随机变量分布及其数字特征
第五节随机变量分布的数字特征E(X)
例5
解
1 x 10 P { X 1} e d x 1 e 0.1 0.0952, 0 10
1
1 x 10 P{1 X 2} e dx 1 10
2
e 0.1 e 0.2 0.0861,
1 x 10 P{2 X 3} e dx 2 10
3
e 0.2 e 0.3 0.0779,
解
设1年中死亡人数为X , 则 X ~ b(10000 ,0.002 )
10000
1000 E ( X ) k 0 k (0.002)k (1 0.002)10000 k k 20(人).
被保险人所得赔偿金的期望值应为
20 2000 40000(元 ).
n
n
( n 1)! np p k 1 (1 p)( n1)( k 1) k 1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!
n
np[ p (1 p )]n1
=np
则两点分布b(1,p)的数学期望为 p.
例4 泊松分布
设 X ~ P( ), 且分布律为
解
引入随机变量 X i ,
0, 在第 i 站没有人下车, Xi i 1,2,,10. 1, 在第 i 站有人下车 ,
则 X X 1 X 2 X 10 .
9 9 则有 P{ X i 0} , P{ X i 1} 1 , 10 10
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
概率论-随机变量的几种重要分布及数字特征
2. 若X 是随机变量，若C是常数，则 E(CX ) CE( X );
3. 若 ( X ,Y )是二维随机向量，则
E( X Y ) E( X ) E(Y );
注： 推广到 n 维随机向量，有
n
n
E( Xi ) E(Xi )
i 1
ห้องสมุดไป่ตู้
i 1
数学期望的性质
4. 若 ( X ,Y ) 是二维随机向量，且 X ,Y相互独立,
E( X )E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y ).
特别地，当X与Y 独立时，有 cov( X ,Y ) 0.
协方差的性质 1. 协方差的基本性质
(1) cov( X , X ) D( X ); (2) cov( X ,Y ) cov(Y , X ); (3) cov(aX ,bY ) abcov( X ,Y ), 其中 a,b 是
定理1 设 X 是一个随机变量，Y g( X ), 且E(X ) 存
在, 于是
(1) 若X 为离散型随机变量，其概率分布为
P{ X xi } pi , i 1,2,
若 g(xi ) pi 绝对收敛，则Y的数学期望为
i 1
E(Y ) E[g( X )] g(xi ) pi;
cov( X ,Y )
[x E( X )][ y E(Y )] f ( x, y)dxdy.
协方差的定义
利用数学期望的性质，易将协方差的计算化简.
cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]} E( XY ) E( X )E(Y ) E(Y )E( X )
x0
随机变量的分布与数字特征
在决策树中，期望值可以用于评估每个分支的预 期收益或损失，以选择最优路径。
概率分布的确定
通过计算期望值，可以确定概率分布的中心趋势 和平均水平。
03
方差与其他数字特征
方差的定义与性质
方差是衡量随机变量离散程度的量，其计算公 式为：$sigma^2 = E[(X-mu)^2]$，其中$X$ 是随机变量，$mu$是期望值，$E$表示期望。
离散概率分布的性质
离散随机变量的概率分布具有非负性、归一性和可加性。
连续随机变量的分布
连续随机变量
连续随机变量是在一定范围内可以连续取值的随机变量，例如人 的身高。
连续概率分布
连续随机变量的概率分布可以表示为一个概率密度函数，该函数描 述了随机变量在各个取值范围内的概率。
连续概率分布的性质
连续随机变量的概率分布具有非负性、归一性和可积性。
随机变量的分布与数 字特征
目 录
• 随机变量的分布 • 随机变量的期望值 • 方差与其他数字特征 • 协方差与相关系数 • 随机变量的其他数字特征
01
随机变量的分布
离是在一定范围内可以一一列举出来的随机变量，例 如投掷一枚骰子出现的点数。
离散概率分布
离散随机变量的概率分布可以表示为一系列概率值的集合，每个 概率值对应一个可能的结果。
分位数
分位数
描述数据分布的位置。例如，中位数是位于数据中间 的数，表示数据的中心位置；上四分位数和下四分位 数分别表示位于数据分布的25%和75%位置的数。
计算方法
对于任意给定的概率p，分位数qp = inf{x | F(x) ≥ p}
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论随机变量与随机变量的数字特征
论随机变量与随机变量的数字特征
随机变量是随机试验的结果，它可以取不同的取值，并且
每个取值都有相应的概率与之对应。
随机变量的数字特征
是对其分布进行度量和描述的统计量。
常见的随机变量的数字特征包括：
1. 期望值（均值）：用于表示随机变量平均取值的数字特征。
对于离散型随机变量X，其期望值为E(X)，定义为每
个取值乘以其概率的加权平均值。
对于连续型随机变量X，其期望值为E(X)，定义为函数f(x)乘以其概率密度函数的加权积分。
期望值可以理解为随机变量对应分布的中心位置。
2. 方差：用于表示随机变量取值的离散程度。
方差越大，
随机变量的取值波动越大。
方差的计算公式为Var(X) =
E((X - E(X))²)，其中E表示期望值。
3. 标准差：标准差是方差的平方根，用于衡量随机变量取
值的波动程度。
标准差越大，随机变量的取值波动越大。
4. 偏度：偏度衡量随机变量的离散程度和分布的对称性。
正偏表示分布右尾比左尾重，负偏表示分布左尾比右尾重，偏度为0表示分布左右对称。
5. 峰度：峰度衡量随机变量分布的尖峰程度。
正态分布的峰度为3，大于3表示比正态分布尖峰，小于3表示比正态分布平坦。
这些数字特征可以帮助我们更好地理解和描述随机变量的分布特点，从而进行数据分析和统计推断。
随机变量分布与数字特征
5. 1 随机变量
(1)离散型随机变量:取有限个或无限可列个值。如例(1)、例(2 ) 。 (2)非离散型随机变量:可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部
值。非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种—连续 型随机变量，如例(3)、例(4)。 例5.1.1设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如 果用X表示取出产品中一级品的个数，求X取不同值时相应的概率。 解:X可取值为{0,1,2}。
分布，分别求(1)每分钟恰好接到3次呼叫的概率;(2)每分钟内接到呼叫次 数不布
在二项分布中，当n很大(n>>10)且P很小(P≤1)时，也可近似用泊松分布 公式计算，其中λ=np。
例5. 2. 7若一年中参加某种寿险的人死亡率为0. 002，现有2 000人参加， 每人交保险费24元，一旦死亡保险公司赔偿5 000元，求(1)保险公司亏 本的概率;(2)保险公司盈利不少于10 000元的概率。
也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但可通过如下示性函数使之
数值化。比如，产品合格与不合格可令 否
,事件A发生与
用
,这些事件数值化后，数量是会变化的，称为变量。
但变量取值机会有大有小，所以叫随机变量。
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5. 1 随机变量
定义5.1.1在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一 个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量。通常用希腊字 母或大写英文字母X, Y, Z等表示随机变量，用小写英文字母xi、yi表示 随机变量相应于某个试验结果所取的值。
例5. 2. 1某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间中，有24 天每天销售汽车是0辆，有38天每天销售为1辆，有20天每天销售为2辆， 有12天每天销售为3辆，有6天每天销售为5辆。定义随机变量X为一天 中售出汽车数取值为{0,1,2,3,5}，概率用P(X)表示，可求出P(X=0)
随机变量的数字特征
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X ) 的分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求g(X )的分布而只根据 X 的分布求得 E[g(X )] 呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的.
20
类似引入上述EX 的推理，可得如下的基本公式: 设X 是一个随机变量，Y =g(X )，则
∞ 散 ∑g(xk ) pk , X离 型 EY = E[g( X )] = k=1 +∞ g(x) p(x)dx, X连 型 续 ∫−∞ 当X 为离散型时, P( X = xk ) = pk ;
−λ x
d(−λx) = −∫0 x de
+∞
−λ x
=
1
λ
18
∵ λ = 0.002
∴ EX = 500
小时。
三、随机变量函数的数学期望 问题的提出： 1. 问题的提出： 设已知随机变量X 的分布， 我们需要计算的不是X 的期望，而是X 的某个函数g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为g(X )也是随机变量， 故应有概率 分布，它的分布可以由已知的X 的分布求出来. 就可以按照期望的 一旦我们知道了g(X )的分布， 定义把 E[g(X )] 计算出来.
E( X2 ) =8×0.1+ 9×0.5+10×0.4 = 9.3
因此乙的平均环数比甲的多， 因此乙的平均环数比甲的多， 即乙射手比甲射手的成绩好。 即乙射手比甲射手的成绩好。
15
二、连续型随机变量的数学期望 定义2 定义2 设连续型随机变量X 的概率密度为 p(x) . 如果 则称
∫
x p(x)dx 绝对收敛， 绝对收敛， −∞
n n
推广: E(∑Xi ) = ∑EXi
概率论数字特征
在概率论中，数字特征是用来描述随机变量分布特征的数字指标。
以下是概率论中常见的数字特征：
1. 期望：
-期望是随机变量概率分布的均值，反映随机变量的平均取值水平，通常用E(X) 表示。
-期望可以通过对随机变量的每种可能取值乘以其对应的概率，再求和得到。
2. 方差：
-方差是随机变量与其期望的离差平方的平均值，反映随机变量取值的分散程度，通常用Var(X) 或σ^2 表示。
-方差可以通过将随机变量每种可能取值减去其期望，然后平方，再乘以对应的概率，再求和得到。
3. 标准差：
-标准差是方差的算术平方根，通常用σ表示，具有与原始数据相同的单位。
-标准差可以用来衡量随机变量取值的波动程度。
4. 偏态：
-偏态是随机变量分布的不对称程度，若右侧尾部更长，则为正
偏态；若左侧尾部更长，则为负偏态。
-偏态可以通过随机变量的三阶中心矩计算得到。
5. 峰态：
-峰态是随机变量分布的峰度，反映随机变量分布曲线的陡峭程度，通常用K 表示。
-峰态可以通过随机变量的四阶中心矩计算得到。
6. 分位数：
-分位数是将随机变量分为若干部分的数字点，例如中位数就是将随机变量分为两部分的点，25%分位数就是将随机变量分为四部分的点等等。
-分位数可以用来表示随机变量分布的位置和离散程度。
在实际应用中，以上数字特征经常被用来描述随机变量分布的性质和特征，例如对于正态分布，期望和方差可以完全描述其分布特征。
对于非正态分布，还需要考虑偏态和峰态等特征。
2.2随机变量的数字特征
数学期望也称为均值。
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二、 随机变量的函数的分布
随机变量的函数
设 X 是一随机变量，Y 是 X 的函数， g X , 则 Y Y
也是一个随机变量．当 X 取值 x时，Y 取值 y g x
本节的任务就是：
已知随机变量 X 的分布，并且已知Y g X ， 要求随机变量Y 的分布．
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此时称Y 服从自由度为1的 2分布。
二、 随机变量的函数的分布
例 6
设 随机变量 X 的密度函数为 f X x ， X ，试 Y 求随机变量Y 的密度函数 f Y y ．
设随机变量X 的分布函数为FX y ，随机变量 Y 的分布函数为FY y
解：
FY y P y P X y Y
解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
10 由于 Y X 2 0, 故当 y 0 时 FY ( y) 0.
20 当 y 0 时, FY ( y ) P{Y y} P{ X 2 y} P{ y X y }
y y
f X ( x)dx.
Y = (X-1)2
的分布律.
1 2 X -1 0 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
解: Y 有可能取的值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1,
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二、 随机变量的函数的分布
例 2（续） Y=(X-1)2 同理,
(1) 旅客 8:00 到站，求他侯车时间的数学期望。 (2) 旅客 8:20 到站，求他侯车时间的数学期望。
解：设旅客的候车时间为 X（以分记）
随机变量的5个数字特征
随机变量的5个数字特征。
随机变量的5个数字特征
随机变量是一种可以在多种不同情况下表现出不同数值的变量，它的数字特征可以帮助我们更加深入的了解一个随机变量的性质。
下面就介绍随机变量的5个数字特征：
首先是均值，它是一个随机变量的平均数，用来反映其数值的平均水平，可以帮助我们预测其可能表现出的数值范围；
其次是方差，它反映了一个随机变量的数值水平差异程度，当方差较低时，意味着随机变量的数值波动不大；
接着是标准差，它是方差的平方根，可以反映一个随机变量的数值分散程度，标准差越小，意味着数值的分布越集中；
最后还有三个数字特征，分别是偏度、峰度和相关系数，它们分别反映一个随机变量数值分布的偏斜程度、峭度以及与其他变量之间的关联程度。
总之，随机变量的5个数字特征，即均值、方差、标准差、偏度、峰度和相关系数，可以帮助我们更加深入地了解一个随机变量的性质，从而更好地分析和预测数据作出正确的决策。
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征包括均值、方差、标准差、偏度和峰度等。
其中，均值是衡量随机变量中心位置的指标，是所有取值的平均数；方差是随机变量离均值的距离平方的平均数；标准差是方差的算术平方根，也是随机变量离均值距离的度量，具有与随机变量相同的量纲；偏度是随机变量概率分布的偏斜程度，为其分布的非对称程度的度量；峰度则是随机变量概率分布的尖锐程度，衡量随机变量的概率分布在平均值附近的峰值高低。
可以通过计算公式来求解以上数字特征，例如均值的计算公式为所有取值的总和除以取值的数量；方差的计算公式为将每个取值与均值的差值平方后的总和除
以取值的数量；标准差的计算公式则是方差的算术平方根；偏度的计算公式为三阶中心矩与标准差的比值；峰度的计算公式为四阶中心矩与标准差的四次幂的比值。
了解随机变量的数字特征有助于描绘随机变量的特征与规律，进而分析和预测其行为。
同时，对于特定应用领域，也需要针对性地选择数字特征进行分析，以
更好地满足应用的需求。
第十章 第五节 离散型随机变量的分布列及数字特征
(1)C 解析：D(3X－1)＝9D(X)，只需求 D(X)的最大值即可，根据题意 a＋b
又 0≤p1≤1，∴0≤13 －d≤1，∴－23 ≤d≤13 .同理，由 0≤p3≤1，p3＝d＋13 ， ∴－13 ≤d≤23 ，∴－13 ≤d≤13 ，即公差 d 的取值范围是－13，13 .
3．随机变量 X 的概率分布列如下：
X0
1
2
3
4
5
6
P
1 a
1 a
C16
1 a
C26
1 a
C36
1 a
为
X x1 x2 …
xi
…
xn
P p1 p2 …
pi
…
pn
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 为 X 的数学期望或均值．
意义：离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均水平．
(2)离散型随机变量的方差定义：
设离散型随机变量 X 的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
X
－1
0
1
P
1 4
1 2
1 4
A．0 B．1 C．14
D．12
D 解析：E(X)＝－1×14 ＋0×12 ＋1×14 ＝0，
则 D(X)＝14 ×(－1－0)2＋12 ×(0－0)2＋14 ×(1－0)2＝12 .
第二章随机变量的分布和数字特征习题课
第二章 随机向量的分布和数字特征的习题课一：选择题：1. 若随机变量 21,X X 的分布函数为)(1x F 与)(2x F 则a ,b 取值为（ ）时，可使F(x)=a )(1x F -b )(2x F 为某随机变量的分布函数。
A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2分析：由分布函数在±∞的极限性质，不难知a,b 应满足a-b=1,只有选项A 正确。
[答案 选：A] 2. 设 X ～ϕ(x ),且ϕ (-x )= ϕ(x ),其分布函数为F (x ),则对任意实数a , F (-a )=( )。
A.1-⎰ax 0)(ϕd x B . 21-⎰ax 0)(ϕ d x C .F(a) D .2F(a)-1 分析：①是偶函数，可结合标准正态分布来考虑；②⎰ax 0)(ϕ d x ＝F(a)－F(0)；③F(0)＝0.5；④F(a)＋F(-a)=1 [答案 选：B] 3.设X ～N (μ,2σ),则随着σ的增大，P (|X -μ|<σ)（ ）。
A.单调增大 B.单调减少 C.保持不变 D.增减不定 [答案 选：C]4.设随机变量X 与Y 均服从正态分布，X ～N(μ,16)，Y ～N(μ,25),记P{X ≤μ＋4}=1p ,P{Y ≤μ+5}=2p ,则（ ）正确。
A.对任意实数μ，均有1p =2pB. 对任意实数μ，均有1p <2pC.只对个别的μ值才有 1p =2pD. 对任意实数μ，均有1p >2p [答案 选： A]5. 设X 是随机变量且)0,()(,)(2>==σμσμX D X E ，则对任意常数c ，（）成立。
222)(.c EX c X E A -=-22)()(.μ-=-X E c X E B 22)()(.μ-<-X E c X E C22)()(.μ-≥-X E c X E D分析：[答案 选：D ]由2)(,)(σμ==X D X E ，得2222)()(μσ+=+=EX X D EX)2()(222c cX X E c X E +-=-∴2222222)(22c c c c cEX EX -+=+-+=+-=μσμμσ)2()(222μμμ+-=-X X E X E222222222σμμμσμμ=+-+=+-=EX EX显然22)()(μ-≥-X E c X E二：题空题1. 设在每次伯努里试验中，事件A 发生的概率均为p,则在n 次伯努里试验中，事件A 至少发生一次的概率为（ ），至多发生一次的概率为（ ）。
离散型随机变量及其分布列、数字特征
－0.6)2×0.006＝0.46.
方法总结
1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能
值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.
2.注意E ( aX ＋ b )＝ aE ( X )＋ b ， D ( aX ＋ b )＝ a 2 D ( X )的应用.
p
知识点三 离散型随机变量的数字特征
1. 均值
(1)一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
X
x1
x2
···
xi
···
xn
P
p1
p2
···
pi
···
pn
则称 E ( X )＝
x 1 p 1＋ x 2 p 2＋···＋ xipi ＋···＋ xnpn
＝ ∑ xipi 为随机变量
=1
X 的均值或数学期望，它反映了随机变量取值的 平均水平
3
0.3
方法总结
离散型随机变量分布列的性质的应用
1.利用“所有概率之和为1可以求相关参数的取值范围或值.”
2.利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个
值的概率之和”求某些特定事件的概率.
3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
跟踪训练
1. 设离散型随机变量 X 的分布列为
X
数 X ( w ) 与之对应，我们称
X 为随机变量.
2. 离散型随机变量
可能取值为
有限个 或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型
随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如 X ， Y ， Z ；用小
离散型随机变量及其分布列、数字特征
题型二 离散型随机变量的分布列及数字特征
例2 (1)(多选)设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有
√A.q＝0.1
B.E(X)＝2，D(X)＝1.4
√C.E(X)＝2，D(X)＝1.8 √D.E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
(2)(2022·昆明模拟)从1,2,3,4,5这组数据中，随机取出三个不同的数，用X
表示取出的数字的最小数，则随机变量X的均值E(X)等于
√A.32
5 B.3
7 C.4
9 D.5
由题意知，X的可能取值为1,2,3，而随机取3个数的取法有C35 种，
当X＝1时，取法有 C24 种， 即 P(X＝1)＝CC3524＝35；
√B.P12<ξ<54＝15
C.P110<ξ<12＝125
D.P(ξ＝1)＝130
对于选项A，
∵随机变量ξ的分布列为
Pξ＝5k＝ak(k＝1,2,3,4,5)，
∴Pξ＝15＋Pξ＝25＋Pξ＝35＋Pξ＝45＋P(ξ＝1)
＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，
解得a＝
1 15
，故A正确；
对于B，易知
X
－1
0
1
1
P
m
4
n
若随机变量X的均值E(X)＝172，则mn＝___1_18____，P(X≤0)＝____13____.
由题意知mn－＋mn＋ ＝1147＝ 2，1， 解得m＝112，
n＝23， 所以 mn＝118，P(X≤0)＝m＋14＝13.
5.3 几种重要的分布及数字特征.
Y
X -μ σ
～N(0,1)
其中线性变换称为随机变量 Ｘ的标准正态化。
其中θ为参数（ θ > 0）
则称 X 服从指数分布，记为 X～E（a ,θ）。
3、正态分布
设随机变量 X 的概率密度是：
f (x)
1
e(x2σ μ2)2
σ 2π ( x )
则称 X 服从正态分布，记为 X～N（μ ,σ2）。 其中μ ,σ为参数（ σ > 0）
标准正态分布
X～P（λ）。
5.3.2 连续型随机变量的分布 1、均匀分布
设随机变量 X 的概率密度是：
1
f (x) b a
a≤x≤b
0
其它
则称 X 服从[a , b] 上的均匀分布，记为
X～U（a , b）。
2、指数分布
设随机变量 X 的概率密度是：
1
e
xa θ
x ≥a
f (x) θ
0
x<a
5.3 几种重要的分布及数字特征
5.3.1 离散型随机变量的分布
1、二点分布
设随机变量 X 只可能取 0、1 二个值，它 的概率分布是：
P（X=1）=p , P（X=0）=1-p (0<p<1)
则称 X 服从二点分布，或称 X 具有二点
分布。
2、二项分布
设随机变量 X 概率分布是：
pk P(X k) Ckn(1 p)nk k 0,1,2,...,n (0 p 1)
若正态分布N（μ ,σ2）中的两个参数μ＝0 , σ＝ 1 时，相应的分布N（0，1）称为标准正态分 布。
ห้องสมุดไป่ตู้
概率密度： φ(x)
连续型随机变量的分布及其数字特征
连续型随机变量的分布及其数字特征一、基本概念设随机变量X 的分布函数为F (x )，若存在非负函数f (x )，使对任意实数x ，有X x F {P )(=≤⎰∞-=xx x f x d )(}则称X 为连续型随机变量，并称 f (x )为X 的概率密度，它满足以下性质：① f (x )≥0，-∞＜x ＜+∞; ② ⎰+∞∞-=1d )(x x f ; ③ P{a <x ≤b }=F (b )-F (a )=⎰ba x x f d )(; ④ P{x =a }=0．二、常见的三种连续型随机变量的概率分布常用的三种连续型随机变量的概率分布是均匀分布、指数分布和正态分布． （1） 均匀分布若连续型随机变量X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0;,1)(b x a ab x f MATLAB 提供的有关均匀分布的函数如下：unifpdf(X ,A ,B ) 均匀分布的密度函数 unifcdf(X ,A ,B ) 均匀分布的累积分布函数unifinv(P ,A ,B ) 均匀分布的逆累积分布函数 unirnd(A ,B ,m ,n ) 均匀分布的随机数发生器 unifstat(A ,B ) 均匀分布的数学期望与方差其中X 为随机变量，P 为概率值，A ，B 为均匀分布参数，m 和n 为生成随机数矩阵的行数和列数．（2） 指数分布如果随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥-=0,0;0),exp()(x x x x f λλ其中λ为常数，则称X 服从参数为λ的指数分布，记作X ～e (λ)． MATLAB 提供的有关指数分布的函数如下：exppdf(X ,L ) 指数分布的密度函数 expcdf(X ,L ) 指数分布的累积分布函数 expinv(P ,L ) 指数分布的逆累积分布函数 exprnd(X ,L ,m ,n ) 产生服从指数分布的随机数 expstat(L ) 求指数分布的数学期望与方差其中X 为随机变量，L 为参数λ，P 为显著概率，m 和n 为随机数矩阵的行数和列数． 绘制指数分布密度函数和累积分布函数图形的程序如下x=-0.1:0.001:0.4;subplot(1,2,1);plot(x,y,'k'); axis([-0.1,0.4,-0.1,21]);subplot(1,2,2);plot(x,z,'k'); axis([-0.1,0.4,-0.1,1.1]);指数分布的密度函数及累积分布函数图（3） 标准正态分布如果随机变量X 的概率密度为：,,2)(exp 21)(22+∞<<∞-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=x x x f σμσπ 其中μ和σ均为常数，且σ>0，则称X 服从参数为μ和σ2的正态分布，记作X ～N(μ,σ2)．当μ=0，σ=1时，称X 服从标准正态分布，记作X ～N(0,1)． MATLAB 提供的有关正态分布的函数如下：normpdf(X ,M ,C ) 正态分布的密度函数 normcdf(X ,M ,C ) 正态分布的累积分布函数 norminv(P ,M ,C ) 正态分布的逆累积分布函数 normrnd(M ,C ,m ,n ) 产生服从正态分布的随机数 normstat(M ,C ) 求正态分布的数学期望和方差其中X 为随机变量，M 为正态分布参数μ，C 为参数σ，P 为显著概率，m 和n 为随机矩阵的行数和列数．绘制标准正态分布的密度函数及累积分布函数图和一般正态分布的密度函数及累积分布函数图的程序如下：x=-4:0.01:4;subplot(2,2,1);plot(x,y,'k');axis([-4,4,-0.1,0.5]);subplot(2,2,2);plot(x,z,'k');axis([-4,4,-0.1,1.1]);x=-4:0.01:16;y1=normpdf(x,6,1);z1=normcdf(x,6,1);y2=normpdf(x,6,4);z2=normcdf(x,6,4);y3=normpdf(x,6,0.6);z3=normcdf(x,6,0.6);subplot(2,2,3);plot(x,y1,'k',x,y2,'k',x,y3,'k');axis([-4,16,-0.1,0.8]);subplot(2,2,4);plot(x,z1,'k',x,z2,'k',x,z3,'k');axis([-4,16,-0.1,1.1]);三、求解方法（1）通用函数介绍.Pdf 计算已选函数的概率密度函数,调用格式为:Y=Pdf(name, X,A)Y=Pdf(name, X,A,B)Y=Pdf(name, X, A,B,C)Name为上表中取stat后的字符，如beta、 bino 、chiz、exp等。
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1. 离散型随机变量的分布及其数字特征。
如果随机变量 x 的所有可能取值为有限个或无穷可列个， 则称 x 为离散型随机变量． 设 x 的所有可能值为 x1 , x 2 , , x n …，并且 x 取这些值的概率为： P{X＝ x k }＝ p k ， k＝l，2，…，
则称其为随机变量 X 的概率分布．它满足以下性质： ①
2. 连续型随机变量的分布及其数字特征
（1） ．均匀分布 若连续型随机变量 X 的概率密度为：
1 f ( x) = b − a 0
a< x<b 其它
则称 X 在区间(a，b)上服从参数为 a 和 b 的均匀分布，记作 X ~ U(a，b)． MATLAB 提供的有关均匀分布的函数如下 unifpdf(X，A，B) unifcdf(X，A，B) unifinv(P，A，B) unirnd(A，B，m，n) unifstat(A，B) 均匀分布的密度函数 均匀分布的累积分布函数 均匀分布的逆累积分布函数 均匀分布的随机数发生器 均匀分布的数学期望与方差
其中 x 为随机变量；N 为独立试验的重复数；P 为事件发生的概率；m 和 n 分别是所产生随 机矩阵的行数和列数．若不指定 m 和 n，则返回一个随机数，否则返回一个服从二项分布的 m×n 阶随机矩阵．可用下述程序描绘出二项分布的概率分布图和累积概率分布图．由于 MATlAB 不提供绘分段函数图象的命令， 故可借助如下函数 sstep()描绘累积函数分布图， 其 用法如下： sstep(Y)或 sstep(X，Y) 其中 X 用于指定画线位置，Y 表示线相对坐标轴的高度，还可增加线的属性。 Function [xo，yo]＝sstep(varargin) error(nargchk(1，3，nargin))； sym=[ ]； if isstr(varargin{nargin})， 生成一个或多个服从二项分布的随机数．如 binornd(10，0．7)。 binornd(10，0．7，5，10) ans＝7 7 5 8 6 6 6 9 5 7 6 8 8 6 7 8 5 7 8 9 8 7 7 9 9 9 8 7 7 5 ans＝ 6
p k ≥ 0， k＝l，2，…，
②
∑p
k =1
∞
k
＝1．
称 F(x)＝
xk ≤ x
∑p
k
为累积概率分布．我们研究一个随机变量，就是研究随机变量的概率
分布、 累积概率分布和分布的数字特征， 有时也需要求给定显著概率条件下假设检验的临界 值，这实际上是累积分布函数的反函数问题，称为逆累积分布函数．常用的离散型随机变量 的分布有：两点分布、二项分布、泊松分布和超几何分布等．在二项分布中，当 n＝l 时为 两点分布．因此，我们只讨论二项分布、泊松分布和超几何分布．
[e，d]＝poisstat(5) [e，d]＝poisstat(10) 3．超几何分布
e ＝ e ＝ 10
如果随机变量 x 的所有可能取值为 0，l，2，…，L(L＝min{M，N})，X 的概率分 布为： P{X＝k}＝
K n −k CM CN −M n CN
K＝0，l，2， · · · ，L
其中整数 M， N＞0， 且 n ≤ N—M， 则称 X 服从参数为 N， M， n 的超几何分布， 记作 x~H(N， M，n)．MATLAB 中有关超几何分布的统计函数为 hygepdf(M，n，k，N) 超几何分布的密度函数
x1＝[x(1：3) y＝[y(1：3) 0
3x(4：8) y(4：8)
7x(9：11)]； 0 y(9：11)]；
subplot(1，2，1)；plot(x1，y, ‘k’)； （2）指数分布 设随机变量 X 的概率密度为：
λe − λx f ( x) = 0
x>0 ’ 其它
其中 λ 为常数，则称 X 服从参数为 λ 的指数分布，记作 x ~ e( λ )．MATLB 提供的有关指数 分布的函数如下： exppdf(x，L) expcdf(X，L) expinv(P，L) exprnd(x，L，m，n) expstat(L) 指数分布的密度函数 指数分布的累积分布函数 指数分布的逆累积分布函数 产生服从指数分布的随机数 求指数分布的数学期望与方差
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(1)．二项分布 若随机变量 x 的所有可能取值为 0，l，…，n，其概率分布为
k P{X＝k}＝ C n p k q n− k ,
k＝0，l，2，…，n，
其中 q＝l—p 则称 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记作 X~B(n，p)．显然，两点分布是 二项分布的特例．二项分布的数学期望为 E(X)＝np，方差为(X)＝npq。 在 MATLAB 中提供有二项分布的统计函数：binopdf()、binocdf()、binoinv()、binornd() 以及计算二项分布均值和方差的函数 binostat()，其使用格式为 binopdf(X，N，P) binocdf(X，N，P) binoinv(Y，N，P) binornd(N，P，m，n) binostat(N，P) 二项分布的密度函数 二项分布的累积分布函数 二项分布的逆累积分布函数 产生服从二项分布的随机数 求二项分布的数学期望与方差
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利用逆累积概率分布函数求一定显著概率条件下，f 泊松分布假设检验临界值 x＝0：0．1：1； x＝0．0 0．1 0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0. 7 0．8 0．9 1．0
poissinv(x，5) ans ＝1 2 3 4 4 5 5 6 7 8 Inf
poissinv(x，10) ans＝1 6 7 8 9 10 ll 12 13 14 Inf
poissinv(x，100) ans ＝1 87 92 95 97 100 102 105 108 113 Inf
poissinv(x，1) ans ＝1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 Inf
求服从泊松分布的随机数及数学期望与方差如下 polssrnd(1) poissrnd(5) poissrnd(5， 5，10) ans＝ 4 7 6 3 4 6 5 4 8 4 9 4 3 6 10 1 3 8 8 6 4 4 2 8 7 10 5 6 8 4 7 4 4 l 5 3 6 5 6 4 5 3 5 5 3 2 6 2 6 7 3 d ＝ 5 d ＝10 ans ＝ 1 ans ＝ 5
λ k −λ P{X＝k}＝ e ， K＝0，l，2， · · · · · · ， k!
其中 λ ＞0 为常数，则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布，记作 X ~ P( λ )，泊松分布的数学期 望 E(x)＝ λ ，方差 D(X)＝ λ ． 在 MATLAB 中，提供如下有关泊松分布的统计函数，使用格式为 poisspdf(x，LMD) poisscdf(X，LMD) poissinv(Y，LMD) poissrnd(LMD，M，N) poissstat(LMD) 泊松分布的密度函数 泊松分布的累积分布函数 泊松分布的逆累积分布函数 产生服从泊松分布的随机数 求泊松分布的数学期望与方差
其中 x 为随机变量；Y 为显著概率值；LMD 为参数；M 和 N 为产生随机矩阵的行数和列 数．例如类似于二项分布可用下述程序绘出服从泊松分布的密度函数和累积分布函数图。 X＝0：5； yl＝poisspdf(x，0．3)；z1＝poisscdf(x，0．3); y2＝poisspdf(x，0．6)；z2＝poisscdf(x，0．6)； y3＝poisspdf(x，0．9)；z3：poisscdf(x，0．9)； subplot(2，1，1)；plot(x，y1， ‘k． ’ ，x，y2， ‘k． ’ ，x，y3， ‘k． ’)； subplot(2，1，2)；sstep(x，z1， ‘k’)； sstep(x，z2， ， ‘k’)；sstep(x，z3， ‘k’)；
实验三 随机变量的分布 及其数字特征
实验目的：
1. 了解 MATLAB 计算机模拟思想。 2. 会求各种随机变量的分布及其数字特征。
实验内容：
1. 使用 MATLAB 计算机产生各种随机变量的分布的随机数。 2. 用 MATLAB 求各种随机变量的分布及其数字特征。 3. 概率统计定义的计算机模拟。
其中 X 为随机变量，L 为参数 λ ，P 为显著概率，m 和 n 为随机数矩阵的行数和列数．绘制 指数分布密度函数和累积分布函数图形的程序如下： x＝－0．1：0．001：0．4； y＝exppdf(x，0．05)；z＝expcdf(x，0．05)； subplot(1，2，1)；plot(x，y， ’k’)； axis([－0．1，0．4，－0．1，21])； subplot(1，2，2)；plot(x，z， ‘k’)； axis([－0．1，0．4，－0．1，1．1])； 求服从指数分布随机数的例子如下 exprnd(0．05) exprnd(0．05，5，7) ans＝0． 0689 0． 0066 0． 0152 0．0996 0．2222 0．0207 0．0629 0． 0056 0． 0807 0． 0604 0．0270 0．0430 0． 0378 0． 1368 0． 0006 0．0744 0．0273 0． 0331 0． 0548 0． 0419 0．0783 0．0484 0． 0137 0． 0318 0． 0223 0．0283 0．0l15 0． 0122 0． 0192 0． 0387 0． 1414 0． 0253 0． 1495 ans ＝ 0．0652
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hygepcdf(M，n，k，N) hygeinv(P，n，k，N) hygestat(n，A，N)