江西省南昌市高三数学10月月考试题 理

江西省南昌市2018届高三数学10月月考试题 理
第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{
}
12|>=x
x A ,{}
2log 0B x x =<，则A C B =（ ） A.()
0,1
B.(]0,1
C. [)1,+∞
D.
()1,+∞ 2．若命题:p 对任意的x R ∈，都有3210x x -+<，则p ⌝为（ ）
A. 不存在x R ∈，使得3210x x -+<
B. 存在x R ∈，使得3210x x -+<
C. 对任意的x R ∈，都有3210x x -+≥
D. 存在x R ∈，使得3210x x -+≥ 3．已知角θ的终边经过点()(),30P x x <
且cos x θ=
，则x 等于（ ） A ．1-
B ．1
3
-
C ．3-
D
．3
-
4. 为了得到函数sin 23y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A. 向左平移
512π个单位 B. 向右平移512
π个单位 C. 向右平移
6π个单位 D. 向左平移6
π
个单位 5．已知()()()
()
1231ln 1a x a
x f x x
x -+<⎧⎪=⎨
≥⎪⎩ 的值域为R ，那么a 的取值范围是(
)
A ．(－∞，－1]
B ．(－1，12)
C ．[－1，12)
D ．(0，1
2
)
6. 已知函数()2tan 2(0,1)1
x
x a f x b x x a a a =++>≠+，若()12f =，则()1f -等于（ ） A. 3 B. 3-
C. 0
D. 1-
7．函数2ln x x y x
=
的图象大致是（ ）
A
B C D
8．已知3tan 44πα⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
（ ） A.
7
25 B.
925 C. 1625
D.
24
25
9．已知偶函数2f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当,22x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时， ()1
3sin f x x x =+． 设()1a f =，
()2b f =， ()3c f =，则（ ）
A. a b c <<
B. b c a <<
C. c b a <<
D. c a b <<
10.已知三角形ABC 内的一点D 满足2D A D B D B D C D C D A ===-，
且|||||D A D B D C ==，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的
最大值是（ ）
A ．
49
4
B ．
43
4
C. 374+
D ．
374
+ 11. 已知函数()2sin(2)(||)f x x ϕϕπ=-+<，若5
(,)58
ππ是()f x 的一个单调递增区间，
则ϕ 的取值范围是（ ） A. 93
[,]1010
ππ-
-
B. 29[,]510ππ
C. [,]104
ππ
D. [,](,)104
ππ
ππ--
U
12．已知函数()()()2
21ln ,,1x
f x ax a x x a R
g x e x =-++∈=--，若对于任意的
()120,,x x R ∈+∞∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A. [)1,0-
B. []1,0-
C. 3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D. 3,2⎛⎤
-∞- ⎥⎝
⎦
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13．平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB AM DB λμ=+，则λμ-=______． 14．已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，其中0ω>．若()12f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
对x R ∈恒成立，则ω的最小值为____．
15．设锐角ABC 的三内角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，且1,2a B A ==，则b 的取值范围为 ． 16. 给出下列命题中
①非零向量 a b 、
满足a b a b ==-，则与a a b +的夹角为030； ② ⋅＞0是 a b 、
的夹角为锐角的充要条件； ③若2
,AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅则ABC ∆必定是直角三角形；
④△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若2AB AC AO +=,且OA CA =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为
3
2
. 以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，a ， b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos A cos C (1－tan A tan C )＝1． （1）求B 的大小；
（2）若b ＝3，求△ABC 面积的最大值． 18．（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2
x ＋sin x cos x .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)若关于x 的方程()10f x a -+=在x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实根，求实数a 的取值范
围. 19．（本小题满分12分）
如图所示的几何体是由棱台
111ABC A B C -和棱锥11D AA C C -拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且
60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，11122BB A B ==．
（1）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ； （2）求二面角11A BD C --的余弦值． 20．（本小题满分12分）
设离心率为的椭圆2222:1x y E a b
+= 的左、右焦点为12F F 、
,
点P 是E 上一点,12PF PF ⊥ , 12PF F ∆内切圆的半径为1 . (1)求E 的方程;
(2)矩形ABCD 的两顶点C 、D 在直线2y x =+上，A 、B 在椭圆E 上,若矩形ABCD 的周长为求直线AB 的方程.
21．（本小题满分12分）
已知函数()22ln f x x x ax =--.
（1）若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为30x y b ++=，求a ，b 的值； （2）如果()1212,x x x x <是函数()f x 的两个零点，()'f x 为函数()f x 的导数， 证明：122'03x x f +⎛⎫
< ⎪⎝
⎭
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θ
θ
=+⎧⎨=⎩(
)θ为参数，直线l 的参数方程为523x t
y t
=-⎧⎨
=-⎩(
)t 为参数，定点()1,1P . （1）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；
（2）已知直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB -的值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()1()0f x x a x a a
=+++
>.
（1）当2a =时，求不等式()3f x >的解集； （2）求证：1
()()4f m f m
+-
≥.
江西师大附中高三年级数学（理）月考试卷
命题人：蔡卫强 审题人：郑永盛 2017年10月
第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{
}
12|>=x
x A ,{}
2log 0B x x =<，则A C B =（ ） A.()
0,1
B.(]0,1
C. [)1,+∞
D.
()1,+∞ 【答案】C
2．若命题:p 对任意的x R ∈，都有3210x x -+<，则p ⌝为（ ）
A. 不存在x R ∈，使得3210x x -+<
B. 存在x R ∈，使得3210x x -+<
C. 对任意的x R ∈，都有3210x x -+≥
D. 存在x R ∈，使得3210x x -+≥ 【答案】D
3．已知角θ的终边经过点()(),30P x x <
且cos x θ=
，则x 等于（ ） A ．1- B ．1
3
-
C ．3-
D
．3
-
【答案】A
4. 为了得到函数sin 23y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A. 向左平移512π个单位 B. 向右平移512
π
个单位
C. 向右平移6π个单位
D. 向左平移6
π
个单位 【答案】B
5．已知()()()
()
1231ln 1a x a
x f x x
x -+<⎧⎪=⎨
≥⎪⎩ 的值域为R ，那么a 的取值范围是(
)
A ．(－∞，－1]
B ．(－1，12)
C ．[－1，12)
D ．(0，1
2)
【答案】C
6. 已知函数()2tan 2(0,1)1
x
x a f x b x x a a a =++>≠+，若()12f =，则()1f -等于（ ） A. 3 B. 3-
C. 0
D. 1-
【答案】A
7．函数2ln x x
y x
=的图象大致是（ ）
A
B C D
【答案】D 8．已知3tan 44πα⎛⎫
+= ⎪
⎝
⎭，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
（ ） A.
7
25
B. 925
C. 1625
D.
24
25
【答案】B
9．已知偶函数2f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当,22x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭时， ()1
3sin f x x x =+． 设()1a f =，
()2b f =， ()3c f =，则（ ）
A. a b c <<
B. b c a <<
C. c b a <<
D. c a b <<
【答案】D
10.已知三角形ABC 内的一点D 满足2D A D B D B D C D C D A ===-，
且|||||D A D B D C ==，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的
最大值是（ ）
A ．
49
4
B ．
43
4
C. 374+
D ．
374
+ 【答案】A
11. 已知函数()2sin(2)(||)f x x ϕϕπ=-+<，若5
(,)58
ππ是()f x 的一个单调递增区间，则ϕ 的
取值范围是（ ） A. 93
[,]1010
ππ-
- B. 29[,]510ππ C. [,]104
ππ
D. [,](,)104
ππ
ππ--
U
【答案】C
12．已知函数()()()2
21ln ,,1x
f x ax a x x a R
g x e x =-++∈=--，若对于任意的
()120,,x x R ∈+∞∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，，则实数a 的取值范围为（ ）
A. [)1,0-
B. []1,0-
C. 3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D. 3,2⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【答案】B
解：()()12f x g x ≤Q 恒成立 ∴只需()()1min f x g x ≤
由()1x
g x e x =--得：()'
1x
g x e =-，令()'
0g x >解得：0x >
()g x ∴在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增 ()()min 00g x g ∴==
()10,x ∴∀∈+∞，()2
11121ln 0ax a x x -++≤恒成立 即只需()max 0f x ≤
()()()()2
'
22112111221ax a x ax x f x ax a x x x
-++--=--+== 当0a >时，令21a x a += 则21211ln ln 20a a f a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛
⎫==+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，与()0f x ≤矛盾
当0a ≤时，210ax -< ()'
0f x ∴>解得1x < ()f x ∴在()0,1单调递增，在()1,+∞单
调递减
()()()max 1211f x f a a a ∴==-+=-- 101a a ∴--≤⇒≥-
综上所述：[]1,0a ∈-
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答.
第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13．平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，
若AB AM DB λμ=+，则λμ-=__________． 【答案】13
14．已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，其中0ω>．若()12f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
对x R ∈恒成立，则ω的最小值为____． 【答案】4
15．设锐角ABC 的三内角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，且1,2a B A ==，则b 的取值范围为____．
【答案】
16. 给出下列命题中
① 非零向量 a b 、
满足a b a b ==-，则与a a b +的夹角为030； ② a ⋅b ＞0是 a b 、
的夹角为锐角的充要条件； ③若2
,AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅则ABC ∆必定是直角三角形；
④△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若2AB AC AO +=,且OA CA =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为
3
2
.
以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上） 【答案】①③④
三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos A cos C (1－tan A tan C )＝1． （1）求B 的大小；
（2）若b ＝3，求△ABC 面积的最大值．
解：（1）由2cos A cos C (1－tan A tan C )＝1， 得sin sin 2cos cos 11cos cos A C A C A C ⎛
⎫
-
= ⎪⎝⎭
．
∴()2cos cos sin sin 1A C A C -=． ∴()1
cos 2
A C +=． ∴ 1cos 2
B =-． 又 0B <<π, ∴23
B π=． （2）
222222cos 3,b a c ac B a c ac ac =+-=++≥
又b ＝3， ∴ 3ac ≤． 1sin 24
ABC S ac B ∆∴=
≤
所以当且仅当a c ==时，ABC
S
18．（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2
x ＋sin x cos x .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)若关于x 的方程()10f x a -+=在x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实根，求实数a 的取值范
围.
解析：(1)f (x )＝2cos x cos(x －π6
)－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin x cos x －3sin 2
x
＋sin x cos x ＝3cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝π. (2)
()()101f x a a f x -+=⇔-=
画出函数()f x 在x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π212a <-<或01a <-
故a 的取值范围为1)()31,3+.
19．（本小题满分12分）
如图所示的几何体是由棱台111ABC A B C -和棱锥11D AA C C -拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，11122BB A B ==．
（1）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ； （2）求二面角11A BD C --的余弦值． 解：（1）∵1BB ⊥平面ABCD ∴1BB ⊥AC
在菱形ABCD 中，BD ⊥AC
又1BD BB B ⋂=∴AC ⊥平面1BB D ∵AC ⊂平面1AB C ∴平面1AB C ⊥平面1BB D
（2）连接BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA
以OD 为y 轴，如图建立空间直角坐标系.
1(0,1,0),(0,1,0),(0,1,2),B D B A --
11111,2)22B A BA A =
⇒-，同理11(2
C -131(,2)2BA =,(0,2,0)B
D =,11(,2
BC =-设平面1A BD 的法向量),,(z y x =
∴100
BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则(n =- 设平面DCF 的法向量),,(z y x =
10
BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，则m = 设二面角11A BD C --为θ，13
cos 19
m n m n
θ⋅==
20．（本小题满分12分）
设离心率为 的椭圆2222:1x y E a b
+= 的左、右焦点为12F F 、
, 点P 是E 上一点,12PF PF ⊥ , 12PF F ∆内切圆的半径为1 . (1)求E 的方程;
(2)矩形ABCD 的两顶点C 、D 在直线2y x =+上，A 、B 在椭圆E 上,若矩形ABCD 的周长为求直线AB 的方程.
解：（1）直角三角形12PF F 内切圆的半径12121
(||||||)2
r PF PF F F a c =+-=- 依题意有1a c -=
又
2
c a =，由此解得1a c ==，从而1b =
故椭圆E 的方程为2
212
x y += （2）设直线AB 的方程为y x m =+，代入椭圆E 的方程，整理得2234220x mx m ++-=，由0∆>
得m <<
设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212422,33m m x x x x -+=-=
21|||AB x x =-=
而||AC =
，由m <<
知||AC =
所以由已知可得||||6AB AC +=
，即36+=
， 整理得24130710m m +-=，解得1m =或()71
41
m =-增根，舍去 所以直线AB 的方程为1y x =+.
21．（本小题满分12分） 已知函数()2
2ln f x x x ax =--.
（1）若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为30x y b ++=，求a ，b 的值； （2）如果()1212,x x x x <是函数()f x 的两个零点，()'f x 为函数()f x 的导数， 证明：122'03x x f +⎛⎫
<
⎪⎝⎭
解：（1）a =3,b =1 （2）()121212262'2323x x f x x a x x +⎛⎫
=-+-
⎪
+⎝
⎭ ()1212,x x x x <是函数()f x 的两个零点
()()2
111
12
22222ln 02ln 0f
x x x ax f
x x x ax ⎧=--=⎪∴⇒⎨=--=⎪⎩()2
1
2121
2ln
x x a x x x x =-+- ()()2
12112211212212ln
26261'2323
23x x x x f x x a x x x x x x x x +⎛⎫
∴=-+-=--- ⎪
++-⎝⎭
()221103x x --< ∴只需证()2212112211212ln
6602ln 022x x x x x x x x x x x x --<⇔-<+-+2122
1131ln 012x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⇔-<+ ，令()21
,1,x t t x =∈+∞则设()()31ln 12t h t t t -=-+ 下面证()0h t < ()10,h =()()()()2141'21t t h t t t --=-+ ()1,'0t h t >∴<恒成立
()h t ∴在()1,+∞单调递减，()()10h t h ∴<= 即122'03x x f +⎛⎫<
⎪⎝⎭ 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨
=⎩()θ为参数，直线l 的参数方程为523x t y t =-⎧⎨=-⎩
()t 为参数，定点()1,1P . （1）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）已知直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB -的值.
解：（1）依题意得圆C 的一般方程为()2214x y -+=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式得22cos 30ρρθ--=，所以圆C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=；
（2）依题意得点()1,1P 在直线l 上，所以直线l 的参数方程又可以表示为121x t y t
=-⎧⎨=-⎩()t 为参数，代入圆C 的一般方程为()2214x y -+=得25230t t --=， 设点,A B 分别对应的参数为12,t t ，则1212230,055
t t t t +=>=-<， 所以12,t t 异号，不妨设12
0,0t t ><
，所以2,PA PB ==
，
所以)125
PA PB t t -=+=.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()1()0f x x a x a a
=+++
>. （1）当2a =时，求不等式()3f x >的解集；
（2）求证：1()()4f m f m +-≥.
解：（1）当a =2时，1()|2|||,2
f x x x =+++原不等式等价于 112222111232323222x x x x x x x x x ⎧⎧<--≤≤->-⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨---->⎪⎪⎪+-->+++>⎩⎪⎪⎩⎩
或或 解得11144x x <-
∅>或或故不等式()3f x >的解集是111{|},(5)44
x x x <->或分 （2）证明：11111(m)()||||||||f f m a m a m a m m a +-=++++-++-+ 1111||||||||m a a m m a m a =++-++++-+ 112|m |2(||)4||
m m m ≥+=+≥ 当且仅当1,1m a =±=时等号成立。