GCA GAB ABC S S S S ===△△△△；（2）当点G 在三边BC ，CA ，AB 上的射影分别为D ，E ，F 时，GD GE GF ⋅⋅值最大； （3）当AG ，BG ，CG 的延长线交三边于D ，E ，F 时，AFG BDG CEG S G S ==△△△； （4）过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，3AB ACAP AQ+=； （5）222222333BC GA CA GB AB GC ++=+=．证明（1）必要性：延长AG 交BC 于D ，则D 为BC 中点，有BDA CDA S S =△△，BDG CDG S S =△△，故AGB AGC S S =△△．同理，AGB BGC S S =△△，故13GAB GBC GCA ABC S S S S ===△△△△．充分性：如图14-1，令G 为ABC △内一点，连AG 并延长交BC 于D ，连BG 并延长交AC 于E ．记GAB GBC GCA S S S S ===△△△，BC a =，CA b =，AB c =，1BDG S S =△，2CDG S S =△，BD x =，DG y =．图14-1yxEDABC由11sin 2S xy BDG =⋅∠， ()()()()2111sin sin 180sin 222S a x y CDG a x y BDG a x y BDG =-⋅∠=-⋅⋅︒-∠=-⋅⋅∠，故211S a S x =-． 即2211111S S S a S x S S S +=+==，亦即1S S a=，()2SS a x a =-． 又()11sin 2ABD SS cx B S S a x a =⋅∠=+=+△．()()21sin 22ACD SS b a x C S S a x a=-⋅∠=+=-△．再由正弦定理，得sin 1sin c B b C ⋅∠=⋅∠，于是，由上述两式，有2x a x a x a x +=--，于是2ax =，即 AD 为ABC △的边BC 上的中线．同理，可证BE 为ABC △边AC 上的中线． 故G 为ABC △的重心．注由此性质即可推知三角形的重心到各边的垂线段长与边长成反比． （2）充分性与必要性合起来证．设三角形三内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．记GD x =，GE y =，GF z =，由 12GBC S ax =△，12GAC S by =△，12GAB S cz =△，知2ABC ax by cz S ++=△为定值．由三个正数的平均值不等式，有338327ABC ax by cz ax by cz S ++⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭△≤，即3827ABCS xyz abc △≤．此式当且仅当ax by cz ==时，即G B C G A C G A BS S S ==△△△时等号取得，即G 为ABC △的重心时，结论成立．（3）仅证充公性：如图14-2，设1APF BPD CPE S S S ===△△△，APE S x =△，BPF S y =△，CPD S z =△．图14-2111yx z F EDABCP由111AP y x PD z ++==，111BP z y PE x++==，111CP x z PF y ++==，有 1yz z x +=+，①1zx x y +=+，②1xy y z +=+．③由①-②得()z y x z x x y -+-=-，即 ()()1z x x y z -=-+．④同理()()1x y y z x -=-+，⑤()()1y z z x y -=-+．⑥若x y =代入④得z x =．即有x y z ==，再代入①得1x =，故1x y z ===． 若x y ≠，则y x ≠，z x ≠，由④×⑤×⑥得()()()111z 1x y +++=，⑦而x ，y ，z 为正数，则11x +>，11y +>，11z +>，等式⑦无正数解， 故只有正数解1x y z ===，即证．（4）必要性：如图14-3，设M 为ABC △的边BC 上任一点，直线PQ 分别交AB ，AM ，AC 于P ，N ，Q ，连PM ，QM ．图14-3AB CPQMN则APQ MPQ APM AQMAPQABCS S S S AM AN NM AP AQ AN AN S S AB AC+++===⋅⋅⋅△△△△△△ ABM ACMABC AP AQ S S AB CM AC BM AB AC AP AQ AP BC AQ BC S AB AC⋅+⋅==⋅+⋅⋅⋅△△△． 当N 为ABC △的重心时，M 为BC 中点，有BM MC =，且32AM AN =∶∶，由此即证得结论3AB ACAP AQ+=． 充分性：设ABC △的一边AB 上有1P ，2P 两点，在另一边AC 上有1Q ，2Q 两点．若11223AB AC AB ACAP AQ AP AQ +=+=，则可证得11PQ 与22P Q 的交点G 是ABC △的重心． 事实上，如图14-4，连AG 并延长交BC 于M ，过B ，C 分别作AM 的平行线交直线11PQ ，22P Q 分别于1X ，1Y ，2X ，2Y ，于是，图14-4MY 1Y 2X 1X 2P 1P 2Q 1Q 2ABC G由111111311BP CQ AB AC AP AQ AP AQ ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 有1111111BP CQ BX CY AP AQ AG AG =+=+，即11BX CY AG +=． 同理，22BX CY AG +=．从而1122BX CY BX CY +=+，即1221BX BX CY CY -=-． 亦即1212X X YY =．而1212X X YY ∥，从而易判断1212GX X GYY △≌△．所以11GX GY =．推知BM MC =，即AM 为ABC △的BC 边上的中线，亦即GM 为梯形11BCY X 的中位线．此时112BX CY GM +=．由11BX CY AG +=，故2A G G M =．由此即知G 点为ABC △之重心．即满足3AB ACAP AQ+=的直线PQ 过其重心．（5）必要性：设AD 为BC 边上的中线，G 为ABC △的重心时，由中线长公式（即性质1），有()()222222AD AB CA BC =+-，从而()()222222222212332333BC GA BC AD BC AD AB BC CA ⎛⎫+=+=+=++ ⎪⎝⎭．同理，()22222222333CA GB AB BC CA AB GC +=++=+． 充分性：注意到结论，给定ABC △后，若点G 满足()222213GA GB CA BC -=-为常数，则点G 的轨迹是垂直于直线AB 的一条直线，并且这条直线过ABC △的重心．事实上，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立坐标系，设(),G x y ，则222AG x y =+，()222BG x c y =-+，其中AB c =．因此，由()22222123GA GB cx c CA BC -=-=-，得G 的坐标为2223,6CA BC AB y AB ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即证得前一断言，后一断言可由性质4（4）推证：由AB 上的点P 2223,06CA BC AB AB ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭知AP 的长度，可求得AC 上的线段AQ 的长度为()()2222223cos 3AC CA BC AB APBAC AB AC BC -+=∠+-，故3AB AC AP AQ +=，即证． 性质5设P 是锐角ABC △内一点，射线AP 、BP 、CP 分别交边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则P 为ABC △重心的充分必要条件是DEF ABC △∽△．证明充分性：如图14-5，设PEF α∠=，CPE β∠=，CPD γ∠=，EBC α'∠=，并分别用A 、B 、C 表示BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠．图14-5α'γβαFEDAB C在DEF △中，对点P 应用角元形式的塞瓦定理，有sin sin sin 1sin sin sin PEF PDE PFDPED PDF PFE ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠，即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβαπ---+-+⋅⋅=--π+++--．在ABC △中，对点P 应用角元形式的塞瓦定理，有sin sin sin 1sin sin sin PBC BAP ACPPBA CAP PCB ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠，即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβα''π---+-+'⋅⋅='''--π+++--． 设()()()()()()sin sin sin sin sin sin B x C x xf x x A B x x βγβββγβπ---+-+=⋅⋅--π+++--．由x ，B x -，B x βγπ---+，A B x βγ-π+++-，C x β-+，0,2x βπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，易知()f x 递增，于是由()()f f αα'=可得αα'=，所以EF BC ∥．同理可得DF AC ∥，DE AB ∥．从而有AF AE FB EC =，AF DC FB BD =，DC ECBD AE=． 所以AF FB =，BD DC =，EC AE =．故P 为ABC △的重心． 必要性：显然（略）．故命题获证，性质6三角形重心G 到任一条直线l 的距离，等于三个顶点到同一条直线的距离的代数和的三分之一． 事实上，若设三顶点A ，B ，C ，重心G ，BC 边的中点M 到直线l 的距离分别为A d ，B d ，C d ，G d ，M d ，则()23G A M G d d d d =+-，()12M B C d d d =+．两式相加，即有 ()13G A B C d d d d =++． 注由此性质可推知：设作一直线使三角形三个顶点到它的距离的代数和为零，则它通过重心．所以这种和为定值的直线与一个以G 为圆心的圆相切． 性质7设G 为ABC △的重心，若222AG BG CG +=，则两中线AD 和BE 垂直；反之，若两中线AD ，BE 垂直，则222AG BG CG +=． 【典型例题与基本方法】例1如图14-6，在ABC △中，G 为重心，P 为形内一点，直线PG 交直线BC ，CA ，AB 于A '，B '，C '．求证：3A P B P C PA GB GC G'''++='''．图14-6G 'P'C 'B'A'ABCGP证明连BG ，GC ，PB ，PC ，分别过G ，P 作GG BC '⊥于G '，作PP BC '⊥于P '，则PP GG ''∥，PP A PGG A G''=''． 又PBC GBC S PP S GG '='△△，有PBC GBC S A P S A G '='△△． 同理PCA GCA S B P S B G '='△△，PAB GAB S C PS C G'='△△． 因G 为重心，有13GAB GBC GBC GCA ABC S S S S S ====△△△△△．故3333PBC PCA PABABC ABC ABCS S S A P B P C P A G B G C G S S S '''++=++='''△△△△△△． 例2如图147-，设ABC △的重心为G ，AG ，BG ，CG 分别交对边于D ，E ，F ，交ABC △的外接圆于A '，B '，C '．求证：1A D B E C FDA EB FC'''++≥．图14-7C 'B 'A 'GF ED AB C证明设BC a =，CA b =，AB c =，这三边上的中线分别记为a m ，b m ，c m ，应用相交弦定理，有22224a A D A D DA BD DC a DA DA DA m ''⋅⋅===． 同理224b B E b EB m '=，224c C F C FC m '=． 则所证不等式等价于2222224a b ca b c m m m ++≥．应用三角形中线公式222222a m b c a =+-等三式，可求出2a ，2b ，2c ，即()22224229b c a a m m m =+-等三式．将其代入上式左边，即证得结论成立．3． 例3如图14-8，过ABC △的重心G 任作一条直线把这个三角形分成两部分，试证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的19．（1979年安徽省竞赛题）图14-8A证明把三角形的每条边三等分，过每一分点作平行于其他两边的直线，这些直线把ABC △分成9个面积相等的小三角形．内部那个交点正好是这个三角形的重心G ．过G 的任一直线把三角形分成两部分，观察这两部分面积之差，显然不超过BEF △的面积，即ABC △面积的19．例4如图14-9，已知P 为ABCD 内一点，O 为AC 与BD 的交点，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，Q 为AN 与DM 的交点，求证：（1）P ，Q ，O 三点在一直线上；（2）2PQ OQ =．图14-9Q P MN DOABC证明连PO ，设PO 与AN ，DM 分别交于点Q '，Q ''．在PAC △中，AO OC =，PN NC =，则Q '为其重心，且2PQ OQ ''=． 在PDB △中，DO BO =，BM M P =，则Q ''为其重心，且2PQ OQ ''''=．这样，Q Q '''≡，并且Q '，Q ''就是AN ，DM 的交点Q ．故P ，Q ，O 在一条直线上，且2PQ OQ =． 例5如图14-10，已知CA AB BD ==，AB 为O 的直径，CT 切O 于P ．求证：APC DPT ∠=∠． 证明连PO 并延长交O 于E ，则PE PC ⊥．连EC ，ED ，并延长PA 交CE 于F ．图14-10DC在Rt CPE △中，CO 为PE 边上的中线，且2CA AO =，即知A 为CPE △的重心，则PF 为CE 边上的中线，从而CF PF =，FCP FPC ∠=∠．又PE 与CD 互相平分，则CPDE 为平行四边形，即有FCP DPT ∠∠=．故CPA FCP DPT ∠=∠=∠． 例6试证：以锐角三角形各边为直径作圆，从相对顶点作切线，得到的六个切点共圆．证明如图14-11，设ABC △的三边分别为a ，b ，c ，O 是以BC a =为直径的圆，AT 切O 于T 点． 连AO ，在AO 上取点G 使2AG GO =，则G 为ABC △的重心．连OT ，GT ，图14-11ABC由AO =，2222cos TG OT OG OT OG TOA =+-⋅⋅∠及cos OT TOA OA ∠=，12OT a =，13OG OA =，有()2222118TG a b c =++为定值．同理，其他五个切点如T 等到重心G 的距离的平方均为()222118a b c ++，由此即证． 例7如图14-12，AD ，BE ，CF 是ABC △的三条中线，P 是任意一点．证明：在PAD △，PBE △，PCF △中，其中一个面积等于另外两个面积的和．（第26届莫斯科奥林匹克题）图14-12G F'E'DFEDABCD 'C 'A '证明设G 为ABC △的重心，直线PG 与AB ，BC 相交，从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A '，C '，D '，E '，F '，易证2AA DD ''=，2CC FF ''=，2EE AA CC '''+=，从而EE DD FF '''=+，故PGE PGD PGF S S S =+△△△．【解题思维策略分析】1．注意中线长公式、莱布尼兹公式的应用例8已知ABC △的三边BC a =，CA b =，AB c =，DEF △是ABC △的任意内接三角形，试以a ，b ，c 表示DEF △的三边平方和的最小值．解首先，证明如下结论：若G 为ABC △内的任意一点，G 到三边BC ，CA ，AB 的距离分别为x ，y ，z ，则当x y z a b c =∶∶∶∶时，222x y z ++的最小值为22224ABCS a b c ++△． 事实上，由柯西不等式()()()222222224ABC a b c xy z ax by cz S ++++++=△≥，当且仅当xy z a b c =∶∶∶∶时取等号，由此即证．如图14-13，设G 为DEF △的重心，则由中线长公式或重心性质3（2），图14-13D 0F 0E 0F EDGABC有()2222129GD DE DF EF ⎡⎤=+-⎣⎦， ()2222129GE DF EF DF ⎡⎤=+-⎣⎦， ()2222129GF EF DF DE ⎡⎤=+-⎣⎦． 三式相加，得()2222223DE EF FD GD GE GF ++=++．从G 点向ABC △的三边BC ，AC ，AB 引垂线，垂足分别为0D ，0E ，0F ， 则()()()2222222222222022212333ABCS DE EF FD GD GE GF DD EE FF GD GE GF a b c ++=+++++++++△≥≥． 下证等号能够取到，设G 为ABC △内一点，G 到BC ，CA ，AB 的距离依次为x ，y ，z ，且满足x y z a b c =∶∶∶∶．过G 分别向三边作垂线，垂足为0D ，0E ，0F ，由0D ，C ，0E ，G 共圆，知00180D GE C ∠+∠=︒，于是00001sin 21sin 2GD E ABCxy D GE S xy S ab ab C ⋅∠==⋅∠△△． 同理，00GE F ABC S yz S bc =△△，00GF D ABC S zx S ca=△△． 因x y z a b c =∶∶∶∶，则x y y z z xa b b c c a==，故000000G D E G E F G F D S S S==△△△，由重心性质4（1），知G 为000D E F △的重心．由此可见，对ABC △的内接000D E F △而言，222200000022212ABCS D E E F F D a b c ++=++△． 因此，所求最小值为222212ABCS a b c ++△． 例9如图14-14，设G 为ABC △的重心，AG ，BG ，CG 的延长线分别交ABC △的外接圆于A '，B '，C '．图14-14'求证：（1）3AG BG CGGA GB GC ++='''； （2）3GA GB GC GA BG CG'''++≥； （3）GA GA '或GB GB '或1GCGC '≤． 证明（1）证法1：设AA '交BC 于D ，则D 为BC 的中点． 由13ABC ABGGBA GBA S S AG GA S S ''=='△△△△，13ABC GAB S BG GB S '='△△，13ABC GAC SCG GC S '='△△，及AGB BGA ''△∽△， AGC CGA ''△∽△，有22GAB GBA S AG S BG ''=△△，22GAC GAC GBA GCA S S AG S S CG ''''==△△△△，从而22222211133ABCABC BGA BGA S S AG BG CG BG CG AG BG CG GA GB GC S AG AG S AG ''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△． 由BDA ADC'△∽△，得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△，所以222222113BGA ABC BGA BGA S S BG CG AG BG CG S AG AG S AG '''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△． 由BDA ADC '△∽△得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△， 所以2222111361818BGA BGD BDA ABC ABC ABC S S S BC AG BC S S S AG AG ''⎛⎫+⎛⎫=+=+⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△△△． 中线长公式或重心性质3（2），有()2222223AG BG CG AB BC CA ++=++ ．从而()()222222222323AG BC AB BC CA AG BG CG +⋅++=++=．故22222211833AG BG CG AG AG BG CG GA GB GC AG BC AG ⋅++++=⋅⋅'''+ ()()222222221832AG AG BG CG AG BG CG AG⋅⋅++=⋅++⋅3=．证法2：令O 为ABC △的外心，由莱布尼兹公式，则()2222219OG R a b c =-++（其中R ，a ，b ，c 分别 ABC △的外接圆半径及三边之长）． 注意到()2222219GA GA GB GB GC GC R OG a b c '''⋅=⋅=⋅=-=++， 于是222AG BG CG AG BG CG GA GB GC GA GA BG GB CG GC++=++''''''⋅⋅⋅ ()()2222222222213319a b c AG BG CGR OG a b c ++++===-++． （2）2113333GA GB GC GA GB GC AG BG CG GA GB GC GA GB GC GA GB GC ''''''⎛⎫⎛⎫++=++⋅++⋅= ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭≥ （3）由（2），知A G AG '或B G BG '或1C G CG '≥，由此即AG GA '或BG GB '或1CGGC '≤，或由（1）也可推得结论成立．2．证明线共点的一条途径例10如图14-15，设O 是ABC △的内切圆，BC ，CA ，AB 上的切点各是D ，E ，F ．射线DO 交EF 于A '，同样可得B '，C '．试证：直线AA '，BB '，CC '共点．图14-15证明连A B '，A C '．易知B ，D ，O ，F 及C ，D ，O ，E 分别共圆，得A OF B '∠=∠，A OE C '∠=∠． 在A OF '△及A OE '△中应用正弦定理，有'sin sin sin sin A F OA OA A EA OF OFA OEA A OE '''===''''∠∠∠∠， 有sin sin sin sin A F A OF B AC A E A OE C AB ''∠∠===''∠∠．从而AB A F AC A E ''⋅=⋅． 又AFE AEF ∠=∠，故有11sin sin 22ABA ACA S AFE A F AEF AC A E S ''''=∠⋅=∠⋅⋅=△△．由此式可知直线AA '必平分BC 边，即AA '必过ABC △的重心，同样可证BB '，CC '，也都过ABC △的重心．故由重心的唯一性，知AA '，BB '，CC '三直线共点于ABC △的重心． 【模拟实战】习题A1．如图14-16，点O 在锐角ABC △内，过O 作EF BC ∥，PQ CA ∥，HG AB ∥，若E F P Q H GB C C A A B ==，试问O 为ABC △的什么心？图14-16OABCEFGHPQ2．如图14-17，M 、N 、P 分别为正ABC △、DCE △、mBEF 的重心．求证：MNP △为正三角形．图14-17FEA BC M NP3．已知ABC △的重心G 和内心I 的连线GI BC ∥．求证：2AB AC BC +=．4．设O 为ABC △的外心，AB AC =，D 是AB 的中点，G 是ACD △的重心．求证：OG CD ⊥． 5．设M 为ABC △的重心，且3AM =，4BM =，5CM =，求ABC △的面积．（1991年上海市初中竞赛题）6．设D 是ABC △的边BC 上的一点，点E ，F 分别是ABD △和ACD △的重心，连接EF 交AD 于点G ，则DGGA的值是多少？ （1991～1992年度广州等五市竞赛题） 7．给定任意ABC △，作这样的直线与三角形相交，使得由A 点到直线的距离等于由B ，C 点到直线的距离的和．证明：所有这样的直线相交于一点．习题B1．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似，其逆亦真．2．在ABC △中，G 为重心，I 为内心，试证：AGI △，BGI △，CGI △中，最大的一个的面积等于其余两介面积的和．3．在锐角ABC △中，O ，G 分别为其外心和重心．若OG AC ∥，求证：tan A ，tan B ，tan C 成等差数列，4．试证：任意三角形的重心到三边距离之和不小于其内心到三边距离之和．。
5.1 三角形的特殊巧合点-三角形的重心的性质及应用--沈文选
5.1 三角形的重心的性质及应用平面上的三条或三条以上直线恰巧相交于一点，该交点常称为巧合点．三角形中的一些线段或直线相交得到的巧合点，常称为三角形的巧合点，三角形中有许多巧合点，在这里，我们只讨论几个特殊的巧合点，三角形的三条中线相交于一点（可由塞瓦定理证明）．三角形的三条中线的交点，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部，三角形的重心有下列基本性质：性质1三角形的重心到一边中点的距离等于这条边上的中线之长的三分之一．事实上，如图5-1，设G 为△A BC 的三条中线AD 、BE 、CF 的交点，则G 为重心，延长GD 到P ，使DP ＝DG ，连BP 、CP ，则得平行四边形BPCG,故BP ＝GC;且BP ／／FC.由上即知FG 为△ABP 的中位线，从而,2121GC BP FG ==即.31FC GF = 同理， .31,31AD GD BE GE ==或者，由共边比例定理，有,211.21..=⋅====∆∆∆∆∆∆FB AF CA CE S S S S S S BG GE CGB CGA CGA CGE CGB CGE故 .31BE GE =同理 .31,31AD GD FC GF ==、 由性质1，即可推得如下一系列性质．性质2 若G 为△ABC 的重心，则.31⋅=⋅=⋅=∆∆∆∆ABC AGC BGC ABG S S S S (5.1-1)反之，设G 是△ABC 内一点，且,.31⋅=⋅=⋅=∆∆∆∆ABC AGC BGC ABG S S S S 则G 为△ABC 的重心，性质3 若G 为△ABC 的重心，则222222333GC AB GB CA AG BG +=+=+).(32222CA BC AB ++=(5.1-2) 事实上，由三角形中线长公式(或式(1.4—6)),4121212222BC CA AB AD -+=有 2222)32.(33AD BC GA BC +=+)422(32222BC CA AB BC -++=).(32222CA BC AB ++= 性质4 若G 为△ABC 的重心，连AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，性质5 若G 为△ABC 的重心，且,222CG BG AG =+则两条中线AD 、BE 互相垂直；反之若两中线AD⊥ BE ，则.222CG BG AG =+事实上，由中线长公式，有,22)2(22222AB BG AG FG GC -+==因此 .0222222BG AG AB BG AG CG BG AG ⊥⇔=-+⇔=+例1 设M 为△ABC 的重心，且.5,4,3===CM BM AM 求△ABC 的面积．（1991年上海市竞赛题）解 由AM =3，BM=4，CM ＝5，有,222CM BM AM =+从而有BE AD ⊥.于是，.1821.33=⋅==∆∆BM AM S S AMBABC例2 如图5-3，D 是△ABC 的边BC 上的一点，点E 、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，连结EF 交AD 于点G ，则GADG的值是多少？ (1991-1992年度广州、洛阳、福州、武汉、重庆联赛题）解 连BE 、CF ，并延长相交于M.因为E 、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，则M 为AD 的中点，且⋅==31MC MF MB ME 于是 EF // BC, 即 EG // BD. 从而,32,32DM DG BM BE DM DG === .34322DM DM DM DG AD AG =-=-=故⋅==213432DM DMGA DG例3 已知□ABCD 中，E 是AB 的中点，AB ＝ 10，AC ＝9，DE ＝ 12，则口ABCD 的面积S ＝ ．（1997年陕西省竞赛题）解 填72.理由：如图5-4，设DE 、DB 分别和AC 交于G 、0，则G 是△ADB 的重心．从而，,431==DE GE .33132==⋅=AC AOAG又 ,521==AB AE 则 EG ⊥ AO.因此 .18829.2121=⋅=⋅=∆DG AO S ADO 所以 .724==∆ADO S S例4 在△ABC 中，G 为重心，M 为BC 的中点，X 在AB 上，y 在AC 上，且X 、G 、y 共线，直线XY∥BC.设XC 与GB 交于Q ，YB 与GC 交于P.求证：△MPQ∽△ABC. （1991年亚太地区奥林匹克题） 证明 延长CG 交AB 于E ，则E 为AB 的中点．由XY∥BC，知△GPY∽△CPB，则⋅===3121BC XYBC GY PC GP 于是，,3243CE PCGC PC =⋅=即.,21PE CP CE PC == 因而MP 为△CEB 的中位线，即.41,//AB MP AB MP =同理，还有 .41,//AC MQ AC MQ =因此 ,BAC PMQ ∠=∠且⋅=ACABMQ MP△MPQ ∽ △ABC.例5 在△ABC 中，G 为重心，P 为形内一点，直线PG 交直线BC 、CA 、AB 于.///C B A 、、求证：.3//////=++GC PC G B P B G A P A （第20届莫斯科奥林匹克题的推广，1991年黄冈地区竞赛题）证明 如图5-6，连GB 、GC 、PB 、PC ，由共边比例定理，有⋅=⋅⋅∆∆GA PA S S GBC PBC // ①,//CB PB S S GCA PCA =∆∆ ② ⋅=∆∆GC PC S S GAB PAB // ③ 因G 为重心，则.31.⋅==⋅=∆∆∆∆ABC A GC GBC GAB S S S S ④由①+②+③及④得.3333.//////=⋅+⋅+⋅=++∆∆∆∆∆∆ABCPABABC PCA ABC PBC S S S S S S G C P C G B P B G A P A 注 当△ABC 为正三角形即为第20届莫斯科奥林匹克题．此时可由点G 和点P 向△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别依次引垂线i PK 和,1(=i GH i )3,2（图略），则332211//////GH PK GH PK GH PK G C P C G B P B G A P A ++=++ h PK h PK h PK 313131321++=.3)(321=++=PK PK PK h其中h 是正三角形的高，且⋅++=321PK PK PK h例6 试证：设G 为△ABC 的重心，过G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，则.3=+AQACAP AB (5.1-3) 反之，在△ABC 中，若直线PQ 交边AB 于P ，交边AC 于Q ，且满足,3=+AQACAP AB 则直线PQ 过三角形的重心．证明 首先证明L 个一般性结论：如图5—7，设M 为△ABC 的边BC 上任一点，直线PQ 分别交线段AB 、AM 、AC 于P 、N 、Q 则⋅+=⋅BCBMAQ AC BC CM AP AB AN AM .. (5.1-4) 事实上，连PM 、QM ，注意到共边比例定理与共角比例定理，有APQMPQAPQ S S S AN NM AN AN AM ∆∆∆+=+= ⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅+=∆∆∆∆∆∆ABC ACM ABM ABC AQMAPM S AC AQ AB AP S AC AQS AB AP S ACAB AQ AP S S .⋅⋅⋅+=BCBMAQ AC BC CM AP AB . 当M 为BC 中点，N 为△ABC 的重心时，有BM ＝MC ，且AM ：AN ＝3:2，代入(5.1-4)即得到.3=+AQACAPAB反之，设△ABG 的一边AB 上有21p p 、两点，在另一边AC 上有21Q Q 、两点．若,32211=+=+AQ AC AP AB AQ AC AP AB 则11Q P 与22Q P 的交点G 是△ABC 的重心. 事实上，如图5-8，连AG 并延长交BC 于M ，过B 、C 分别作AM 的平行线交直线2211Q P Q P 、于⋅2121Y Y X X 、、、于是，由)1()1(3111111AQ CQ AP BP AQ ACAP AB +++=+=有 ,1111111AG AG BX AQ CQ AP BP α+=+=即 .11AG CY BX =+ 同理 .22AG CY BX =+ 从而 ,2211CY BX CY BX +=+即 ,1221CY CY BX BX -=-亦即 ⋅=2121Y Y X X又,//2121Y Y X X 从而.2121Y GY X GX ∆≅∆故⋅=11GY GX由平行线性质，知 .MC BM =于是，知AM 为△ABC 的BC 边上的中线，也是梯形11X BCY 的中位线， 因此， ,211GM CY BX =+故AG ＝2CM ．此说明G 为△ABC 的重心，习 题 5.11 在△ABC 中，BC ＝3，AC ＝4，AE 和BD 分别是BC 和AC 边上的中线，且AE ⊥ BD，则AB 的长为( )5.A 63.B 22.C 7.D E ．不能确定（1983年重庆市竞赛题）2 在△ABC 中，设E 、F 分别为AC 、AB 的中点，D 为BC 上任一点.P 在BF 上，DP∥CF，Q 在CE 上，DQ∥BE，PQ 交BE 于R ，交CF 于S ．求证：PQ ＝3RS.（1988年加拿大训练题） 3 设G 为△ABC 的重心，.2,22,32===GC GB GA 求△ABC 的面积．（1991年日本奥林匹克题）4 给定△ABC 和点0，分别将△OBC、△OCA、△OAB 的重心记为、1M ⋅32M M 、求证：.91321⋅=∆∆ABC M M M s s （第24届莫斯科奥林匹克题）5 设1BB 和1CC 是△ABC 的两条中线．求证：221218BC CC BB >+ （1976年基辅竞赛题）6 在△ABC 中，AC ＝2，D 是AB 的中点，E 是CD 上一点，.31CD ED ⋅=若,31AB CE =且CE⊥AE，求BC. 7 在△ABC 中是否存在一点P ，使得过点P 的任意一直线都将该△ABC 分成等积的两部分？为什么？（1998年黄冈市竞赛题） 8 求以面积为216cm 的三角形的三条中线为边所构成的三角形的面积.9 点D 在△ABC 的边BC 上，且与B 、C 不重合，过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E ，作AB 的平行线DF 交AC 于F ．又知==AC BC ,5,2AB 且DF 经过△ABC 的重心G ，求EF 之长．10 过△ABC 的重心G 任作一条直线把这个三角形分成两部分．试证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的⋅91（1979年安徽省竞赛题）答案。
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B 课题：三角形重心的性质及应用（
教学目的：1、了解三角形重心的概念，掌握重心的性质并能加以应用。
2、了解并握“同一法”证明思路。
教学重、难点：三角形重心的性质及其应用。
教学过程：
思考一：已知，如图，BE 、CF 是△ABC 的中线，并相交于G ，
求证：GB GE =GC GF =2
1
B
C
思考二：假如AD 是△ABC 的
BC 边上的中线，那么G 点是否在AD 上？
D
B C
归纳结论：1、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
2、重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
学生练习：
1、已知，△ABC 中，∠C=900，G 是三角形的重心，，AB=8， 求：① GC 的长；
② 过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于M ，BC 于N ， 求MN 的长。
2、已知，△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG=3，GC=4，求BG的长。
G
B C
A
教学小结：由学生归纳总结
作业：。