高中上海市复兴高级中学高一下学期期中数学试题
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， .
当 时，
， .
综上： 的值域为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数的定义，同时考查了三角函数求值域，属于中档题.
12． 或
【分析】
根据正弦定理分析解的个数问题.
【详解】
由正弦定理 ， ，
当 ，即 时， ，只有一解，
当 时， ，若 ，则 ， 可为锐角也可为钝角，有两解，
当 时， ， 只能为锐角，只有一解.
（2）求 在闭区间 上的最小值及相应的 的值.
21．如图，在半径为 的半圆中，有一个内接等腰梯形 ， 为圆心，设 ，梯形 的周长为 .
（1）求 关于 的表达式；
（2）求 的最大值.
22．在△ 中， 分别是角 的对边，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的值；
（3）若 ，求 的取值范围.
23．已知集合 ， .
16．函数 的值域是（ ）．
A． B． C． D．
17．如图是函数 在一个周期内的图像， 分别是其最高点、最低点， 轴，且矩形 的面积为 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
18．存在函数 满足，对任意 都有（）
A． B．
C． D．
三、解答题
19．已知 ，求 、 的值
20．已知函数 ，其中 .
（1）求 的最小正周期；
9．在△ 中， ， ，最长边为1，则其外接圆的直径为____________
10．如图， 、 是单位圆 上的点， 是单位圆与 轴正半轴的交点， 点的坐标为 ，三角形 为等边三角形，则 点的坐标是____________
11．定义运算 ，则函数 的值域为____________
12．若满足 的 恰有一个，则实数 的取值范围是_________.
（1）判断 与集合 的关系，并说明理由；
（2） 中的元素是否都是周期函数，证明结论；
（3） 中的元素是否都是奇函数，证明你的结论.
参考答案
1．0
【解析】
【分析】
给已知平方 ，即可得到答案.
【详解】
因为 ，
所以 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查同角三角函数基本关系的运用，平方展开式是解题的关键，属于简单题.
13．已知 ，则 的最大值为____________
14．已知 ， ，且 ，若 ， ，则实数 的取值范围是____________
二、单选题
15．设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
上海市复兴高级中学【精品】高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知 ，则 ____________
2．已知角 的终边上有一点 ， ，则 ____________（用弧度制表示）
4．已知 ，则 ___________.
5．在△ 中，若 ，则该三角形是____________
6．已知 ，用反余弦形式表示 的结果是____________
7．在 中，若 ，则 _________.
8．将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，则函数 的单调递增区间为____________
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了弧度制的概念和扇形面积公式，熟记公式是解题关键，属于简单题.
4．10
【分析】
用诱导公式化简已知式，得 ，待求值式弦化切后，再代入已知计算.
【详解】
∵ ，
∴当 为偶数时， ， ，当 为奇数时， ， ，
∴ .
故答案为：10.
【点睛】
本题考查诱导公式和同角间的三角函数关系，属于基础题型，在用诱导公式时要对 分奇偶分类讨论.
∴ 的范围是 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，在用正弦定理解三角形时，由于求出的是角的正弦值，因此可能出现两解的情形.像本题，如果 ，则有两解，主要原因是 ， 可为锐角也可为钝角.
13．
【分析】
根据 满足 ，令 ， ，将 ， 分别化简为： ， ，最后利用三角函数的性质即可得出 的最大值.
【详解】
令 ，
.
.
.
当 时， .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了三角函数的二倍角公式，同时考查了三角函数的值域问题，换元法是解决本题的关键，属于中档题.
2．
【分析】
由已知 ， ，得到 为第二象限角，再根据同角三角函数的平方关系即可得到 的值.
【详解】
因为 ， ，
所以 为第二象限角.
所以 ，
.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的平方关系，根据已知得到角 的象限为解题关键，属于简单题.
3．
【分析】
根据 ，得到 ，带入 即可得到答案.
【详解】
因为 ，所以 .
10．
【分析】
根据 点的坐标 ，得到 ， .由图知： ， ，所以 点的坐标是 .
【详解】
由题知： ， .
.
.
所以 点的坐标是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义，同时考查了两角和差的正弦，余弦公式，属于中档题.
11．
【分析】
根据题意得到： ，分别求出 和 的值域即可.
【详解】
由题知： ，
当 时，
8．
【分析】
根据题意： ，再带入正弦函数的单调增区间即可.
【详解】
.
，
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查三角函数的平移变换，同时考察了三角函数的单调区间，属于简单题.
9．
【分析】
根据 ， ，得到 ， ，即： .所以 .
【详解】
，
.
因为 ，所以 .
.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查正弦定理，同时考查两角和的正切公式，熟记公式是解题的关键，属于简单题.
5．等腰三角形或直角三角形
【分析】
根据 得到 或 ，即可判断三角形的形状.
【详解】
因为 ，
所以 或 .
即： 或 .
所以三角形为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰三角形或直角三角形
【点睛】
本题主要考查三角函数的形状的判断，熟记公式是解题的关键，属于简单题.
6．
【分析】
因为 ，所以 .所以 . .
【详解】
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以 .
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查反三角函数的运用，考察运算求解能力，属于简单题.
7． 或
【分析】
先求出反余弦 ，然后再由正弦函数性质求出 .
【详解】
，∴ 可化为 ， ，
又 是三角形内角，∴ 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】
本题考查反余弦函数的计算，考查正弦函数的性质，解题时要注意反余弦函数的值域是 ，在 内一个正弦值（不等于1）对应两个角，它们都可以是三角形的内角.
当 时，
， .
综上： 的值域为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数的定义，同时考查了三角函数求值域，属于中档题.
12． 或
【分析】
根据正弦定理分析解的个数问题.
【详解】
由正弦定理 ， ，
当 ，即 时， ，只有一解，
当 时， ，若 ，则 ， 可为锐角也可为钝角，有两解，
当 时， ， 只能为锐角，只有一解.
（2）求 在闭区间 上的最小值及相应的 的值.
21．如图，在半径为 的半圆中，有一个内接等腰梯形 ， 为圆心，设 ，梯形 的周长为 .
（1）求 关于 的表达式；
（2）求 的最大值.
22．在△ 中， 分别是角 的对边，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的值；
（3）若 ，求 的取值范围.
23．已知集合 ， .
16．函数 的值域是（ ）．
A． B． C． D．
17．如图是函数 在一个周期内的图像， 分别是其最高点、最低点， 轴，且矩形 的面积为 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
18．存在函数 满足，对任意 都有（）
A． B．
C． D．
三、解答题
19．已知 ，求 、 的值
20．已知函数 ，其中 .
（1）求 的最小正周期；
9．在△ 中， ， ，最长边为1，则其外接圆的直径为____________
10．如图， 、 是单位圆 上的点， 是单位圆与 轴正半轴的交点， 点的坐标为 ，三角形 为等边三角形，则 点的坐标是____________
11．定义运算 ，则函数 的值域为____________
12．若满足 的 恰有一个，则实数 的取值范围是_________.
（1）判断 与集合 的关系，并说明理由；
（2） 中的元素是否都是周期函数，证明结论；
（3） 中的元素是否都是奇函数，证明你的结论.
参考答案
1．0
【解析】
【分析】
给已知平方 ，即可得到答案.
【详解】
因为 ，
所以 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查同角三角函数基本关系的运用，平方展开式是解题的关键，属于简单题.
13．已知 ，则 的最大值为____________
14．已知 ， ，且 ，若 ， ，则实数 的取值范围是____________
二、单选题
15．设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
上海市复兴高级中学【精品】高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知 ，则 ____________
2．已知角 的终边上有一点 ， ，则 ____________（用弧度制表示）
4．已知 ，则 ___________.
5．在△ 中，若 ，则该三角形是____________
6．已知 ，用反余弦形式表示 的结果是____________
7．在 中，若 ，则 _________.
8．将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，则函数 的单调递增区间为____________
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了弧度制的概念和扇形面积公式，熟记公式是解题关键，属于简单题.
4．10
【分析】
用诱导公式化简已知式，得 ，待求值式弦化切后，再代入已知计算.
【详解】
∵ ，
∴当 为偶数时， ， ，当 为奇数时， ， ，
∴ .
故答案为：10.
【点睛】
本题考查诱导公式和同角间的三角函数关系，属于基础题型，在用诱导公式时要对 分奇偶分类讨论.
∴ 的范围是 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，在用正弦定理解三角形时，由于求出的是角的正弦值，因此可能出现两解的情形.像本题，如果 ，则有两解，主要原因是 ， 可为锐角也可为钝角.
13．
【分析】
根据 满足 ，令 ， ，将 ， 分别化简为： ， ，最后利用三角函数的性质即可得出 的最大值.
【详解】
令 ，
.
.
.
当 时， .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了三角函数的二倍角公式，同时考查了三角函数的值域问题，换元法是解决本题的关键，属于中档题.
2．
【分析】
由已知 ， ，得到 为第二象限角，再根据同角三角函数的平方关系即可得到 的值.
【详解】
因为 ， ，
所以 为第二象限角.
所以 ，
.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的平方关系，根据已知得到角 的象限为解题关键，属于简单题.
3．
【分析】
根据 ，得到 ，带入 即可得到答案.
【详解】
因为 ，所以 .
10．
【分析】
根据 点的坐标 ，得到 ， .由图知： ， ，所以 点的坐标是 .
【详解】
由题知： ， .
.
.
所以 点的坐标是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义，同时考查了两角和差的正弦，余弦公式，属于中档题.
11．
【分析】
根据题意得到： ，分别求出 和 的值域即可.
【详解】
由题知： ，
当 时，
8．
【分析】
根据题意： ，再带入正弦函数的单调增区间即可.
【详解】
.
，
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查三角函数的平移变换，同时考察了三角函数的单调区间，属于简单题.
9．
【分析】
根据 ， ，得到 ， ，即： .所以 .
【详解】
，
.
因为 ，所以 .
.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查正弦定理，同时考查两角和的正切公式，熟记公式是解题的关键，属于简单题.
5．等腰三角形或直角三角形
【分析】
根据 得到 或 ，即可判断三角形的形状.
【详解】
因为 ，
所以 或 .
即： 或 .
所以三角形为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰三角形或直角三角形
【点睛】
本题主要考查三角函数的形状的判断，熟记公式是解题的关键，属于简单题.
6．
【分析】
因为 ，所以 .所以 . .
【详解】
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以 .
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查反三角函数的运用，考察运算求解能力，属于简单题.
7． 或
【分析】
先求出反余弦 ，然后再由正弦函数性质求出 .
【详解】
，∴ 可化为 ， ，
又 是三角形内角，∴ 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】
本题考查反余弦函数的计算，考查正弦函数的性质，解题时要注意反余弦函数的值域是 ，在 内一个正弦值（不等于1）对应两个角，它们都可以是三角形的内角.