浙江省2019年中考数学总复习专题提升十以直角三角形为背景的测量问题试题(含答案)259

专题提升十以直角三角形为背景的测量问题
热点解读
解决此类问题，首先要弄清问题中相关的术语及关系，再画出图形，构造直角三角形，将实际问题或斜三角形转化为解直角三角形问题，再利用边与角之间的关系来解决问题．
母题呈现
(2015·嘉兴)小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB 与底板OA所在的水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图1)，侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置(如图3)，侧面示意图为图4.已知OA＝OB＝24cm，O′C⊥OA于点C，O′C＝12cm.
(1)求∠CAO′的度数；
(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少？
(3)如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？
对点训练
1．(2015·绵阳)如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直．当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC的高度应设计为( )
A．(11－22)米 B．(113－22)米
C．(11－23)米 D．(113－4)米
第1题图
2．(2015·潍坊)观光塔是潍坊市的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是m.
第2题图
3．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要
求？(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)
第3题
图
4．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．
(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；
(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间(结果精确到0.1小时)．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)
第4题图
5．(2017·海南)为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示，已知AE＝
4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.
(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)
第5题图
6．(2015·绍兴)如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数；
(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m)．(备用数据：3≈1.7，2≈1.4)
第6题图
7．(2015·云南)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与
MN之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°，请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果保留整数)
第7
题图
8．如图1是一张折叠椅子，图2是其侧面示意图，已知椅子折叠时长1.2米，椅子展开后最大张角∠CBD＝37°，且BD＝BC，AB∶BG∶GC＝1∶2∶3，座面EF与地面平行，当展开角最大时，请解答下列问题：
(1)求∠CGF的度数；
(2)求座面EF与地面之间的距离．(可用计算器计算，结果保留两个有效数字，参考数据：sin71.5°≈0.948，cos71.5°≈0.317，tan71.5°≈2.989)
第8题图
9.(2017·达州)如图，信号塔PQ 坐落在坡度i ＝1∶2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ 落在斜坡上的影子QN 长为25米，落在警示牌上的影子MN 长为3米，求信号塔PQ 的高．(结果不取近似值)
第9题图
10．(2016·漳州)如图是将一正方体货物沿坡面AB 装进汽车货
厢的平面示意图．已知长方体货厢的高度BC 为5米，tan A ＝13
，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D 与C 重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD 的长．(结果保留根号)
第10题图
参考答案
专题提升十 以直角三角形为背景的测量问题
【母题呈现】
(1)∵O ′C ⊥OA 于点C ，OA ＝OB ＝24，O ′C ＝12，∴sin ∠CAO ′＝O ′C O ′A ＝O ′C OA ＝1224＝12
.∴∠CAO ′＝30°.
(2)如图，过点B 作BD ⊥AO 交AO 的延长线于点D .∵sin ∠BOD ＝BD OB
，∴BD ＝OB ·sin ∠BOD .∵∠AOB ＝120°，∴∠BOD ＝60°.∴BD ＝OB ·sin ∠BOD ＝24×32＝12 3.∴显示屏的顶部B ′比原来升高了(36－123)cm. (3)显示屏O ′B ′应绕点O ′按顺时针方向旋转30°.理由如下：如图，电脑显示屏O ′B ′绕点O ′按顺时针方向旋转α度至O ′E 处，O ′F ∥OA .∵电脑显示屏O ′B ′与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO ′F ＝120°.∴∠FO ′A ＝∠CAO ′＝30°.∵∠AO ′B ′＝120°.∴∠EO ′B ′＝∠FO ′A ＝30°，即α＝30°.∴显示屏O ′B ′应绕点O ′按顺时针方向旋转30°.
【对点训练】1.D 2.135
3．AB ＝6米，∠A ＝20°，∴AC ＝AB ·cos ∠A ≈6×0.94＝5.64米，∴符合要求．
4．(1)902海里； (2)MB ＝606海里，∴606÷20≈7.4(小
时)，∴渔船从B 到达小岛M 的航行时间约为7.4小时．
5．设BC ＝x 米，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝180°－∠EAC ＝50°，
AB ＝BC tan50°≈BC 1.2＝5BC 6＝56
x 米，在Rt △EBD 中，∵i ＝DB ∶EB ＝1∶1，∴BD ＝BE ，∴CD ＋BC ＝AE ＋AB ，即2＋x ＝4＋56
x ，解得x ＝12，即BC ＝12米，答：水坝原来的高度为12米．
6．如图，延长PQ 交直线AB 于点C ，(1)∵在B 点测得端点P 点的仰角是60°，即∠PBC ＝60°，∴∠BPQ ＝90°－∠PBC ＝90°－60°＝30°. (2)设PQ ＝x ，则QB ＝QP ＝x ，在△BCQ 中，BC ＝x ·cos30°＝32x ，QC ＝12x ，在△ACP 中，CA ＝CP ，∴6＋32x ＝12
x ＋x ，解得x ＝23＋6.∴PQ ＝23＋6≈9，即该电线杆PQ 的高度约为9m.
第6题图
7．如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝x ，∵在直角△ACD 中，∠CAD ＝30°，∴AD ＝CD tan30°
＝3x .同理，在直角△BCD 中，BD ＝CD
tan60°＝33x ，又∵AB ＝30，∴AD ＋BD ＝30，即3x ＋33
x ＝30.解得x ≈13.答：河的宽度为13米．
第7题图
8．(1)∠CGF ＝71.5° (2)0.57m
9．如图，作MF ⊥PQ 于F ，QE ⊥MN 于E ，则四边形EMFQ 是矩形．在Rt △QEN 中，设EN ＝x ，则EQ ＝2x ，∵QN 2＝EN 2＋QE 2，∴20＝5x 2，∵x ＞0，∴x ＝2，∴EN ＝2，EQ ＝MF ＝4，∵MN ＝3，∴FQ ＝EM ＝1，在Rt △PFM 中，PF ＝FM ·tan60°＝43，∴PQ ＝PF ＋FQ ＝(43＋1)米．
第9题图 第10题图
10．如图，点D 与点C 重合时，B ′C ＝BD ，∠B ′CB ＝∠CBD ＝∠A ，
∵tan A ＝13，∴tan ∠BCB ′＝BB ′B ′C ＝13
，∴设B ′B ＝x 米，则B ′C ＝3x 米，在Rt △B ′CB 中，B ′B 2＋B ′C 2＝BC 2，即：x 2＋(3x )2＝(5)2，
x ＝22(负值舍去)，∴BD ＝B ′C ＝322米．。