2018-2019学年上学期高三期中考试仿真卷(A卷)理科数学-教师版

2018-2019学年上学期高三期中考试仿真卷
理科数学（A ）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．[2018·广东六校]若复数z 满足12zi i =+，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．2i B ．i C ．1 D ．2
【答案】C
【解析】∵12zi i =+，∴122i
z i i
+=
=-，共轭复数2z i =+， ∴z 的共轭复数的虚部1．故选C ．
2．[2018·深圳实验]已知集合{}1,0,1,2A =-，集合{}23,B y y x x A ==-∈，则A B =I （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}1,1-
C ．{}1,1,2-
D ．{}0,1,2
【答案】B
【解析】集合{}1,0,1,2A =-，集合{}{}23,5,3,1,1B y y x x A ==-∈=---， 根据集合交集的概念得到{}1,1A B =-I ．故选B ．
3．[2018·敦煌中学]方程4log 7x x +=的解所在区间是（ ） A ．()1,2 B ．()34, C ．()5,6 D ．()67,
【答案】C
【解析】令函数()4log 7x f x x =+-， 则函数()f x 是()0+∞,上的单调增函数，且是连续函数．
∵()50f <，()60f >，∴()()560f f ⋅<，
∴故函数()4log 7x f x x =+-的零点所在的区间为()5,6， ∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6．故选C ．
4．[2018·长春外国语]已知1=a
，=b ()⊥-a a b ，则向量a 与向量b 的夹角为（ ） A ．
π
6
B ．
π4
C ．
π3
D ．
2π3
【答案】B
【解析】∵()⊥-a a b ；∴()0⋅-=a a b ；
∴11cos 0-=，a b
；∴cos =，
a b ； ∴向量a 与b 的夹角为
π
4
．故选B ． 5．[2018·南宁八中]已知3sin 5α=，322αππ<<，则7sin 2απ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
（ ） A ．3
5
B ．35
-
C ．
45 D ．45
-
【答案】C
【解析】∵3sin 5α=
，322
αππ<<， ∴4cos 5α=-，∴734sin sin cos 225αααππ⎛⎫⎛⎫
-=-=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．故选C ． 6．[2018·银川一中]A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生09-之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
402，978，191，925，273，842，812，479，569，683，231，357，394，027，506，588，730，113，537，779，则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（ ） A ．
1
4
B ．
25
C ．
710 D ．15
【答案】D
【解析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，
经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，
可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数， 所求概率为
41
205
=，故选D ． 此
卷只
装
订
不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
7．[2018·珠海一中]已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点()P x y ,的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩，设
z OP OA =⋅uu u v uu v
，则z 的最大值是（ ）
A ．6-
B ．1
C ．2
D ．4
【答案】D
【解析】根据题意以及不等式组得到可行域，如图，是由CBO 围成的三角形内部，
2z OP OA x y =⋅=+u u u v u u v ，变形为2y x z =-+，()20
12230x y C x y -=⎧⇒⎨
-+=⎩
,， 根据图像得到函数在过点()12C ,
时取得最大值z ，代入得到4z =．故选D ． 8．[2018·广东六校]某几何体的三视图如右图所示，数量单位为cm ，它的体积是（ ）
A
3cm B ．
39
cm 2
C
3cm D ．
327
cm 2
【答案】C
【解析】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，
∴(
)3111243332V Sh ==⨯+⨯．故选C ．
9．[2018·敦煌中学]若不等式22ln 3x x x ax ≥-+-对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()0-∞,
B ．(]4-∞,
C ．()0,+∞
D ．[)4,+∞
【答案】B
【解析】∵22ln 3x x x ax ≥-+-对()0,x ∈+∞恒成立， ∴3
2ln a x x x
≤++
在()0,x ∈+∞恒成立 令()3
2ln f x x x x =++，则()222
23231x x f x x x x +-=+-='．
由()0f x '>得1x >，即()f x 在()1+∞,上为增函数；、
由()0f x '<得01x <<，即()f x 在()01
,上为减函数； ∴()()min 14f x f ==，∴4a ≤，
∴实数a 的取值范围是(]4-∞,
．故选B ． 10．[2018·白城一中]若直线y x b =+
与曲线3y =b 的取值范围是（ ）
A
．11⎡-+⎣, B
．1⎡-+⎣ C
．1⎡⎤-⎣⎦
D
．1⎡⎤⎣⎦
【答案】C
【解析】
如图所示：曲线3y =
3y -= 平方可得()()()2
2
2341304x y y x -+-=≤≤≤≤,，
表示以()2,3A 为圆心，以2为半径的一个半圆．
由圆心到直线y x b =+的距离等于半径2
2=，
∴1b =+
1b =-
13b -≤，故选C ． 11．[2018·沁县中学]在锐角ABC △中，2A B =，则AB
AC
的取值范围是（ ）
A ．()0,3
B ．()1,2
C
．
D ．()1,3
【答案】B
【解析】在锐角ABC △中，2A B ∠=∠，()3045B ∠∈︒︒,
，
cos B ∈⎝⎭
，213cos ,42B ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭， ∴由正弦定理可知：3sin sin33sin 4sin sin sin sin AB c C B B B
AC b B B B
-====
()2234sin 4cos 11,2B B =-=-∈．故选B ．
12．[2018·哈尔滨六中]已知双曲线()22
122:100x y a b a b
Γ-=>>,的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆
222:134
x y Γ+=的离心率为e ，直线MN 过点2F 与双曲线交于M ，N 两点，若
112cos cos F MN F F M ∠=∠，且
11F M e F N
=，则双曲线1Γ的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A ．30︒，150︒
B ．45︒，135︒
C ．60︒，120︒
D ．15︒，165︒
【答案】C 【解析】
由题112cos cos F MN F F M ∠=∠，
∴112F MN F F M ∠=∠，∴1122MF F F c ==， 由双曲线的定义可得21222MF MF a c a ==--， ∵椭圆22
2:134
x y Γ+=
的离心率为12e ==， ∴
111
2
F M e F N
==
，∴14NF c =，242NF c a =-， 在12MF F △中，由余弦定理的()()
2
22
124224cos 22222c c a c c a
F F M c c a c
+---∠=
=
⋅⋅-， 在12NF F △中，由余弦定理可得()()
()
2
22
2212442164cos 224222c c a c a c ac
F F N c c a c c a +--+-∠==
⋅⋅--， ∵1212F F M F F N ∠+∠=π，
∴1212cos cos 0F F M F F N ∠+∠=，即()
2240222c a a c ac
c c c a -+-+=-，整理得222370a c ac +-=， 设双曲线的离心率为1e ，∴2113720e e -+=，解得12e =或1
3
（舍）．
∴222
4a b a +=，∴22
3a b =
，即b a
∴双曲线的渐近线方程为y =， ∴渐近线的倾斜角为60︒，120︒．故选C ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2018·南宁八中]执行如图所示的程序框图，若输入10n =，4m =，则输出的p =________．
【答案】5040
【解析】第一次循环，1k =，10n =，4m =，7p =； 第二次循环，2k =，10n =，4m =，56p =； 第三次循环，3k =，10n =，4m =，504p =； 第四次循环，4k =，10n =，4m =，5040p =； 故答案为5040．
14．[2018·金山中学]已知函数()74sin 2066f x x x π⎛π⎫
⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭
,的图像与直线y m =的三个交点的横
坐标分别为1x ，2x ，3x ，()123x x x <<，那么1232x x x ++的值是__________． 【答案】
53
π
【解析】函数()74sin 2066f x x x π⎛π⎫
⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭
,的图象取得最值有2个x 值，
分别为6
x π=
和23x π
=，
由正弦函数图象的对称性可得1226x x π+=⨯，23223
x x π
+=⨯．
故1231223452333x x x x x x x πππ++=+++=
+=
．故答案为53
π
． 15．[2018·深圳实验]在三棱锥D ABC -中，DC ⊥底面ABC ，6AD =，AB BC ⊥且三棱锥D ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为 _______ 【答案】36π
【解析】∵三棱锥D ABC -中，DC ⊥底面ABC ，∴DC AB ⊥， 又∵AB BC ⊥，DC 和CB 相交于点C ， 故得到AB ⊥面BCD ，故得到AB 垂直于BD ， 又∵DC 垂直于面ABC ，故DC 垂直于AC ，
故三角形ACD 和三角形ABD 均为直角三角形，有公共斜边AD ， 取AD 中点为O 点，
根据直角三角形斜边的中点为外心得到O 到ABCD 四个点的距离相等， 故点O 是球心，求得半径为3，
由球的面积公式得到2
436S R =π=π．故答案为36π．
16．[2018·日照联考]若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()f x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x x =∈R ，()()1
0g x x x
=
<，()2eln h x x =(e 为自然对数的底数)，有下列命题： ①()()()m x f x g x =-
在0x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-； ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1-；
④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线
”e y =-． 其中真命题的序号为__________．(请填写正确命题的序号) 【答案】①②④
【解析】结合题意逐一考查所给命题的真假：
①∵()()()2
1
m x f x g x x x -=-=
，0x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，则()322
121'20x m x x x x +=+=>， ∴()()()m x f x g x =-
在0⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递增，故①对； ②、③设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 成立， 即有10∆≤，240k b +≤，0b ≤， 又
1
kx b x
≤+对一切0x <成立，则210kx bx +-≤，即20∆≤，240b k +≤，0k ≤， 即有24k b ≤-且24b k ≤-，42166440k b k k ≤≤-⇒-≤≤， 同理可得40b -≤≤，故②对，③错；
④函数()f x 和()h x
的图象在x
)
，
因此若存在()f x 和()g x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线方程为(e y k x -=
，即e y kx =-， 由(
)()e f x kx x ≥-∈R
，可得2e 0x kx -+≥当x ∈R 恒成立， 则0∆≤
，即(2
0k -≤
，故k =
e y =-，
下面证明(
)e h x ≤-：
令(
)(
)e e 2eln G x h x x =--=--，则(
)'x G x x
=，
当x =()0G x '=，
当0x <时，()0G x '<
，当x >()0G x '>，
则当x ()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值． ∴(
)()e 0G x h x =--≥，则(
)e h x ≤-，当0x >时恒成立． ∴函数()f x 和()g x
存在唯一的隔离直线e y =-，故④正确． 故答案为①②④．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2018·邢台二中]已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式;
（2）若数列{}n b 满足()
21n n b n a n *=-+∈N ，求{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（1）12n n a -=；（2）221n n S n =+-．
【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则2a q =，23a q =， ∵2a 是1a 和31a -的等差中项，
∴()21321a a a =+-，即()
2211q q =+-，解得2q =， ∴12n n a -=．
（2）121212n n n b n a n -=-+=-+，
则()()
1 1321122
n n S n -=+++-++++⎡⎤⎣⎦L L ()212112212
12
n
n n n n +-⎡⎤-⎣⎦
=
+=+--． 18．（12分）[2018·南昌测试]中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军．在中国海军加快建设的大背景下，国产水面舰艇吨位不断增大、技术日益现代化，特别是国产航空母舰下水，航母需要大量高素质航母舰载机飞行员．为此中国海军在全国9省9所优质普通高中进行海航班建设试点培
育航母舰载机飞行员．2017年4月我省首届海军航空实验班开始面向全省遴选学员，有10000名初
中毕业生踊跃报名投身国防，经过文化考试、体格测试、政治考核、心理选拔等过程筛选，最终招收50名学员．培养学校在关注学员的文化素养同时注重学员的身体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动（下面简称“活动”），这批海航班学员在10月参加活动的次数统计如图所示：
（1）从海航班学员中任选2名学员，他们10月参加活动次数恰好相等的概率；
（2）从海航班学员中任选2名学员，用X 表示这两学员10月参加活动次数之差绝对值，求随机变量X 的分布列及数学期望．
【答案】（1）
18
49
；（2）见解析． 【解析】（1）由频率分布表可看出：50名海航班学员中参加活动一次有10人， 参加活动2次有25人，参加活动3次有15人，据此计算可得()18
49
P A =
． （2）依题意，随机变量X 的取值有0、1、2，求解相应的概率值可得， 从海航班中任选2名学员，
记事件B ：“这两人中一人参加1次活动，一人参加2次活动， 事件C ：“这两人中一人参加2次活动，一人参加3次活动”， 事件D ：“这两人中一人参加1次活动，一人参加3次活动”，
∴()()36098P X P A ===；()()()1111
10252515
2
50
C C C C 501C 98P X P B P C +==+==， ()()11
1015
2
50C C 122C 98
P X P D ====， ∴随机变量X 的分布列为：
∴随机变量X 的期望5012237
989849
EX ⨯=
+=
． 19．（12分）[2018·眉山一中]如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．
（1）证明：PB ∥平面AEC ；
（2）设1AP =
，AD =A 到平面PBC
D A
E C --的大小．
【答案】（1）见解析；（2）
π
3
． 【解析】（1）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ， ∵ABCD 为矩形，∴O 为BD 的中点， 又E 为PD 的中点，
∴EO PB ∥，EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴PB ∥平面AEC ；
（2）∵PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，∴AB ，AD ，AP 两两垂直 设AB t =
，则PB =
由A PBC P ABC V V --=
有11
33
PBC ABC S S PA ⋅=⋅△△，
即111113232⋅=⋅⋅，解得3
2
t =； 以A 为坐标原点，AB uu u v
的方向为错误！未找到引用源。

轴的正方向，AP uu u v 为单位长，建立空间直角
坐标系A xyz -
，则()
00D
，102E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,
，102AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
uu u v ,，3,0,02B ⎛⎫
⎪⎝⎭，
则302C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，32AC ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
uuu v ， 设()1x y z =,,n 为平面ACE 的法向量，则1100AC AE ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩uuu v
uu u v
n n ，
即3
02
10
2
x y z ⎧=⎪⎪+=
，可取1=-⎝n ； 又()2 100=,
,n 为平面DAE 的法向量，
由12121213cos 42,=⋅==⋅n n n n n n ，故二面角D AE C --的大小为π
3．
20．（12分）[2018·舒城中学]已知定点()10F ,，定直线l ：1x =-，动圆M 过点F ，且与直线l 相切．
（1）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；
（2）过点()12D ,作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C 于异于点D 的两点P ，Q ，试证明直线PQ
的斜率为定值，并求出该定值． 【答案】（1）24y x =；（2）1-．
【解析】（1）设点M 到直线l 的距离为d ，依题意MF d =， 设()M x y ,
1x +，化简得24y x =；
∴点M 的轨迹C 的方程为2
4y x =；
（2）设直线DP 的斜率为()0k k ≠，则直线DQ 的斜率为k -．
令1t k =，联立方程组()2124x t y y x
⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消去 x 并整理得24840y ty t -+-=，
设()
p p P x y ,，∵点D 的坐标为()12,
，∴284p y t =-，故42p y t =-， 从而点P 的坐标为()
244142t t t -+-,，
用t -去换点P 坐标中的t 可得点Q 的坐标为()
244142t t t +-+,-， ∴直线PQ 的斜率为
()()
()()
2242421441441t t t t t t ----=-++--+．
21．（12分）[2018·南昌联考]已知函数()()2e e e x f x x ax =-+，a ∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）0a >． 【解析】（1）由题()()
1'e 2x f x x a +=+， （i ）当0a ≥时，1e 20x a ++>
故()0x ∈-∞,
时，()()
1'e 20x f x x a +=+<函数()f x 单调递减， ()0x ∈+∞,时，()()
1'e 20x f x x a +=+>函数()f x 单调递增；
（ii ）当e
02
a -<<时，
故()()ln 21x a ∈-∞--,时，()()
1'e 20x f x x a +=+>，函数()f x 单调递增， ()()ln 210x a ∈--,时，()()
1'e 20x f x x a +=+<，函数()f x 单调递减，
()0x ∈+∞,时，()()
1'e 20x f x x a +=+>，函数()f x 单调递增；
（iii ）当e
2
a =-时，()()
1'e 20x f x x a +=+≥恒成立，函数()f x 单调递增；
（iv ）当e
2
a <-时，故()0x ∈-∞,
时，()()
1'e 20x f x x a +=+>函数()f x 单调递增， ()()0ln 21x a ∈--,时，()()
1'e 20x f x x a +=+<函数()f x 单调递减， ()()ln 21x a ∈--+∞,时，()()
1'e 20x f x x a +=+>函数()f x 单调递增；
（2）当0a =时，()()e e e 0x f x x =-=有唯一零点1x =，不符合题意；
由（1）知：当0a >时，故()0x ∈-∞,时，函数()f x 单调递减， ()0x ∈+∞,时，函数()f x 单调递增，
x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞，()0e 0f =-<必有两个零点；
当e
02a -<<时，故()()ln 21x a ∈-∞--,时，函数()f x 单调递增，
()()ln 210x a ∈--,时，函数()f x 单调递减，
()0x ∈+∞,时，函数()f x 单调递增，()()()()()()2
ln 212ln 21ln 210f a a a a a --=---+--<， ()0e 0f =-<，函数()f x 至多有一个零点；
当e
2a =-时，函数()f x 单调递增，函数()f x 至多有一个零点；
当e
2a <-时，故()0x ∈-∞,
时，函数()f x 单调递增， ()()0ln 21x a ∈--,时，函数()f x 单调递减， ()()ln 21x a ∈--+∞,时，函数()f x 单调递增，
()0e 0f =-<，函数()f x 至多有一个零点；
综上所述：当0a >时，函数()f x 有两个零点．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2018·长春外国语]
已知某圆的极坐标方程为：2cos 604ρθ
π⎛
⎫
--+= ⎪⎝
⎭
． （1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （2）若点()P x y ,在该圆上，求x y +的最大值和最小值． 【答案】（1
）()22x y α
αα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数；
（2）6；2． 【解析】（1
）2cos 604ρθπ⎛
⎫--+= ⎪⎝
⎭，
即2cos sin 022ρρθρθ⎫-+=⎪⎪⎭，即22
4460x y x y +--+=，
∴圆的参数方程()22x y α
αα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数．
（2）由（1
）圆的参数方程为22x y α
α⎧=⎪⎨=⎪⎩，
∴)4sin cos 42sin 4x y αααπ⎛
⎫+=++=++ ⎪⎝
⎭．
由于1sin 14απ⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭，
∴26x y ≤+≤，
故x y +的最大值为6，最小值等于2． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2018·黄陵中学]已知函数()()223f x x x m m =+++∈R ．
（1）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；
（2）()0x ∀∈-∞，
，都有()2
f x x x
≥+恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）122⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦，；（2
）3m ≥--
【解析】（1）∵2235x x ++≤，
等价于322235x x x ⎧<-⎪⎨⎪---≤⎩，或3
2
2235x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-++≤⎩，或02235x x x >⎧⎨++≤⎩， 得322x -≤<-或302x -≤≤或1
02x <≤；
解集为122x ⎡
⎤∈-⎢⎥⎣
⎦，．
（2）化为min 2223x x x m x ⎛
⎫++--≥- ⎪⎝
⎭
由于()2232233x x x x ++≥-+=， ∴(
)22x x x x ⎛⎫
--
=-+-≥ ⎪⎝⎭
，当且仅当x =时取“=”
∴3m ≥--。