上海民办桃李园实验学校高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试卷(有答案解析)

一、选择题
1．对于0c >，当非零实数a 、b 满足224240a ab b c -+-=，且使2a b +最大时，
345
a b c
-+的最小值为（ ） A ．12
-
B ．
12
C ．2-
D ．2
2．函数y ＝的最大值为（ ） A ．5
B ．8
C ．10
D ．12
3．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1
B ．
13
C ．
12
D ．3
4．设m,n 为正整数,m>1,n>1,且log 3m·log 3n≥4,则m+n 的最小值为( ) A ．15 B ．16 C ．17
D ．18
5．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A ．
6
5
B ．6 35
C ．36 35
D ．6
6．已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36
D ．47
7．若a ，b R +∈，且1a b +=
A ．2+
B ．
C ．3
D
8．已知实数x ，y ，z 满足321x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为 A ．114 B ．1 C ．
334
D ．
734
9．1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为（ ） A ．1
B ．
34
C ．
611
D ．
58 10．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝3，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．3
B ．1
C ．
12
D ．
13
11．设a ， b ， c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1的最大值是( )
A ．1
B C ．3
D ．9
12．用反证法证明：“”，应假设（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，
20ax by cz ++=，则
a b c
x y z
++=++________．
14．若231x y z +=，则222x y z ++的最小值为__________
15．实数x ，y ，z 满足2224270x y z x z ++++-=，则x y z ++的最大值为__________．
16．已知实数,,,x y a b 满足：221a b +≤，2224x x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则ax by +的最大值为
__________ ．
17．已知,x y R ∈，且22
2,x y x y +=≠，则22
11
()()x y x y ++-的最小值是
__________．
18．若23411x y z ++=，则222x y z ++的最小值为_________． 19．已知向量1,1a a b =⋅=，则min
b
=__________．
20．求函数y ＝1102x x --
三、解答题
21．已知函数()3f x k x =--，k ∈R ，且()30f x +≥的解集为[]1,1-. （1）求k 的值；
（2）若a ，b ，c 是正实数，且111123ka kb kc
++=，求证：239a b c ++≥. 22．已知不等式15
|2|22
x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；
（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足
111223t a b c
++=，求2993
a b c ++的最小值. 23．已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c=1. （Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---≥
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
；
（Ⅱ）证明：
32
++≥+++a b c b c a c a b . 24．已知函数()22f x x x =+-的最小值为m . （1）求m 的值；
（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求
22
11
12a b +++的最小值. 25．已知函数()|23||23|.f x x x =-++ （1）解不等式()8f x ≤；
（2）设x ∈R 时，()f x 的最小值为M .若实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求
222a b c ++的最小值.
26．已知实数a 、b 、c 满足0a >，0b >，0c >，2223a b c
b c a
++=，求证：
3a b c ++≤．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
首先将等式224240a ab b c -+-=变形为2
215
4416c b a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由柯西不等式得到
2
2a b +，分别用b 表示a 、c ，再代入到345a b c
-+得到关于1b 的二次函数，求得其最小
值即可. 【详解】
224240a ab b c -+-=，2
2221542416c ab b a b a b ⎛
⎫∴=-+=-+ ⎪⎝
⎭，
由柯西不等式可得
2
22
221522
4164b b a b a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅+≥-+⎢⎥⎢⎥⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎣⎦⎣⎦2
2a b =+，
故当2a b +
最大时，有
4462b a -
=，则32a b =，210c b =，
2
22345345121122310222
a b c b b b b b b ⎛⎫∴-+=-+=-=-- ⎪⎝⎭
， 所以，当1
2b =时，345a b c
-+取得最小值2-. 故选：C. 【点睛】
本题考查代数式最值的求解，考查了柯西不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.
2．C
解析：C 【分析】
利用向量的关系a b a b ⋅≤⋅，可设向量()4,3a =
，(
3,b x =-，然后进行求
解即可 【详解】
由已知得，函数的定义域为37x ≤≤，设向量()4,3a
=，(
3,b x =-，
则5a =，2b =，10a b a b ⋅≤⋅=，当且仅当
a b 时，
即0=时，等号成立，解得139
25
x =，属于定义域范围， 所以，该函数y 可以取得最大值为10 答案选C 【点睛】
本题考查向量中的最值问题，属于中档题
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用柯西不等式得出(
)()()2
222
2
22111x
y z x y z ++++≥++，于此可得出222
x y z ++的最小值。

【详解】
由柯西不等式得(
)()()2222
2222
11111x y z x y z ++++≥++==，则22213
x y z ++≥， 当且仅当13x y z ===
时，等号成立，因此，222
x y z ++的最小值为13
，故选：B.
【点睛】
本题考查利用柯西不等式求最值，关键在于对代数式朝着定值条件等式去进行配凑，同时也要注意等号成立的条件，属于中等题。

4．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题意结合均值不等式的结论可得mn ≥34，据此可得m +n 的最小值为18. 【详解】
∵4≤log 3m ·log 3n
≤2
2333(),24log m log n log mn +⎛⎫= ⎪⎝⎭
∴(log 3mn )2≥16,∴mn ≥34.
∴m+n ≥
×32=18,
当且仅当m=n 时等号成立. 则m +n 的最小值为18. 本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查对数的运算法则，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可. 【详解】 由柯西不等式,得： x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 2222
1
)135++
≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535
⨯= 当且仅当x 6186
,,35357
y z =
==时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为36
35
. 本题选择C 选项. 【点睛】
根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解
构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.
6．C
解析：C 【解析】 由于
()()()()()
()()()()222222251312252123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++-+++-+≥++--++=⎣
⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦
324，所以()()()222
51336x y z ++-++≥，当且仅当513122
x y z +-+==-，即3
31x y z =-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
时取等号．故选C ． 7．D
解析：D 【解析】
因为a ，b R +∈，且1a b +=，所以2212a b ab +=-，
又
()
2
225626222a b ab ab ab =+++-+-++
10=
≥1
2
a
b =
时，等号成立，故
．故选D ． 8．C
解析：C
【解析】
由柯西不等式，可得
))
][
()2
2
2
2
222
3321x x y z ⎡⎤++⋅++≥++=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
， 所以2
2
2
32334x y z +
+≥
，当且仅当3x ==
，即931,,343434
x y z ===时，等号成立，所以22223x y z ++的最小值为
3
34
．故选C ． 9．C
解析：C 【详解】
由柯西不等式，()(
)
2
2
2
2
1123123x y z x y z
⎛⎫++≤++++ ⎪⎝⎭
，得222
62311x y z ++≥， 当且仅当2312323x y z
==
等号成立，即236,,111111
x y z === 故选C ． 10．A
解析：A 【解析】
x 2＋y 2＋z 2＝(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)×13≥(1×x ＋1×y ＋1×z )2×1
3
＝3.当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立．
11．B
解析：B 【解析】
由柯西不等式得
()()()
()(
)
2
2
2
2
222111a
b
c a b c ⎡
⎤++
++≥++⎢⎥⎣
⎦
，
(
)
2
313a b c
∴
++≤⨯=，当且仅当1
3
a b c ===时等号成立，a b c ∴++的
最大值为3，故选B.
12．B
解析：B 【解析】
试题分析：反证法反设时要假设所要证明的结论反面成立，因此需假设
考点：反证法
二、填空题
13．【分析】根据积和结构条件利用柯西不等式求解注意柯西不等式中等号成立的条件即可【详解】因为所以又由柯西不等式得：当且仅当取等号设则所以故答案为：【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用还考查了运算求解的能 解析：
12
【分析】
根据“积和结构”条件，利用柯西不等式求解，注意柯西不等式中等号成立的条件即可. 【详解】
因为22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=， 所以(
)()
()2
222
2
22400a b c
x
y z ax by cz ++++=++=，
又由柯西不等式得：(
)(
)
()2
222
222a b c
x y z ax by cz ++++≥++，
当且仅当a b c
x y z
==取等号，
设a b c
k x y z
===， 则,,a kx b ky c kz === 所以
1
2
a b c x y z ++=++.
故答案为：12
【点睛】
本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
14．【分析】本题可根据柯西不等式得出然后通过化简即可得出结果【详解】根据柯西不等式可得因为所以当且仅当时取等号故答案为:【点睛】本题考查柯西不等式柯西不等式公式考查计算能力是简单题
解析：1
8
【分析】
本题可根据柯西不等式得出2
2
2
2
2
2
2
12323x y z x y z ，然后通过化
简即可得出结果. 【详解】
根据柯西不等式可得2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
23x
y
z
x y
z ，
因为21x y +=，所以2
22
1
8
x y z ，当且仅当2
3
y z
x 时取等号， 故答案为:18
. 【点睛】
本题考查柯西不等式，柯西不等式公式
()()
()2
2222221
23123112233a
a a
b b b a b a b a b ++++≥++，
考查计算能力，是简单题.
15．3【解析】分析：由可得换元后利用柯西不等式求解即可详解：可得设可得当且仅当时的最大值为此时由此可得的最大值为故答案为点睛：本题主要考查了一般形式的柯西不等式属于中档题解决问题的关键是利用柯西不等式求
解析：3 【解析】
分析：由2224270x y z x z ++++-=，可得()()22
2
2112x y z ++++=，换元后利用
柯西不等式求解即可.
详解：2224270x y z x z ++++-=，
可得()()2
2
2
2112x y z ++++=，
设2,,1x w y v z u +==+=，
可得()()2
2
2222
2112x y z w v u ++++=++=，
3x y z w v u ∴++=++-，
()
()()
2
222
2
2211136w v u w
v u ++≤++++=，
66w v u ∴-≤++≤，
当且仅当，2w v u ===时，w v u ++的最大值为6， 此时21x y z +==+，
由此可得x y z ++的最大值为633-=，故答案为3.
点睛：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.
16．【解析】分析：根据线性规划先求出的范围再根据柯西不等式求解详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示表示可行域内的点到原点的距离结合图形可得点A 到原点的距离最大由解得故∴由柯西不等式得当且仅当时 解析：5
【解析】
分析：根据线性规划先求出22x y +的范围，再根据柯西不等式求解． 详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
22x y +A 到原点的距离最大，
由224x x y =⎧
⎨
+=⎩，解得2
1x y =⎧⎨=⎩，故()2,1A ，
∴
≤
由柯西不等式得ax by +≤≤
x y
a b
=时等号成立．
∴ax by +
点睛：在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，可按照“一看、二构造、三判断、四运用”的步骤求解．
17．【解析】令则∵∴∴由柯西不等式得：当且仅当u=v=即或时的最小值是1故填1 解析：1
【解析】
令,u x y v x y =+=-，则,22
u v
u v
x
y ， ∵222x y +=，∴22()()8u v u v ++-=，∴2
2
4u v ，由柯西不等式得：
22
22
11(
)()4u v u v ++≥,当且仅当x =0y =或0x =，y =22
11
()()x y x y ++-的最小值是1,故填1.
18．【解析】所以当且仅当即时取等号所以所求最小值为 解析：
121
29
【解析】
2222222211(234)(234)()x y z x y z =++≤++++，所以222
121
29
x y z ++≥
，当且仅当234x y z
==，即223344,,292929x y z ===时取等号，所以所求最小值为12129
． 19．1【解析】解：设向量对应的坐标为：问题等价于：已知求的最小值由Cauchy 不等式有：据此可得：点睛：根据柯西不等式的结构特征利用柯西不等式对有关不等式进行证明证明时需要对不等式变形使之与柯西不等式有
解析：1
【解析】解：设向量对应的坐标为： ()(),,,a m n b x y == ，
问题等价于：已知22
1,1m n mx ny +=+= 的最小值， 由Cauchy 不等式有： ()()
22
2
2m n
x
y mx ny ++≥+ ，
据此可得：
min
1= .
点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式.
20．【解析】【分析】根据柯西不等式即可求出答案【详解】函数的定义域为15且y ＞0y ＝56当且仅当时等号成立即时函数取最大值【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用属于基础题
解析：
【解析】 【分析】
根据柯西不等式即可求出答案． 【详解】
函数的定义域为[1，5]，且y ＞0，y ＝
5≤==
5=时，等号成立，即127
27
x =时，函数取最大值【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用，属于基础题．
三、解答题
21．（1）1k =；（2）证明见解析. 【分析】
（1）将3x +带入()3f x k x =--，由()30f x +≥可得x k ≤，然后绝对值不等式的解集确定k 的值； （2）结合（1）可得111123a b c
++=，然后利用柯西不等式进行证明即可. 【详解】
解：（1）因为()3f x k x =--， 所以()30f x +≥等价于x k ≤，
由x k ≤有解，得0k ≥，且x k ≤解集为[]
,k k -. 因为()30f x +≥的解集为[]1,1-. 因此1k =.
（2）证明：将（1）中所得1k =带入可知知：111123a b c
++=， 因为a ，b ，c 为正实数， 所以由柯西不等式得：
()2
111
23239
23a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++≥= ⎪⎝⎭ 当且仅当23a b c ==时，等号成立. 因此239a b c ++≥成立.. 【点睛】
本题的难点在于（2）的证明，证明时可利用柯西不等式，设1a ，2a ，3a ，
，n a ，
1b ，2b ，3b ，，n b 为实数，则有：
()()()2
2
222
2222
123123112233n n n n a
a a a
b b b b a b a b a b a b +++
++++
+≥+++
+，当且仅
当()01,2,3,,i b i n ==或存在一个数k 使得()1,2,3,,i i a kb i n ==时，等号成立.
22．（1）1,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
；（2）14.
【分析】
（1）利用绝对值不等式和已知条件得出15
|2|22
x x -++
=，解出x 的范围即可； （2）利用三个数的柯西不等式配凑整理即可得出结果. 【详解】 （1）115|2|(2)222x x x x ⎛
⎫-++
≥--+≥ ⎪⎝⎭， 又因为15|2|22
x x -++≤， 所以15|2|22
x x -++=， 当12x <-时，1351(2)2,2222x x x x ⎛
⎫---+=-+==- ⎪⎝
⎭舍去，
当122x -
≤≤时，15(2)22x x ⎛
⎫--++= ⎪⎝
⎭成立，
当2x >时，135(2)2,2222
x x x x ⎛
⎫-++
=-== ⎪⎝
⎭舍去， 则122M x
x ⎧
⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭
∣ （2）设集合M 中元素的最大值为2t =， 即
111
423a b c
++=. 又因为
2
21211111
9934993234334a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++≥+= ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝
所以即
2993a b c ++的最小值1
4
， 当且仅当34a =，38b =，1
4
c =时取等号. 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式和柯西不等式.属于中档题. 23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】
（Ⅰ）每个式子通分后把1用a b c ++代换后分子应用基本不等式可证结论； （Ⅱ）变形
111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，三个分式中分子a b c ++提取出来并变为
()()()1
2
b c a c a b ⎡⎤+++++⎣⎦，即原不等式左边 ()()()11
1132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=
+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭
，再用柯西不等式可证得结论． 【详解】 证明：（Ⅰ）
1111111118a b c b c a c a b a b c a b c a b c a b c ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=
⋅⋅=⋅⋅≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，当且仅当“a=b=c ”时取等号；
（Ⅱ）
111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=
+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭
22113333
222≥-=⨯-=，当且仅当“a =b =c ”时取等号. 【点睛】
本题考查用基本不等式和柯西不等式证明不等式成立，解题关键是要凑出基本不等式和柯西不等式的形式，然后才可得出结论，掌握基本不等式和柯西不等式是解题． 24．（1）2m =；（2）4
5
【分析】
（1）由绝对值三角不等式可得()()222f x x x x x ≥+--=+≥，即可得解；
（2）由柯西不等式可得()22222
1112(11)12a b a b ⎛⎫++++≥+ ⎪++⎝⎭
，结合222a b +=即可得解. 【详解】
（1）由题意()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥， 当且仅当0x =时等号成立， 故2m =；
（2）由题意222a b +=， 由柯西不等式得()222221112(11124)a b a b ⎛⎫++++≥+
⎪++⎭
=⎝， 当且仅当2
32a =
，2
12
b =时，等号成立， ∴
222211441235a b a b +≥=++++，故22
1112a b +++的最小值为
45. 【点睛】
本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，属于中档题. 25．（1）{|22}x x -≤；（2）6 【分析】
（1）利用零点分段讨论求解不等式；
（2）利用绝对值三角不等式求得6M =，利用柯西不等式求解最值. 【详解】
（1）322x x ⎧
≤-⎪⎨⎪≥-⎩或332268
x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或322x x ⎧⎪⎨⎪≤⎩∴{|22}x x -≤，
（2）∵()
()()|2323|66x x x f M --+=∴=
()()()
2
2
22222
112236,a
b c a b c ++++++=
当且仅当22a b c ==时“=”成立，所以2226,a b c ++所以最小值为6. 【点睛】
此题考查解绝对值不等式，利用零点分段讨论求解，利用绝对值三角不等式求解最值，结合柯西不等式求最值，需要注意考虑等号成立的条件. 26．见解析 【分析】
利用柯西不等式证明出()()2222
a b c b c a a b c b c a ⎛⎫++++≥++
⎪⎝⎭
，由此可证明出3a b c ++≤. 【详解】
由柯西不等式，得()()2223a b c a b c b c a b c a ⎛⎫
++=++++
⎪⎝⎭
222
2
2
2
⎡⎤⎡⎤=++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎢⎥⎣
⎦()2
2
a b c ≥=++， 所以3a b c ++≤．
【点睛】
本题考查利用柯西不等式证明不等式，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查推理能力，属于中等题.。