5.4 二次函数与一元二次方程(课件)九年级数学下册(苏科版)

01
问题引入
(2)利用判别式法检验(1)中结论是否正确。
【分析】
对于x2+x-2=0，∆=9>0，方程有两个不同的实数根；
对于x2-6x+9=0，∆=0，方程有两个相同的实数根；
对于x2-x+1=0，∆=-3<0，方程没有实数根。
02
图像法确定一元二次方程的根的情况
知识精讲
y=ax2+bx+c(a≠0)的图
且对称轴为x=3，
∴另一个交点为(5，0)，
∵y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标
=ax2+bx+c=0(a≠0)的解，
∴x²-6x+n=0的另一个解x2=5。
03
典例精析
例3、(1)求抛物线y=kx2+(2k+1)x+2的图像与x轴的两个交点；
(2)若(1)中两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，试求出该
（2）方程ax²+bx+c-3=0的两根分别为__________________;
（3）方程ax²+bx+c=2的根的情况是__________________;
（4）方程ax²+bx+c=4的根的情况是__________________。
可以看作：抛物线y=ax²+bx+c与直线y=3联立所得，
（2）方程ax²+bx+c-3=0的两根分别为__________________;
有两个不同的实数根
（3）方程ax²+bx+c=2的根的情况是__________________;
（4）方程ax²+bx+c=4的根的情况是__________________。
没有实数根
可以看作：抛物线y=ax²+bx+c与直线y=4联立所得，
教学目标
01
理解二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系，
能根据二次函数y=ax2+bx+c的图像确定一元二次方程
ax2+bx+c=0的根的情况
02
掌握直线与抛物线的交点问题——会求直线与抛物线的交点坐
标，并会判断直线与抛物线的交点个数
图像法确定一元二次方程
的根的情况
故方程的根的情况需分析抛物线y=ax²+bx+c与直线y=4的交点情况。
03
典例精析
例2、(1)求直线y=x+1与抛物线y=x2-1的交点坐标；
(2)求直线y=2x-6与抛物线y=2x²-6x+4的交点坐标。
=+
2-1=x+1，
解：(1)联立
，得：x
= −
即x2-x-2=0，(x+1)(x-2)=0，
Q1：求直线y=1与抛物线y=x2-3x+3的交点坐标
=
2-3x+3=1，
解：联立
，得：x
= − +
【也可看作直接将y=1代入y=x2-3x+3】
即x2-3x+2=0，(x-1)(x-2)=0，
解得：x=1或x=2，则直线与抛物线的交点坐标为(1,1)，(2,1)。
直线与抛物线联立，化简可得一元二次方程
解：令y=0，即(x-5)(x-7)=0，解得：x=5或x=7，
∴二次函数y=(x-5)(x-7)的图像与x轴的交点坐标为(5,0)和(7,0)。
03
典例精析
例2、二次函数y=x2-6x+n的部分图像如图所示，若关于x的一元
二次方程x²-6x+n=0的一个解x1=1，求另一个解x2。
解：∵二次函数的图像与x轴的一个交点为(1,0)，
（2）方程ax²+bx+c-3=0的两根分别为__________________;
有两个不同的实数根
（3）方程ax²+bx+c=2的根的情况是__________________;
（4）方程ax²+bx+c=4的根的情况是__________________。
可以看作：抛物线y=ax²+bx+c与直线y=2联立所得，
若不存在，请说明理由。（友情提示：AB=|x1-x2|）
(2)存在，理由如下：根据韦达定理：x1+x2=m-3，x1+x2=-m，
∴AB=|x1-x2|=
+

− =
∴当m=1时，AB取最小值 =2 。
−

+ =−源自+ ，直线与抛物线的交点问题
01
问题引入
(4,0)
(-1,0)
B的坐标分别是A_______，B_______；
-1或4
(2)当x=_______时，函数的值y=0；
(3)求一元二次方程x2-3x-4=0的解；
x=-1或x=4
01
问题引入
(4)二次函数y=x2-3x-4与x轴的交点，与一元二次方程x2-3x-4=0的
解之间有什么关系？
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的
只有一个公共点，求c的取值范围。
解：(2)∵当-1<x<1时，y=4x2+2x+c与x轴有且只有一个公共点，

∴①当∆=4-16c=0时，解得：c= ，



2
即y=4x +2x+ ，令y=0，解得：x=- ，成立；



②当∆=4-16c>0时，解得：c< ，

当x=-1时，y=2+c≤0，当x=1时，y=6+c>0，解得：-6<c≤-2；
典例精析
例3、(1)求抛物线y=kx2+(2k+1)x+2图像与x轴的两个交点；
(2)若(1)中两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，试求出该
二次函数的表达式；
(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点，直接写出定点的坐标。
(2)∵(1)中两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴k=1，
= − +
∵∆=16-20<0，
∴直线与抛物线无交点。
03
典例精析
例3、已知a，b是关于x的方程(x-a)(x-b)=2的两个根，其中a<b，
α<β，则实数a，b，α，β的大小关系可能是（ B ）
A. a<α<β<b
B. a<α<b<β
C. α<a<β<b
D. α<a<b<β
∴x2+2x=0，
∴x=-2或x=0，
∴定点的坐标为(-2,0)或(0,2)。
03
典例精析
例4、抛物线y=ax2-2x+3与x轴有两个交点，求a的取值范围。
解：∵y=ax2-2x+3与x轴有两个交点，

∴∆=4-12a>0且a≠0，解得：a< 且a≠0。

03
典例精析
例5、已知抛物线y=4x2+2x+c，且当-1<x<1时，抛物线与x轴有且
01
问题引入
Q1：二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有怎样的
关系？
令y=0，得：ax2+bx+c=0
当二次函数y=ax2+bx+c的y=0时，有一元二次方程ax2+bx+c=0
01
问题引入
Q2：观察y=x2-3x-4的图像，回答问题：
(1)二次函数y=x2-3x-4的图像与x轴的交点A、

综上，c= 或-6<c≤-2。

03
典例精析
例6、已知关于x的一元二次方程：x2-(m-3)x-m=0
(1)试判断原方程根的情况；
(2)若抛物线y=x2-(m-3)x-m与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，则A，
B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；
若不存在，请说明理由。（友情提示：AB=|x1-x2|）
解得：x=-1或x=2，则直线与抛物线的交点坐标为(-1,0)，(2,3)；
03
典例精析
例2、(1)求直线y=x+1与抛物线y=x2-1的交点坐标；
(2)求直线y=2x-6与抛物线y=2x²-6x+4的交点坐标。
= −
2-4x+5=0，
(2)联立
，得：2x²
-6x+4=2x-6，即x
（二）判断直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的交点个数：
∵联立所得的一元二次方程的实数根=交点的横坐标，
∴交点个数可通过联立所得的一元二次方程的根的情况判断；
(1)当∆>0时，两个不同的实数根→直线与抛物线有两个不同的交点，
(2)当∆=0时，两个相同的实数根→直线与抛物线有一个交点，
横坐标
=
一元二次方程ax2+bx+c=0的解
01
问题引入
Q3：(1)观察二次函数y=x2+x-2、y=x2-6x+9、y=x2-x+1的图像，分
别说出一元二次方程x2+x-2=0、x2-6x+9=0、x2-x+1=0的根的情况。
两个交点
一个交点
没有交点
→两个不同的实数根 →两个相同的实数根 →没有实数根
ax2+bx+c=0(a≠0)有
像与x轴有一个交点
两个相同的实数根
ax2+bx+c=0(a≠0)没
像与x轴有没有交点
有实数根
∆=b2-4ac<0
02
知识精讲
y=ax2+bx+c(a≠0)的图
像与x轴有两个交点
y=ax2+bx+c(a≠0)的图
像与x轴有一个交点
y=ax2+bx+c(a≠0)的图
像与x轴有没有交点
图像法确定一元二次方程的根的情况
03
典例精析
例1、求二次函数y=(x-5)(x-7)的图像与x轴的交点坐标。
故方程的根的情况需分析抛物线y=ax²+bx+c与直线y=2的交点情况。
03
典例精析
例1、抛物线与直线y=m有交点，图中抛物线的表达式为y=ax²+bx+c，
根据图像判断下列方程根的情况。
x1=-2.5，x2=0.5
（1）方程ax²+bx+c=0的两根分别为__________________;
x1=-1，x2=-1
可以看作：
抛物线y=(x-a)(x-b)与直线y=2联立所得
课后总结
图像法确定一元二次方程的根的情况:
y=ax2+bx+c(a≠0)的图
ax2+bx+c=0(a≠0)有
像与x轴有两个交点
两个不同的实数根
∆=b2-4ac>0
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
与x轴交点的横坐标
y=ax2+bx+c(a≠0)的图
解：(1)∵∆=(m-3)2+4m=m2-2m+9=(m-1)2+8>0，
∴原方程有两个不同的根；
03
典例精析
例6、已知关于x的一元二次方程：x2-(m-3)x-m=0
(1)试判断原方程根的情况；
(2)若抛物线y=x2-(m-3)x-m与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，则A，
B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；
01
问题引入
Q2：求直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+7的交点坐标
=+
2-4x+7=x+1，
解：联立
，得：x
= − +
即x2-5x+6=0，(x-2)(x-3)=0，
解得：x=2或x=3，则直线与抛物线的交点坐标为(2,3)，(3,4)。
02
直线与抛物线的交点问题
知识精讲
二次函数的表达式；
(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点，直接写出定点的坐标。
解：(1)令y=0，即kx2+(2k+1)x+2=(kx+1)(x+2)=0，

解得：x=- 或x=-2，


2
∴抛物线y=kx +(2k+1)x+2图像与x轴的两个交点为(- ,0)，(-2,0)；

03
(3)当∆<0时，没有实数根→直线与抛物线没有交点。
03
典例精析
例1、抛物线与直线y=m有交点，图中抛物线的表达式为y=ax²+bx+c，
根据图像判断下列方程根的情况。
x1=-2.5，x2=0.5
（1）方程ax²+bx+c=0的两根分别为__________________;
x1=-1，x2=-1
∴y=x2+3x+2；
03
典例精析
例3、(1)求抛物线y=kx2+(2k+1)x+2图像与x轴的两个交点；
(2)若(1)中两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，试求出该
二次函数的表达式；
(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点，直接写出定点的坐标。
(3)解：∵y=kx2+(2k+1)x+2=(x2+2x)k+x+2恒过定点，
（一）求直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的交点坐标：
= +
联立
= + +
，得一元二次方程：ax2+(b-k)x+c-b=0，
在方程有解的情况下，解一元二次方程得：交点的横坐标，
将横坐标代入直线方程得：交点的纵坐标。
02
知识精讲
直线与抛物线的交点问题
故方程的两根=抛物线y=ax²+bx+c与直线y=3交点的横坐标。
03
典例精析
例1、抛物线与直线y=m有交点，图中抛物线的表达式为y=ax²+bx+c，
根据图像判断下列方程根的情况。
x1=-2.5，x2=0.5
（1）方程ax²+bx+c=0的两根分别为__________________;
x1=-1，x2=-1
ax2+bx+c=0(a≠0)有
像与x轴有两个交点
两个不同的实数根
y=ax2+bx+c(a≠0)的图
ax2+bx+c=0(a≠0)有
像与x轴有一个交点
两个相同的实数根
∆=b2-4ac>0
∆=b2-4ac=0
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标=ax2+bx+c=0(a≠0)的解