广东省始兴县风度中学高三数学 第十三周测试 文

[名校联盟]广东省始兴县风度中学高三数学（文） 第十三周测试
一、选择题：（本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.） 1． =++-i
i i 1)21)(1(
( ) A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +2
2．集合M=｛x |4|3|≤-x ｝, N=｛x x y y -+-=22|｝, 则 M I N = ( )
A.{0}
B.{2}
C. Φ
D. {}72|≤≤x x 3．若函数3
()f x x =(x R ∈)，则函数()y f x =-在其定义域上是 A ．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C ．单凋递增的偶函数 D.单调递增的奇函数
4．对任意实数x , 若不等式k x x >+++|1||2|恒成立, 则实数k 的取值范围是 ( )
A ． k ≥1 B. k >1 C . k ≤1 D . k <1
5．若函数f(x)=x 3
+x 2
-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程x 3
+x 2
-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A 、1.2
B 、1.3
C 、1.4
D 、1.5
6.已知命题p:[]022,:,0,2,122=-++∈∃≥-∈∀a ax x R x q a x x 命题.若命题p 且q 是真命题, 则实数a 的取值范围为 ( )
A. 12=-≤a a 或
B.a ≤-2或1≤a ≤2
C.a ≥1
D.-2≤a ≤1
7．已知向量b a ρρ,的夹角为︒60，且,1||,2||==b a ρρ则向量a ρ与b a ρ
ρ2+的夹角为（ ）
A. ︒150
B. ︒120
C. ︒60
D. ︒30 8．若m 、n 都是正整数，那么“m 、n 中至少有一个等于1”是“m n mn +>”的（ ） A. 充分而不必要的条件 B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 9．已知
，
，
则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A. c<b<a B. a<b<c C. b<c<a D. b<a<c
10．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于点304⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，对称，且满足3()()2f x f x =-+，
(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(2006)f f f +++L 的值为 A ．2- B ．0 C ．1
D ．2
f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.438)=0.165
f(1.4065)=-0.052
2012届风度中学高三（9）班第十三周数学测试题
姓名： 学号：
一：选择题(5分×10=50分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 选项
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。

)
11．已知数列{n a }的前n 项和2
9n S n n =-，若它的第k 项满足58k a <<，则k = ．
12．若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆22
2410x y x y ++-+=截得的弦长为4， 则
13
a b
+的最小值为 13．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且a =1，B ∠=045，ABC S ∆=2，
则b = ． 14、（0.25）-0.5
+31
)27
1(--6250.25=_____________.
三．解答题：本大题共6小题,满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分12分) 已知2sin 22cos 2)(2
+--=x x x f 定义域为R ，
（1）求)(x f 的值域；（2在区间]2,2[π
π-
上，3)(=αf ，求)3
2sin(π
α+）
16．（本题满分12分）在锐角ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足
2sinB(2cos 2B
2
－1)＝－3cos2B 。

（1）求B 的大小；
（2）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值.
17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3=5，S 15=225. （Ⅰ）求数列{a n }的通项a n ；（Ⅱ）设b n =n a
2+2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
18．(本小题满分l4分) 已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；
（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.
19．（本题满分14分）已知函数
321 (),().
212
x
F x x
x
-
=≠
-
（1）求
122009
()()()
201020102010
F F F
+++
L的值；
（2）已知数列11{}2,()n n n a a a F a +==满足,求证数列11n a ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
是等差数列；
（3）已知n
n n b 2
1
2-=，求数列{}n n a b 的前n 项和n S .
20．（本题满分14分）已知,ln )(x x x f =a x x x g +-=
2
2
1)(． （1）当2=a 时，求]3,0[)(在函数x g y =上的值域； (2) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值； (3) 证明: 对一切(0,)x ∈+∞，都有()12
ln x
g x x x e e
'+>-成立
参考答案
1-10: CABDC ADCBD 11. 8 12. 324+ 13．5 14、0
16. (1)解： 2sinB(2cos 2B
2
－1)＝－3cos2B ⇒2sinBcosB ＝－3cos2B ⇒ tan2B ＝－ 3 ……4分
∵0＜2B ＜π,∴2B＝2π3,∴B＝π
3 ……6分
(2)由tan2B ＝－ 3 ⇒ B ＝
π
3
∵b＝2，由余弦定理，得：4＝a 2
＋c 2
－ac≥2ac－ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)……9分 ∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝3
4ac≤ 3
∴△ABC 的面积最大值为 3
……12分
17、解: ．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意，得
⎪⎩
⎪
⎨⎧=⨯+=+5.22214
15155
211d a d a 解得 ⎩⎨⎧==211d a ∴a n =2n －1 （Ⅱ）n n b n
a n n
242
122
+⋅=
+=， ∴n n b b b T +++=Λ21
)21(2)444(2
1
2n n +++++++=
ΛΛ =
n n n ++-+216
4
4 3
2432-++⋅=
n n n n 18、解: （I ）f ′(x)=3ax 2
+2bx －3，依题意，f ′(1)=f ′(－1)=0， 即,0
3230
323⎩⎨
⎧=--=-+b a b a
解得a=1，b=0.
∴f(x)=x 3
－3x.
（II ）∵f(x)=x 3－3x,∴f ′(x)=3x 2
－3=3(x+1)(x －1)，
当－1<x<1时，f ′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数， f max (x)=f(－1)=2，f min (x)=f(1)=－2
∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2， 都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x) －f min (x)|
|f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x)－f min (x)|=2－(－2)=4
（III ）f ′(x)=3x 2
－3=3(x+1)(x －1)，
∵曲线方程为y=x 3
－3x ，∴点A （1，m ）不在曲线上.
设切点为M （x 0，y 0），则点M 的坐标满足.303
00x x y -= 因)1(3)(2
00-='x x f ，故切线的斜率为
13)1(3003020
---=
-x m
x x x ， 整理得03322
030=++-m x x .
∵过点A （1，m ）可作曲线的三条切线，
∴关于x 0方程3322
030++-m x x =0有三个实根. 设g(x 0)= 3322030++-m x x ，则g ′(x 0)=602
06x x -，
由g ′(x 0)=0，得x 0=0或x 0=1. ∴g(x 0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
∴函数g(x 0)= 3322
030++-m x x 的极值点为x 0=0，x 0=1 ∴关于x 0方程3322
030++-m x x =0有三个实根的充要条件是
⎩⎨
⎧<>0
)1(0
)0(g g ，解得－3<m<－2. 故所求的实数a 的取值范围是－3<m<－2. 19. 解:(1)因为()()()()312
321321211
x x F x F x x x ---+-=
+=---.
--------------------２分 所以设S=122009()()()201020102010
F F F +++L (1)
S=200920081
(
)()()201020102010F F F +++L .
………（2） (1)+(2)得:
1200922008200912{(
)()}{()()}{()()}201020102010201020102010
S F F F F F F =+++++L =320096027⨯=, 所以S=6027
2
. ------------------------------5分
（3）因为
()1212211n n n a =+-⨯=-
-1212121n n
a n n ⇒=+=--.
因为n
n n b 2
12-=
，所以12n n n n
a b -= ------------------------------１２分 n S =01211232222
n n
-+++⋅⋅⋅+ （3）
n S 2
1
=1231232222n n +++⋅⋅⋅+ （4）
由（3）-（4）得
n S 2
1
=0123111111222222n n n -++++⋅⋅⋅+-=11222n n n ---
所以n S =1242n n
-+-
-----------------------------１４分
所以min
1
10()1ln t e e
f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨
⎪≥
⎪⎩
， ，． ………………. 9分
（3）x x g =+1)('
，所以问题等价于证明2
ln ((0,))x x x x x e e
>
-∈+∞，由（2）可知 ()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1
e -，当且仅当1x e =时取到 ； …….. 11分
设2
()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1'()x x m x e -=，易得max 1()(1)m x m e
==-，当且仅当1x =时取到，
从而对一切(0,)x ∈+∞，都有e e
x g x x x
2
1)(ln '-+>成立． …….. 14分。