3个经典Ramsey数R(3,t)的新下界

3个经典Ramsey数R(3,t)的新下界
罗海鹏;苏文龙;吴康;黎贞崇
【摘要】把素数阶循环图的某些性质移植到一般阶循环图,改进团数的计算方法,
获得3个经典Ramsey数R(3,t)的新下
界:R(3,36)≥238,R(3,37)≥243,R(3,38)≥255.
【期刊名称】《桂林理工大学学报》
【年(卷),期】2008(028)002
【总页数】3页(P273-275)
【关键词】Ramsey数;下界;循环图
【作者】罗海鹏;苏文龙;吴康;黎贞崇
【作者单位】广西科学院,南宁,530007;梧州学院,广西,梧州,543002;华南师范大学,广州,510631;广西科学院,南宁,530007
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
确定Ramsey数R(s，t)是组合数学中非常困难的问题［1］。

1955年，R E Greenwood与A M Gleason［2］在确定历史上第一批Ramsey数的准确值的时候，曾用循环图得到R(3，3)≥6，R(3，4)≥9，R(3，5)≥14，R(4，4)≥18等下界。

后世的学者沿用这种方法，得到一些新的成果，动态综述(文献［3］)记录了迄今
已知的一些经典Ramsey数的准确值和上下界。

用循环图研究经典Ramsey数的下界的主要困难是计算图的团数。

笔者等在文献
［4－12］中利用素数阶循环图研究经典Ramsey数的下界，能够充分运用有限域的性质提高运算效率，因而得到的一些下界被文献［3］的各种版本所引用。

本文把素数阶循环图的某些性质移植到一般阶循环图，改进了团数的计算方法，得到3个经典Ramsey数的新下界。

给定整数n≥5，令m=［n/2］。

对于整数s＜t，记［s，t］={s，s+1，…，t}。

令
以下除非特别说明，所有模n整数的运算结果都理解为模n后属于Zn，并用通常的等号“=”表示“模n相等”。

定义1 对于集合S=［1，m］的一个2部分拆S=S1∪S2，记Ai={x|x∈Si或－x∈Si}，设n阶完全图Kn的顶点集V=Zn，边集E是Zn的所有2元子集的集且有分拆E=E1∪E2，其中
把Ei中的边叫做Ai色的，记Kn中Ai色边所导出的子图为Gn(Ai)，其团数记为［Gn(Ai)］。

按照参数集合A1或A2(即S1或S2)把Kn的边2－染色，得到n阶循环图
Gn(Ai)。

据Ramsey定理［1］即得R(［Gn(A1)］+1，［Gn(A2)］+1)≥n+1。

考察Gn(Ai)的团和团数。

注意到图Gn(Ai)是顶点可迁的，其团数等于Gn(Ai)中含顶点0的团的最大阶，因此只须考察含顶点0的团。

根据定义1可知这样的团的其他非零顶点是集合Ai的元。

故有
引理1 记图Gn(Ai)中顶点集为Ai的导出子图为Gn［Ai］，其团数为［Ai］，则有［Gn(Ai)］=［Ai］+1。

于是求Gn(Ai)的团数就转化为求Gn［Ai］的团数。

为了求得［Ai］，引进Ai的一个全序。

对于任意a∈Ai，考察顶点a的度数di(a)。

记
由定义1知Ai=－Ai，故Zn到自身的变换f:x→－x是Gn(Ai)的自同构。

由此易
知
故有di(a)=di(－a)。

即Ai的二元子集{a，－a}的两个元的度数相等。

易知，二元子集{a，－a}中有且仅有一个元属于Si。

当n为偶数且a=m∈Si时
a=－a，此时二元子集{a，－a}退化为一元子集{a}。

为了叙述简便，把Ai的二元
子集{a，－a}与退化了的一元子集{a}都形式地记为{a，－a}。

定义2 设x∈Si，记
在Ai上的序≺规定如下。

设a，b∈Si，则有:
(1)Ai的子集{a，－a}对于序≺构成区间，并且当a≠－a时a≺－a。

(2)对于Ai中分属不同子集的元x∈{a，－a}和y∈{b，－b}，规定x≺y当且仅当
di(a) ＜di(b)，或者当 di(a)=di(b)时a＜b。

由上述讨论，易知序≺是明确定义的，并且(Ai，≺)是全序集。

x≺y称为x前于y。

引理2 如果对于任意x∈Si，都有di(x)= 0，那么［Ai］=1。

证明用反证法证明这个结论。

假设对于任意x∈Si，都有di(x)=0，且有［Ai］≥2，则［Gn(Ai)］≥3，在图Gn(Ai)中有3阶团{0，x，y}，其中x，y∈Ai且x－y∈Ai。

有如下情形:
如果x或y∈Si，就有di(x)≥1或di(y)≥1，与已知条件矛盾。

如果－x与－y∈Si，作Gn(Ai)的自同构变换f:x→－x，则{0，－x，－y}也是图
Gn(Ai)的3阶团，就有－y∈Di(－x)，di(－x)=|Di(－x)|≥1，与已知条件矛盾。

定义3 全序集(Ai，≺)上的长为k(k≥1)的链x0≺x1≺…≺xk称为起点为x0的长为
k的Ai色链，如果对于0≤h＜j≤k有xh－xj∈Ai。

起点是x0的链的最大长记为
li(x0)。

如果起点是x0的长为k≥1的链不存在，就令li(x0)=0。

引理3
证明设［Ai］=1，即对于任意a∈Si与y∈Ai，恒有y－a∉Ai，据定义3有
li(a)=0。

此时就有max{li(a):a∈Si}=0，引理3成立。

考察［Ai］=1+k(k≥1)的情形。

根据定义3可知链x0≺x1≺…≺xk的k+1个元构成Gn［Ai］的一个团，即得［Ai］≥1+max{li(a)|a∈Si}。

再证［Ai］
≤1+max{li(a)|a∈Si}。

设［Ai］=1+k≥2，则Gn［Ai］中有k+1个顶点按≺排序后得(Ai，≺)上的长为k 的链，再在(Ai，≺)上所有长为k的链中取起点按≺来说最前面的一条，记为
x0≺x1≺…≺xk，我们断言一定有x0∈Si。

假若不然，即－x0∈Si。

作Zn到自身的变换f: x→－x，易知这是Gn［Ai］的自同构，它把Gn［Ai］中k+1个顶点的团{x0，x1，…，xk}变成另一个团{－x0，
－x1，…，－xk}。

根据定义3可知，这k+1个元－x0，－x1，…，－xk在(Ai，≺)上构成长为k的链。

由定义2所规定的全序集(Ai，≺)的排序方式可知这条Ai
色链可表示为－x0≺－x1≺…≺－xk，其起点－x0≺x0。

因此原来给定的链
x0≺x1≺…≺xk不是起点按≺来说最前的一条，矛盾。

于是断言x0∈Si为真，从而有［Ai］≤1+max{li(a)|a∈Si}。

引理3得证。

例1 给定n=45，令S1={1，3，5，12，19}。

根据引理2易知［Gn(A1)］=2。

为了计算Gn［A2］，根据定义2得到
(A2，≺)={10，－10，8，－8，9，－9，11，－11，13，－13，15，－15，16，－16，17，－17，18，－18，20，－20，22，－22，6，－6，21，－21，4，－4，14，－14，2，－2，7，－7}，
D2(10)={y∈A2︱2－y∈A2}={－10，8，－8，－11，－13，－15，16，17，
－17，18，－18，20，－20，－22，6，－6，21，－21，4，－4，14，－14，2，－7}。

对D2(10)用回溯法，得到Gn［A2］的以10为起点的第一条长为8的A2色链:
此后没有以10为起点的更长的 A2色的链，即l2(10)=8。

进一步计算表明，在
Gn［A2］中对于任意起点a∈ S2，都没有更长的 A2色的链，故有
max{l2(a)|a∈S2}=8。

根据引理3得［A2］=9。

根据引理1［Gn(A2)］=10。

根据Ramsey定理即得R(3，11)≥45。

由文献［3］可知，这里得到的R(3，11)≥45是迄今已知的最好的一个下界。

这是用循环图计算Ramsey数下界的简单例子。

一般地说，对于较大的整数n以
及较大的团数［A2］，用回溯法计算以xj∈S2为起点的A2色链的运算量非常巨大。

注意到，引理3表明，为了计算Gn［Ai］的团数，只需寻求以a∈Si为起点的Ai色的链就可以了，这样能够减少一半运算量。

为了进一步减少回溯的运算量，受到人工智能技术中的深度优先与宽度优先等原则的启发，在图Gn［Ai］中考虑“顶点度数小者优先”，即按照定义2的方法排序。

实践表明，这种方法在回溯
过程中可以节省许多运算量，从而具有较高的运算效率。

在以下关于定理1的证
明中，采用上述算法所需要的运算时间，仅是通常按字典排列法的运算时间的十几分之一，甚至几十分之一。

定理 1 R(3，36)≥ 238，R(3，37)≥ 243，R(3，38)≥255。

证明为了简便，以下省略按照上述方法计算团数过程的叙述，只写出整数n与参
数集S1，以及计算得到的R(3，t)的新下界。

1)取整数n=237，令S1={1，4，12，17，20，26，28，39，47，50，57，60，66，81，91，102，112}，计算得R(3，36)≥238。

2)取整数n=242，令S1={1，3，5，9，15，27，38，45，51，58，68，75，79，81，100，107，114，121}，计算得R(3，37)≥243。

3)取整数n=254，令S1={1，4，11，14，30，33，35，48，51，54，56，69，75，92，95，101，113，121}，计算得R(3，38)≥255。

在CPU为AMD3600+的计算机上完成上述运算的时间约为15 h。

【相关文献】
［1］Bondy J A，Murty U S R．Graph theory with applications［M］．Great Britan:The Macmillan Press Ltd，1976．
［2］Greenwood R E，Gleason A M．Combinatorial relations and chromatic graphs ［J］．Canadian Journal of Mathematics，1955(7):1－7．
［3］Radziszowski S P．Small Ramsey numbers［J/OL］．The Electronic Journal of Combinatorics，2006，Dynamic Survey 1，revision#11:1－60，
http://www．combinatorics．org．
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［5］罗海鹏，苏文龙，李乔．经典Ramsey数R(6，12)，R(6，14)和R(6，15)的新下界［J］．科学通报，1998，43(12):1336－1337．
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