吉州区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

吉州区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、
乙两人的平均得分分别
、
，则下列判断正确的是（ ）
A
．
＜，乙比甲成绩稳定 B
．
＜，甲比乙成绩稳定 C
．
＞
，甲比乙成绩稳定
D
．
＞
，乙比甲成绩稳定
2． 若变量x y ，满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）
A ．-5
B ．-4 C.-2 D ．3 3． “p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
4． 双曲线E 与椭圆C ：x 29＋y 2
3＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积
为π，则E 的方程为（ ） A.x 23－y 2
3＝1 B.x 24－y 2
2＝1 C.x 25
－y 2
＝1 D.x 22－y 2
4
＝1 5． 下列函数中，为偶函数的是（ ）
A ．y=x+1
B ．
y= C ．y=x 4 D ．y=x 5
6． 已知α∈（0，π），且sin α+cos α
=，则tan α=（ ） A
．
B
．
C ．
D
．
7． 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos
2）a n +sin
2
，则该数列的前10项和为（ ）
A ．89
B ．76
C ．77
D ．35
8． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}的元素个数为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．9
9． 直线2x+y+7=0的倾斜角为（ ） A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．不存在
10． 如果命题p ∨q 是真命题，命题￢p 是假命题，那么（ ） A ．命题p 一定是假命题 B ．命题q 一定是假命题
C ．命题q 一定是真命题
D ．命题q 是真命题或假命题
11．已知x ＞1
，则函数的最小值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
12．二项式（x 2
﹣）6的展开式中不含x 3项的系数之和为（ ） A ．20 B ．24
C ．30
D ．36
二、填空题
13．已知x ，y 为实数，代数式222
2)3(9)2(1y x x y ++
-++-+的最小值是 .
【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.
14．定义在R 上的可导函数()f x ，已知()
f x y e =′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．
上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，_________.
10月）】已知函数()f x xlnx ax ＝－＋在()0e ，上是增函
[]
03x ln ∈，时，函数g （x ）的最大值M 与最小值m 的差为32
，则a 的值
为______.
17．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方 法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 ________．
【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．
18．若函数()f x 的定义域为[]1,2-，则函数(32)f x -的定义域是 ．
三、解答题
19．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲． 已知函数f （x ）＝|x ＋1|＋2|x －a 2|（a ∈R ）．
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238
（1）若函数f（x）的最小值为3，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象围成一个三角形，求m的范围，并求围成的三角形面积的最大值．
20．将射线y=x（x≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cosθ，sinθ）．
（Ⅰ）求点A的坐标；
（Ⅱ）若向量=（sin2x，2cosθ），=（3sinθ，2cos2x），求函数f（x）=•，x∈[0，]的值域．21．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．求函数f（x）的解析式．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C的离心率为
2，A、B分别为左、右顶点，
2
F为其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的
动点，且PA PB的最小值为-2.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若过左焦点1F 的直线交椭圆
C 于M N 、两点，求22F M F N 的取值范围.
23．已知﹣2≤x ≤2，﹣2≤y ≤2，点P 的坐标为（x ，y ）
（1）求当x ，y ∈Z 时，点P 满足（x ﹣2）2+（y ﹣2）2
≤4的概率； （2）求当x ，y ∈R 时，点P 满足（x ﹣2）2+（y ﹣2）2
≤4的概率．
24．已知函数f （x ）=log a （x 2+2），若f （5）=3； （1）求a 的值；
（2）求的值；
（3）解不等式f （x ）＜f （x+2）．
吉州区第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：由茎叶图可知=（77+76+88+90+94）=，
=（75+86+88+88+93）==86，则＜，
乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，
故选：A
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．
2．【答案】B
【解析】
试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系31
y
22
x z
=+，直线系在可行域内的两个临界点分别为)2,0(A和)0,1(C，当直线过A点时，32224
z x y
=-=-⨯=-，当直线过C点时，32313
z x y
=-=⨯=，即的取值范围为]3,4
[-，所以Z的最小值为4-.故本题正确答案为B.
考点：线性规划约束条件中关于最值的计算.
3．【答案】B
【解析】
试题分析：因为p假真时，p q
∨真，此时p⌝为真，所以，“p q
∨真”不能得“p⌝为假”，而“p⌝为假”时p为真，必有“p q
∨真”，故选B.
考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用.
4． 【答案】
【解析】选C.可设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，
渐近线方程为y ＝±b
a
x ，即bx ±ay ＝0，
由题意得E 的一个焦点坐标为（6，0），圆的半径为1， ∴焦点到渐近线的距离为1.即
|6b |b 2
＋a
2
＝1，
又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝5，
∴E 的方程为x 25
－y 2
＝1，故选C.
5． 【答案】C
【解析】解：对于A ，既不是奇函数，也不是偶函数， 对于B ，满足f （﹣x ）=﹣f （x ），是奇函数，
对于C ，定义域为R ，满足f （x ）=f （﹣x ），则是偶函数， 对于D ，满足f （﹣x ）=﹣f （x ），是奇函数，
故选：C ．
【点评】本题主要考查了偶函数的定义，同时考查了解决问题、分析问题的能力，属于基础题．
6． 【答案】D
【解析】解：将sin α+cos α=①两边平方得：（sin α+cos α）2
=1+2sin αcos α=
，即2sin αcos α=﹣＜0，
∵0＜α＜π，∴＜α＜π，
∴sin α﹣cos α＞0，
∴（sin α﹣cos α）2
=1﹣2sin αcos α=
，即sin α﹣cos α=②，
联立①②解得：sin α=，cos α=﹣，
则tan α=﹣． 故选：D ．
7． 【答案】C
【解析】解：因为a 1=1，a 2=2，所以a 3=（1+cos
2
）a 1+sin
2
=a 1+1=2，a 4=（1+cos 2π）a 2+sin 2π=2a 2=4．
一般地，当n=2k ﹣1（k ∈N *
）时，
a 2k+1=[1+cos 2
]a 2k ﹣1+sin 2
=a 2k ﹣1+1，即a 2k+1﹣a 2k ﹣1=1．
所以数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k．
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=（1+cos2）a2k+sin2=2a2k．
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k．
该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77
故选：C．
8．【答案】B
【解析】解：①x=0时，y=0，1，2，∴x﹣y=0，﹣1，﹣2；
②x=1时，y=0，1，2，∴x﹣y=1，0，﹣1；
③x=2时，y=0，1，2，∴x﹣y=2，1，0；
∴B={0，﹣1，﹣2，1，2}，共5个元素．
故选：B．
9．【答案】C
【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣2，即可判断出结论．
【解答】解：设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，
则tanθ=﹣2，
则θ为钝角．
故选：C．
10．【答案】D
【解析】解：∵命题“p或q”真命题，则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题，
又∵命题“非p”也是假命题，
∴命题p为真命题．
故命题q为可真可假．
故选D
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．11．【答案】B
【解析】解：∵x＞1∴x﹣1＞0
由基本不等式可得，
当且仅当即x﹣1=1时，x=2时取等号“=”
故选B
12．【答案】A
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，
故展开式中含x3项的系数为•（﹣1）3=﹣20，而所有系数和为0，
不含x3项的系数之和为20，
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】41.
【解析】
14．【答案】（﹣∞，2） 【解析】 试题分析：由()
21()0f x x e
f x '≤
≥⇒≥′时，()21()0f x
x e f x '><⇒<′时，所以()y f x =的
增区间是（﹣∞，2） 考点：函数单调区间 15．【答案】20x y --=
【解析】解析： 设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的
中点坐标为(4,2).由2114y x =，2
224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，而
12
22
y y +=，∴12
12
1y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=.
16．【答案】5
2
【解析】()1ln f x x a =--+'，因为()f x 在()0e ，上是增函数，即()0f x '≥在()0e ，上恒成立，ln 1a x ∴≥+，则()max ln 1a x ≥+，当x e =时，2a ≥，
又()22x
a g x e a =-+，令x
t e =，则()[]2,1,32
a g t t a t =-+
∈， （1）当23a ≤≤时，()()2max 112a g t g a ==-+，()()2
min 2
a g t g a ==，
则()()max min 312g t g t a -=-=，则5
2
a =，
（2）当3a >时，()()2max 112a g t g a ==-+，()()2
min 332
a g t g a ==-+，
则()()max min 2g t g t -=，舍。

52
a ∴=。

17．【答案】19
【解析】由题意可得，选取的这6个个体分别为18,07,17,16,09,19，故选出的第6个个体编号为19． 18．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：依题意得11322,,22x x ⎡⎤-≤-≤∈⎢⎥⎣⎦
.
考点：抽象函数定义域．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）＝|x ＋1|＋2|x －a 2|
＝⎩⎪⎨⎪
⎧－3x ＋2a 2－1，x ≤－1，
－x ＋2a 2
＋1，－1＜x ＜a 2
，3x －2a 2
＋1，x ≥a 2
，
当x ≤－1时，f （x ）≥f （－1）＝2a 2＋2， －1＜x ＜a 2，f （a 2）＜f （x ）＜f （－1）， 即a 2＋1＜f （x ）＜2a 2＋2， 当x ≥a 2，f （x ）≥f （a 2）＝a 2＋1，
所以当x ＝a 2时，f （x ）min ＝a 2＋1，由题意得a 2＋1＝3，∴a ＝±2. （2）当a ＝±2时，由（1）知f （x ）＝ ⎩⎪⎨⎪
⎧－3x ＋3，x ≤－1，－x ＋5，－1＜x ＜2，3x －3，x ≥2，
由y ＝f （x ）与y ＝m 的图象知，当它们围成三角形时，m 的范围为（3，6]，当m ＝6时，围成的三角形面积
最大，此时面积为1
2
×|3－（－1）|×|6－3|＝
6.
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设射线
y=x （x ≥0）的倾斜角为α，则tan α
=，α∈（0
，
）．
∴tan θ=tan （α
+）
=
=，
∴
由
解得，
∴点A的坐标为（，）．
（Ⅱ）f（x）=•=3sinθ•sin2x+2cosθ•2cos2x=sin2x+cos2x
=sin（2x+）
由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[﹣，1]，
∴函数f（x）的值域为[﹣，]．
【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，
即，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x3﹣3x．
【点评】本题考查了导数和函数极值的问题，属于基础题．
22．【答案】（1）
22
1
42
x y
+=；（2）
22
[2,7)
F M F N∈-.
【解析】
试
题解析：（1）根据题意知
2
c
a
=，即
2
2
1
2
c
a
=，
∴
22
2
1
2
a b
a
-
=，则22
2
a b
=，
设(,)
P x y，
∵(,)(,)PA PB a x y a x y =-----，
222
2
2
2
2
2
21()222
a x x a y x a x a =-+=-+-=-，
∵a x a -≤≤，∴当0x =时，2
min ()22
a PA PB =-=-， ∴24a =，则2
2b =.
∴椭圆C 的方程为22
142
x y +=. 11
11]
设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2
122
12x x k +=-+，21224(1)12k x x k -=+，
∵211(2,)F M x y =-，222()F N x y =，
∴222121212)2(F M F N x x x x k x x =+++
2221212(1))22k x x x x k =+++++
222
2
222
4(1)42(1)2(1)221212k k k k k k k --=++-++++ 2
9
712k =-+.
∵2
121k +≥，∴2
10112k
<≤+.
∴2
9
7[2,7)12k -
∈-+.
综上知，22[2,7)F M F N ∈-.
考点： 1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.
23．【答案】
【解析】解：如图，点P 所在的区域为长方形ABCD 的内部（含边界），
满足（x ﹣2）2+（y ﹣2）2
≤4的点的区域为以（2，2）为圆心，2为半径的圆面（含边界）．
（1）当x ，y ∈Z 时，满足﹣2≤x ≤2，﹣2≤y ≤2的点有25个，
满足x ，y ∈Z ，且（x ﹣2）2+（y ﹣2）2
≤4的点有6个，
依次为（2，0）、（2，1）、（2，2）、（1，1）、（1，2）、（0，2）；
∴所求的概率P=
．
（2）当x ，y ∈R 时，
满足﹣2≤x ≤2，﹣2≤y ≤2的面积为：4×4=16，
满足（x ﹣2）2+（y ﹣2）2
≤4，且﹣2≤x ≤2，﹣2≤y ≤2的面积为：
=π，
∴所求的概率P==．
【点评】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵f （5）=3，
∴，
即log a27=3
解锝：a=3…
（2）由（1）得函数，
则=…
（3）不等式f（x）＜f（x+2），
即为
化简不等式得…
∵函数y=log3x在（0，+∞）上为增函数，且的定义域为R．∴x2+2＜x2+4x+6…
即4x＞﹣4，
解得x＞﹣1，
所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…。