独立重复试验与二项分布 课件
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k_=__0_,1_,_2_,·_··_，__n________．
此时称随机变量X服从_二__项__分__布_，记作__X_～__B_(_n_，__p_) ，并 称p为__成__功____概率．
例如：某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他射击4 次恰好击中3次的概率是
_P_(_X_＝__3__)＝__C__340_._9_3_(1_－___0_.9_)_4_－_3＝__0_._2_9_1_6_.____________________
所求概率为 P＝C35×353×1－352＝261265.
(3)该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次连续击中目标，而 其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把 3 次连续击 中目标看成一个整体可得共有 C13种情况．
故所求概率为 P＝C13·353·1－352＝3312245.
二项分布
将一枚均匀硬币随机掷100次，求正好出现50次正 面的概率．
点评：独立重复试验是同一试验的n次重复，每次试验结
果的概率不受其他次结果的概率的影响，每次试验有两个可
能结果：成功和失败，n次试验中A恰好发生了k次的概率为
C
k n
pk(1－p)n－k，这k次是n次中的任意k次．若是指定的k次，则概 率为pk(1－p)n－k.
解析：(1)该射手射击了 5 次，其中只在第一、三、五次 击中目标，是在确定的情况下击中目标 3 次，也就是在第二、 四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的
结果互不影响，故所求概率为 P＝35×1－35×35×1－35×35＝ 108 3125.
(2)该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次击中目标．根据排 列组合知识，5 次当中选 3 次，共有 C35种情况，因为各次射 击的结果互不影响，所以符合 n 次独立重复试验概率模型．故
___________________．
3．有放回与无放回的区别：
无放回
有放回
从无分含次放布有品回PM数(抽X件，＝取次则mn)件品X＝服，的C从恰NmMC件C超好nNnN－产－几有mM品何X件中. ，从有次P含(放品X有＝回数Mk抽，)件＝取则次nX次品服C，的pkn从k恰N(1二件－好项产p有)分品nX－布件中k. ，
例如：掷一枚图钉，针尖向上的概率为0.6，则针尖向下 的概率为1－0.6＝0.4，则第1次、第2次、第3次、…、第n次 针 尖 向 上 的 概 率 ___相__同___ ， 这 样 的 试 验 是 _独__立__重__复__试__ _验__(_或__贝__努__里__试__验__)．
2．一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次 数为X，如果在每次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次 独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P_(_X_＝__k)_＝__C_knp_k_(1_－_ p)n－k
解析：设事件A：“服用此药后病人被治愈”，则有P(A) ＝90%.
∵10位病人独立地服用此药相当于10次独立重复试验， 至少7人被治愈即是事件A至少发生7次．
∴ 所 求 的 概 率 P＝ P10(7) ＋ P10(8) ＋ P10(9) ＋ P10(10) ＝ C710·0.97·0.13＋C810·0.98·0.12＋C910·0.99·0.1＋C1100·0.910≈0.98.
分析：此题是最简单的试验，每次只有正反两种可能， 各次掷出的结果互不影响，故可采用独立重复试验来研究．
解析：掷一次硬币可看作一次试验，每次有两个可能结 果，正面、反面，由于硬币均匀，所以出现正面的概率为0.5， 故掷100次可看作进行了100次独立重复试验．如果用ξ表示出 现正面的次数，则ξ服从n＝100，p＝0.5的二项分布，故所求 概率为
P(ξ＝50)＝C51000p50(1－p)100－50＝C1500012100≈0.08.
独立重复试验与二项分布的应用
一位病人服用某药品被治愈的概率为90%，求服 用这种药的10位患有同样疾病的病人中至少有7人被治愈的概 率．
分析：至少有7人被治愈可看成事件A至少发生7次，故 由在n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式 可求．
(1)5件产品中，有3件是次品， (2)5件产品中，有3件是次品，
2件是正品， 从中任意取2件， 2件是正品，从中任意取1件，
则取到次品数的分布列为 有放回地取2次，则取到次品
________.
数的分布列为________.
(1)
X P
0 CC2225＝110
1 CC12·C25 13＝160
2 CC2325＝130
独立重复试验与二项分布
1．所谓独立重复试验，是在同样的条件下_重__复__地___、各 次之间相__互__独__立__地进行的一种试验，也叫贝努里试验．
特 点 ： 每 一 次 试 验 的 结 果 只 有 _两__种__(某__事__要__么__发__生__，__ _要__么__不__发__生__)，且任何一次试验中发生的概率_都__是__一__样__的___．
(2) X
P
0
C02350252
＝245
1
C12351251
＝2152
2
C22352250
＝295
独立重复试验
某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概 率为 3 ，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次， 求： 5
(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率； (3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目 标的概率．
此时称随机变量X服从_二__项__分__布_，记作__X_～__B_(_n_，__p_) ，并 称p为__成__功____概率．
例如：某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他射击4 次恰好击中3次的概率是
_P_(_X_＝__3__)＝__C__340_._9_3_(1_－___0_.9_)_4_－_3＝__0_._2_9_1_6_.____________________
所求概率为 P＝C35×353×1－352＝261265.
(3)该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次连续击中目标，而 其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把 3 次连续击 中目标看成一个整体可得共有 C13种情况．
故所求概率为 P＝C13·353·1－352＝3312245.
二项分布
将一枚均匀硬币随机掷100次，求正好出现50次正 面的概率．
点评：独立重复试验是同一试验的n次重复，每次试验结
果的概率不受其他次结果的概率的影响，每次试验有两个可
能结果：成功和失败，n次试验中A恰好发生了k次的概率为
C
k n
pk(1－p)n－k，这k次是n次中的任意k次．若是指定的k次，则概 率为pk(1－p)n－k.
解析：(1)该射手射击了 5 次，其中只在第一、三、五次 击中目标，是在确定的情况下击中目标 3 次，也就是在第二、 四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的
结果互不影响，故所求概率为 P＝35×1－35×35×1－35×35＝ 108 3125.
(2)该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次击中目标．根据排 列组合知识，5 次当中选 3 次，共有 C35种情况，因为各次射 击的结果互不影响，所以符合 n 次独立重复试验概率模型．故
___________________．
3．有放回与无放回的区别：
无放回
有放回
从无分含次放布有品回PM数(抽X件，＝取次则mn)件品X＝服，的C从恰NmMC件C超好nNnN－产－几有mM品何X件中. ，从有次P含(放品X有＝回数Mk抽，)件＝取则次nX次品服C，的pkn从k恰N(1二件－好项产p有)分品nX－布件中k. ，
例如：掷一枚图钉，针尖向上的概率为0.6，则针尖向下 的概率为1－0.6＝0.4，则第1次、第2次、第3次、…、第n次 针 尖 向 上 的 概 率 ___相__同___ ， 这 样 的 试 验 是 _独__立__重__复__试__ _验__(_或__贝__努__里__试__验__)．
2．一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次 数为X，如果在每次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次 独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P_(_X_＝__k)_＝__C_knp_k_(1_－_ p)n－k
解析：设事件A：“服用此药后病人被治愈”，则有P(A) ＝90%.
∵10位病人独立地服用此药相当于10次独立重复试验， 至少7人被治愈即是事件A至少发生7次．
∴ 所 求 的 概 率 P＝ P10(7) ＋ P10(8) ＋ P10(9) ＋ P10(10) ＝ C710·0.97·0.13＋C810·0.98·0.12＋C910·0.99·0.1＋C1100·0.910≈0.98.
分析：此题是最简单的试验，每次只有正反两种可能， 各次掷出的结果互不影响，故可采用独立重复试验来研究．
解析：掷一次硬币可看作一次试验，每次有两个可能结 果，正面、反面，由于硬币均匀，所以出现正面的概率为0.5， 故掷100次可看作进行了100次独立重复试验．如果用ξ表示出 现正面的次数，则ξ服从n＝100，p＝0.5的二项分布，故所求 概率为
P(ξ＝50)＝C51000p50(1－p)100－50＝C1500012100≈0.08.
独立重复试验与二项分布的应用
一位病人服用某药品被治愈的概率为90%，求服 用这种药的10位患有同样疾病的病人中至少有7人被治愈的概 率．
分析：至少有7人被治愈可看成事件A至少发生7次，故 由在n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式 可求．
(1)5件产品中，有3件是次品， (2)5件产品中，有3件是次品，
2件是正品， 从中任意取2件， 2件是正品，从中任意取1件，
则取到次品数的分布列为 有放回地取2次，则取到次品
________.
数的分布列为________.
(1)
X P
0 CC2225＝110
1 CC12·C25 13＝160
2 CC2325＝130
独立重复试验与二项分布
1．所谓独立重复试验，是在同样的条件下_重__复__地___、各 次之间相__互__独__立__地进行的一种试验，也叫贝努里试验．
特 点 ： 每 一 次 试 验 的 结 果 只 有 _两__种__(某__事__要__么__发__生__，__ _要__么__不__发__生__)，且任何一次试验中发生的概率_都__是__一__样__的___．
(2) X
P
0
C02350252
＝245
1
C12351251
＝2152
2
C22352250
＝295
独立重复试验
某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概 率为 3 ，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次， 求： 5
(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率； (3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目 标的概率．