试题六(有效约束_回归分析区间估计_迭代法收敛域)讲解
数值计算方法 迭代法及其收敛性 - 迭代法及其收敛性
x*
lim
k
x
k
1
lim
k
(
xk
)
(lim k
xk
)
( x* )
故k充分大时，xk可作为方程根的近似值
按上述方法构造迭代格式来求解方程的方法称为简单迭代法或逐
次迭代法。
不动点迭代法： 将方程 f ( x) 0 改写为: x ( x).
1 若要求x*满足f ( x* ) 0,则x* ( x* );反之亦然，
重点
实多项式方程
f ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x an (a0 0),
的求根问题.
（其中系数ai (i 0,1,, n)为实数）
若 方程f ( x*) 0, 则x*称为函数f ( x)的零点
1
若方程 f (x) (x x* )m g(x),
其 中m为 正 整 数 ， 且g( x* ) 0.
真真解解：：xx==1.13.234274272
典型例题
例3
用不同方法求方程x2 3 0的根x* 3.
(1) xk1 xk2 xk 3,(x) x2 x 3
(2)
xk 1
3 xk
,(x)
3, x
(3)
xk 1
xk
1 4
( xk2
3), ( x)
x
1 4
(x2
3)
(4)
xk 1
1 2
典型例题
(2)
xk1
3 xk
,(x)
3, x
( x* ) 1
(3)
xk 1
xk
1 4
(
x
2 k
3),( x)
x
1 (x2 4
第六章 迭代法-数值分析
由极限存在准则得 即
k
lim xi( k ) xi =0
k
(i 1, 2, , n)
, n)
lim xi( k ) xi
(i 1, 2,
定义：设{ A( k ) }为n阶方阵序列，A为n阶方阵，如果 lim A( k ) A 0
k
其中 为矩阵范数，则称序列{ A( k ) }收敛于矩阵A，记为 lim A( k ) A
g
n
其中bij
aij aii
, (i j , i, j 1, 2,
, n), g i
bi (i 1, 2, aii
, n).
迭代公式x ( k 1) Bx ( k ) g (k 0,1, 2, )用方程组表示为
(k ) (k ) (k ) ( k 1) b13 x 3 b1n x n g x b 1 12 x 2 1 (k ) (k ) (k ) ( k 1) b 23 x 3 b 2 n x n g x2 b 21 x 1 2 ( k 1) (k ) (k ) (k ) b n1 x1 b n 2 x 2 b n,n 1 x n 1 g x n n 因此，在Jacobi迭代法的计算过程中，需同时保留两个
k k
即x是方程组Ax b的解。
引入误差向量
k
(k ) (k ) lim x x lim 0 所以 等价于 k
( k 1)
x
( k 1)
x
由
x ( k 1) Mx ( k ) g
x Mx g
则可得
( k 1)
迭代回归法的基本原理
迭代回归法的基本原理
迭代回归法（Iterative Regression）是一种用于解决复杂问题的数学方法，它的基本原理是通过不断迭代的方式来逼近问题的最优解。
在实际应用中，迭代回归法通常用于拟合数据、解决最优化问题或者进行预测分析。
迭代回归法的基本原理是通过不断调整模型参数，使得模型与观测数据之间的差异最小化。
这个过程可以通过数学优化算法来实现，比如梯度下降法或者牛顿法。
在每一次迭代中，模型会根据当前的参数值计算出预测值，并与实际观测值进行比较，然后根据比较结果来调整参数，直到模型收敛到最优解或者达到一定的迭代次数。
迭代回归法在实际应用中具有广泛的用途。
例如，在机器学习中，迭代回归法常常用于训练神经网络模型，通过不断地调整权重和偏置来提高模型的预测准确度。
在金融领域，迭代回归法也常用于解决投资组合优化或者风险管理问题，通过不断迭代调整权重来优化投资组合的收益和风险。
此外，在工程领域，迭代回归法也可以用于拟合复杂的非线性模型，以及解决工程优化问题。
总之，迭代回归法作为一种基本的数学方法，具有广泛的应用领域和重要的理论意义。
通过不断地迭代调整模型参数，迭代回归法可以有效地解决复杂的数学问题，为实际应用提供了强大的工具和方法。
高数考研试题解析无穷级数的收敛域与收敛半径
高数考研试题解析无穷级数的收敛域与收敛半径无穷级数是数学分析中的一个重要概念，研究它的收敛域和收敛半径是高数考研试题中常见的一种题型。
在本文中，我们将从收敛域和收敛半径的定义入手，通过例题解析的方式来帮助读者更好地理解和应用这一概念。
无穷级数的收敛域是指使得无穷级数收敛的所有实数x的集合，也称为收敛区间。
而收敛半径则是收敛域的长度，记作R。
在解析无穷级数的收敛域和收敛半径时，常用的方法有根值判别法、比值判别法和积分判别法等。
根值判别法是通过计算无穷级数的通项的n次根的极限值来判断收敛域和收敛半径。
对于一个无穷级数∑(aₙxⁿ)，通过计算lim┬(n→∞)(|aₙ|⁄|aₙ₊₁|)的值，当该极限存在且大于0时，收敛半径R=1/lim┬(n→∞)(|aₙ|⁄|aₙ₊₁|)；当该极限不存在或为无穷大时，R=0；当该极限等于无穷时，R=+∞。
比值判别法是通过计算无穷级数的通项的绝对值的n+1项与n项的比值的极限值来判断收敛域和收敛半径。
对于一个无穷级数∑(aₙxⁿ)，通过计算lim┬(n→∞)(|aₙ₊₁|⁄|aₙ|)的值，当该极限存在且大于0时，收敛半径R=1/lim┬(n→∞)(|aₙ₊₁|⁄|aₙ|)；当该极限不存在或为无穷大时，R=0；当该极限等于无穷时，R=+∞。
积分判别法是通过求解无穷级数的通项对应的函数在收敛域上的不定积分的性质来判断收敛域和收敛半径。
对于一个无穷级数∑(aₙxⁿ)，令f(x) = ∑(aₙxⁿ)，如果f(x)在收敛域上连续，则收敛域包含收敛半径R。
为了更好地理解和应用这些方法，我们接下来通过解析一个具体的考研试题来探讨。
【解析示例】考虑无穷级数∑(n!)⁄(nⁿxⁿ)，我们将通过根值判别法、比值判别法和积分判别法来求解它的收敛域和收敛半径。
首先，我们使用根值判别法。
计算通项的n次根的极限值，lim┬(n→∞)(|(n!)⁄(nⁿxⁿ)|⁄|(n+1)!⁄((n+1)ⁿxⁿ₊₁)|)= lim┬(n→∞)((n+1)ⁿ⁺¹⁄nⁿ₊₁) = (1+1/n)ⁿ → 1因此，根值判别法得到的收敛半径为R = 1。
计算方法 第八章 解线性方程组的迭代法 高斯迭代法 迭代法的收敛性
( ( k x1k 1) , x2k 1) ,, xi(1 1)
的值，而Jacobi迭代公式并不利用这些最新的近似值计算， 仍用 (k ) (k ) (k )
x1 , x2 ,, xi 1
这启发我们可以对其加以改进,即在每个分量的计算中尽
设方程组 AX=b , 通过分离变量的过程建立 Jacobi迭代公式，即
a
i 1
n
ij
xj b , a 0 i i
( i 1,2, )n , ( i 1,2, )n ,
1 xi (bi aii
a
j 1 ji
n
ij
x) j
由此我们可以得到 Jacobi 迭代公式：
写成矩阵形式：
aii 0
x 1 a x ... a x b 12 2 1n n 1 1 a11 1 a x ... a x b x2 21 1 2n n 2 a22 ... ... ... ... 1 xn a an1 x1 ... a nn 1 xn1 bn nn
迭代法的基本思想 与解f (x)=0 的不动点迭代相类似，将AX=b改写
为X=BX+f 的形式，建立雅可比方法的迭代格式：
x( k 1) Bx( k ) f
其中，B称为迭代矩阵。其计算精度可控，特别 适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的 方程组。
5
AX b
15
迭代次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x1 0 0.72 1.04308 1.09313 1.099126 1.09989 1.099986 1.099998 1.1
第三章受约束回归问题讲述
可用二者的差 :RSSR - RSSU的大小来检验约 束的真实性
根据数理统计学的知识：
RSSU / 2 ~ 2 (n kU 1)
RSSR / 2 ~ 2 (n k R 1)
(RSSR RSSU ) / 2 ~ 2 (kU k R )
其中k 为无约束模型解释变量个数， kR为受约束模 型解释变量个数，于是：
1/9/2019
受约束样本回归模型的残差平方和：RSSR
ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e ( β β ) X X( β β ) * * * *
于是
e *e* e e
(3)
e′e为无约束样本回归模型的残差平方和：RSSU 受约束与无约束模型都有相同的总离差平方 和TSS（因为受约束与无约束模型都有相同 的被解释变量和样本）
然而，对所研究的具体问题能否施加约束？需 进一步进行相应的检验。 常用的检验有：F检验、x2检验与t检验。
1/9/2019
F检验
在同一样本下，记无约束样本回归模型为:
ˆ e Y Xβ
受约束样本回归模型为: ˆ * e* Y Xβ 于是:
ˆ * Xβ ˆ e Xβ ˆ * e X(β ˆ * β ˆ) e* Y Xβ
1/9/2019
建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费 需求模型:
ˆ ) 3.63 1.05 ln( X ) 0.08 ln( P1 ) 0.92 ln( P0 ) ln(Q
(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34)
各变量的弹性之和 1 2 3 0.05 ，比较接 近于零，但不为零。
迭代法收敛理论
第三章 线性代数方程组数值解法（迭代法）3．3 迭代法收敛性理论 1．收敛性问题 现在来研究与方程组fBx x +=对应的基本型迭代公式),2,1,0()()1( =+=+k f Bx x k k设*x 是方程组f Bx x +=（也即b Ax =）的就解，即有fBx x +=**要研究由迭代公式f Bx x k k +=+)()1(产生的序列)(k x 当 ∞→k 时是否收敛于*x ,4)()(*)1((*)k k x x B x x -=-+=)()1(*2--k x x B=)()0(*1x x B k -+可见当∞→k 时，是否有*)(x x k →，等价于是否有0→k B （零矩阵，即k B 的每一个元素趋于零） 略证根据线性代数，任何n 阶矩阵B 都存在非奇异矩阵P ，使得 JP P B 1-= P J P B k k 1-= 其中J 为B 的Jordan标准形⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1J J 2Jnn r J ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k J J 1kJ 2nn k r J ⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i i J λ 1 i λ ii n n i ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤λ1n n ri i =∑=1于是，可得),,2,1;(0)(0)(0r i k J k J k B ki k k =∞→→⇔∞→→⇔∞→→这时，若设⎢⎣⎡=λ2J ⎥⎦⎤λ1 ⎢⎢⎢⎣⎡=λ3J λ1 ⎥⎥⎥⎦⎤λ1 ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λm J λ1 1 λ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤λ1⎢⎣⎡=kkJ λ2⎥⎥⎦⎤-kk k λλ1=⎢⎣⎡kλ⎥⎥⎦⎤-kk kc λλ11⎢⎢⎢⎣⎡=kkJ λ3k k k λλ1-⎥⎥⎥⎦⎤---kk k k k k λλλ122/)1(⎢⎢⎢⎣⎡=kλ k k k c λλ11-⎥⎥⎥⎦⎤--kk k k k c c λλλ1122⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k kmJ λkk k c λλ11-1122--k k k k c c λλ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤+--+--km k k m m k k m c c λλλ2211其中)!(!!m k m k c k m -=于是又可得到),,2,1(1)(0r i k J i k i =<⇔∞→→λ 注意到),,2,1(1r i =<λ，即 1)(<B ρ，于是最后可得 1)()(0<⇔∞→→B k B k ρ由上面就得到下面迭代法的收敛定理。
迭代的收敛判据
迭代的收敛判据
正文：
迭代的收敛判据
在数学中，迭代法是一种解方程的方法，其基本思想就是将原问题转
化为形式相同但某些参数具有不同数值的几个问题。
每个问题的解都
由前一个问题的解按某种递推式得到。
通过不断递推，问题的解趋于
一个固定值的过程就称为迭代过程。
而迭代的收敛性判定则是判断迭
代过程是否能收敛到期望解的关键。
根据迭代法理论，一个迭代过程是否收敛，是与迭代函数的奇异性有
关的。
如果该函数在某个区间上单增且有上界，或单减且有下界，则
收敛性得以保证。
而如果迭代函数不具备这些性质，就需要通过其他
方式进行收敛性判定。
一种较为通用的收敛判据是柯西收敛准则。
柯西收敛准则是指一个数
列收敛当且仅当它满足柯西收敛条件，即对于任意的正数ϵ，存在正整
数N，使得当n，m≥N时，|an−am|<ϵ成立。
直观来说，就是数列的每
一项和相邻两项之间的差距越来越小，最终达到一个稳定的值。
此外，迭代收敛性还与待求解方程的性质相关。
以求解一元方程f(x)=0为例，其迭代公式为xn+1=g(xn)。
若f(x)在某个区间上单峰且具有单调性，那么迭代一定收敛，且收敛速度越快。
若不具备单峰性和单调性，
则需要将其转化为具有这些性质的方程组，才能通过迭代法求解。
总之，迭代法是一种非常有效的解方程的方法，也是数学中的重要理论之一。
在应用迭代法时，一定要注意选择合适的迭代公式和收敛判据，才能保证迭代过程的收敛性和计算精度。
迭代法和收敛性
x1(k x2(k
1) 1)
0.2x2(k) 0.1x3(k) 0.3
0.2x1(k )
0.1x3(k) 1.5 , k
0,1, 2,
x3(k
1)
0.2x1(k )
0.4x2(k )
2
迭代计算
x(0) 0 [0, 0, 0]T
x(1) 1
0.3
x(1) 2
1.5
x1(k x2(k
其中系数矩阵非奇异，且主对角元aii≠0，(i
=1,2,…,n)，由第i 个方程解出xi，有
x1
1 a11
(b1
a12 x2
a13 x3
x2
1 a22
(b2
a21x1
a23x3
xn
1 ann
(bn
an1x1
an2 x2
a1n xn ) a2n xn )
ann1xn1)
建立迭代格式
aij
x
( j
k
)
)
j i 1
加速
x ( k 1) i
( k 1)
xi
(1 ) xi(k )
i 1, 2, , n
或合起来写成迭代加速的形式
x (k 1) i
aii
(bi
i 1
a x (k 1) ij j j 1
n
aij
x
(k j
)
)
(1
)
xi( k
)
j i1
参数 称为松弛因子， 1 时迭代格式就是高斯-
x (k1) i
1 aii
(bi
n
aij x j(k ) ),
j1
(i 1,2,, n)
迭代解法(全章)讲解ppt课件
10/18/2023
第六章 线性方程组的迭代解法
21
§3 常用的三种迭代解法
一、 Jacobi迭代法
对于线性方程组 Ax=b
(1)
设 det(A)≠ 0 ，aii ≠ 0,i=0,1,2,…,n ，按照如下方式对A
进行分裂：
A=L+D+U
(2)
10/18/2023
第六章 线性方程组的迭代解法
22
则由 Ax=b 得到 (L+D+U) x=b >D x=-(L+U)x+b
或 向量序列 {x(k)} 收敛于向量 x* ，当且仅当它的每一 个分量序列收敛于x* 的对应分量，即
10/18/2023
第六章 线性方程组的迭代解法
7
二、矩阵的范数
矩阵范数是反映矩阵“大小”的一种度量，具体定义如下。 定义6.3 设||·||是以n阶矩阵为变量的实值函数，且满足 条件：
(1) || A ||≥0，且|| A ||＝0时，当且仅当A＝0
矩阵1-范数：
列和
矩阵2-范数：
矩阵∞-范数：
行和
以上三种范数都满足矩阵范数的条件，通常将这三种 矩阵范数统一表示为||A ||p，P＝1 ，2 ，∞。
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第六章 线性方程组的迭代解法
9
例6.2 设矩阵
求矩阵A的范数||A ||p，P＝1 ，2 ，∞ 。 解 根据定义
由于 则它的特征方程为:
25
对于 n 元线性方程组 其一般式为：
从中解出：
得Jacobi迭代格式
通过|| x(k+1)-x(k)||<ε 控制迭代次数。
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迭代法的收敛条件
解线性方程组的迭代法
定理3.5 设 A 为n阶方阵， 则
lim A k 0
k
的充要条件为
( A) 1.
k k
［证明］必要性. 若 lim A 0
由定义3.2得
而
k
lim A
k
k
0
k k
0 ( A ) [ ( A)] A
lim[ ( A)] 0
k
松弛法收敛的必要条件是 0 2。 设松弛法的迭代矩阵 M 有特征值
［证明］
1 , 2 ,
n . 因为 det( M ) 12 n (M )n
det(M ) 1
10
由定理3.6，松弛法收敛必有
p19
解线性方程组的迭代法
又因为
M (D L ) 1[(1 ) D U]
k k
于是由极限存在准则，有 所以 ( A) 1.
5
解线性方程组的迭代法
充分性.
若
( A) 1,
1 ( A) 0, 取 2
由定理3.4存在一种存在一种
, 使得
A ( A)
而
A
k
A ,
k
k
1 ( A) 1 2 于是
k
lim A
非严格对角占优,但 A为对称正定矩阵, 1.4 故松弛法收敛。 上述结论的证明可参看[1],[7].
23
例 对线性方程组
x1( k 1)
( k 1) 20x1 2x2 3x3 24 x2 x 8x x 12 2 ( k ) 3 ( k ) 30 2 3 1 ( k 1) x3 x1 x2 2 x1 3x2 15x3 30 15 15 15 讨论Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法的收敛性. 解: Jacobi迭代的迭代矩阵为
迭代法的收敛性与误差估计
迭代法的收敛性与误差估计一…的童滚.11/{安务刊迭代法的收敛性.与误差估计’\虞福星..Z冬}7.在许多工程技术问题中,常常会遇到求解一元非线性方程的问题.例如,代数方程一x—l一0或超越方程x+{x—l看上去形式很简单,但不易求出其准确根,只能求出方程达到一定精度的近似根.求解这类方程的方法很多,迭代法就是其中的一种.迭代法有许多优点:1.其算法的逻辑结构简单f2.收敛速度快I3.中间结果有扰动不会影响计算结论;4.计算误差容易控制.正因为如此,迭代法得到非常广泛的应用.一,迭代法的基本思想设有方程f(11=0首先,我们设法将式(1)代成下列等价形式x—g∽然后按式(2)构造迭代公式(1)(2)+l—g{-,k=o,1,2, (3)从给定的初始近似根x.出发,按迭代公式(3)可以得到一个敦列x.,x1,x2,...,x, (4)如果这个数列{}有极限,则称迭代公式(3)是收敛的,此时数列螅极限x=limx就是原方程(1)的根.二,迭代法的收敛性及误差估计具备怎样的条件,迭代公式(3)是收敛的,这就是我们要讨论的中心问题.对此,我们有定理:设方程x—g在(a,b)内有根x,若gt满足李普希茨条件,即对(a,b)内任意的x】和都有lg(x1)g(x2)l≤qlxl—x2l(5)q为某个正数,当q<1时,则方程在(a’b)内有唯一的根I且迭代公式(3)对任意初始近似值xo均收敛于根x;还有误差估计式一≤lXk--Xkil≤lXI--Xol(6)证明:先证唯一性由已知条件知,x’是方程x—g的根,即x一g66设i也是方程x=g(x)的根,则x=g于是1x一i1=1g)--g1由李普希茨条件,得1x一;1一Ig(-～g’;I≤q1x一il因为0<q<1,故必有x.=;,根的唯一性得证. 再证收敛性由李普希茨条件,得IXk+I--X.l=Ig’--g)l≤qI一x.I同样l一x’l≤qIXk一1一x.1,…,1x1--X.1≤qI～x’1于是有1+I—x’I≤?Ix.一x’1因为0<q<1,当k—o.时,一0,即有Ix…--X’j—O(k—oo)所以,limxx.k一收敛性得证.利用李普希茨条件,得l+1～f=fg’)--g(,一.I≤Ix,一一1I于是对任意正整数P,有l+p一1≤1Xk—p一+rII+1Xk+p一1--Xk+p一±1+…+1一1一I≤(q+qP 一+…+q)?j一l一lxr令P—oo,得一I≤一一l≤IX1--X0I三,选择迭代公式的原则如果方程(2)中的g’满足Ig’I]l≤M<IxE(a,b)则可取这里的M作为李普希茨(5)中的q,由式(6)可知,正数q越小,收敛速度越快.所以,选遗代公式要遵循使IgI在(a山)的最大值M为最小这个原则.由于把方程f㈨一0化成等价形式x;g的方法很多.例如,方程x一x一1—0可以化成以下四种形式(1)x一一167(2)x一+1㈣x=X--每=㈤x一一由此可得四个迭代公式x+?=x:一1(7);(8):(9)’(9)l一—)(,)式(1I)也可用牛顿切线法导出,可见牛顿切线法可视为谴代法的特殊情形.由于=苎【)所以.f(?f().因此,只要ll≤q<l,L”)J公式(II)就收敛68。
6多元线性回归模型的区间估计 PPT课件
则有：
e*e* ee
由于，
RSS
2
2(n k 1)
F (RSSR RSSU ) (kU kR ) RSSU (n kU 1)
F (kU kR , n kU 1)
kR与kU分别是受约束与无约束回归模型的不包括 常数项的解释变量的个数。
F检验适用于所有关于参数线性约束的检验。
Included observations: 14
Variable
Coefficient
C
3.633774
LOG(X)
1.055418
LOG(P1)
-0.080035
LOG(P0)
-0.924927
R-squared
0.998711
Adjusted R-squared
0.998325
S.E. of regression
量Y0以(1- )的致信水平处于该区间的结论。
在消费模型中，Eviews软件估计结果(1978~1999):
Dependent Variable: CONSP
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 1979 1999
Included observations: 21 after adjustments
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C
128.6595 37.08056 3.469731 0.0027
GDPP
0.224376 0.060762 3.692714 0.0017
CONSP(-1)
0.434062 0.170306 2.548716 0.0202
线性方程组的迭代解法及收敛分析
河南科技学院2015届本科毕业论文论文题目：线性方程组的三种迭代解法及收敛分析学生姓名：韦成州所在院系：数学科学学院所学专业：信息与计算科学导师姓名：李巧萍完成时间：2015年5月20日线性方程组的三种迭代解法及收敛分析摘要对于线性方程组的迭代解法，本文重点讨论雅可比迭代法，高斯塞德尔迭代法和超松弛迭代法三种迭代解法。
主要讨论内容有：首先，写出三种迭代解法的基本思想，基本算法及收敛条件；其次，针对这三种迭代解法进行举例分析，通过MATLAB程序，求得三种迭代法各自的迭代次数、每次迭代的结果及误差；最后，在满足设定精度的情况下，对每个迭代方法所用的迭代次数进行通过分析比较，得出了在选择适当的松弛因子后，三种迭代法的收敛速度：超松弛迭代法＞高斯塞德尔迭代法＞雅可比迭代法，对于方程组Ax b，迭代法的收敛性只与系数矩阵A有关，而与右端项b无关。
同时，本文又对算法设计，收敛速度的判定等问题提出了改进意见。
关键词：MATLAB,数学模型,迭代解法,收敛,线性方程组Three kinds of solutions of systems of linear equations iterative methodand convergence analysisAbstractFor iterative solution of linear equations, this article focuses on the Jacobi iteration method, gauss seidel iteration method and overrelaxation iteration method of three kinds of iterative method.Main discussion: first of all, write down three iterative method, the basic idea of the basic algorithm and convergence condition;Secondly, in view of the three kinds of iterative solution methods for analysis, through the MATLAB program, get three iterative method respective number of iterations, the results of each iteration and error;Finally, in the case of meet the setting precision, for each iteration method to carry through analysis and comparison, the number of iterations used in selecting the appropriate relaxation factor is obtained, the convergence rate of the three types of iterative method: overrelaxation iteration method, gauss seidel iteration method, Jacobi iteration method for the system of equations, the convergence of iterative method is only related to the coefficient matrix, and has nothing to do with the right items.And at the same time, this paper, the algorithm design, and the convergence rate of decision problems, such as improvement opinions are put forward.Keywords：MATLAB, Mathematical model, Iterative method, Convergence System of linear equations目录1引言 (1)2迭代法的基本思想 (1)3三种迭代法的思想，算法及收敛条件 (1)3.1 雅可比迭代法 (1)3.1.1 雅可比迭代法的思想与算法 (1)3.1.2 雅格比迭代法的收敛条件 (2)3.2 高斯塞德尔迭代法 (3)3.2.1 高斯塞德尔迭代法的思想和算法 (3)3.2.2 高斯塞德尔迭代法的收敛条件 (4)3.3超松弛迭代法 (4)3.3.1 松弛法思想和算法 (4)3.3.2 超松弛迭代法的收敛条件 (5)4数学模型 (5)4.1雅可比迭代法求解 (6)4.2高斯赛德尔方法求解 (9)4.3超松弛迭代法求解 (12)5小结 (16)致谢 (18)参考文献 (19)1引言在实际生活中，存在着大量求解线性方程组的问题。
第5节_迭代法的收敛性
0
-1 2
-
1 2
Ja co b i迭
代
法
的
迭
代
矩
阵
为
B
I
-
D
-1 A
-
1 2
0
-
1 2
精选完整ppt课件
-
1
-1
0
2 2
17
Gauss-Seidel迭代收敛性：
其特征方程
11 22
I-B 1 1 3-3 1
2
2
44
11 22
( - 1 )2( 1) 0 2
得
1
2
1 2
x* ( I - M )-1 g x(k) - x* M k (x(0) x*)
M k [ x (0) ( I M )-1 g ] M k ( I M )-1[( I M ) x (0) g ] M k ( I M ) -1[ x (0) x（1）]
精选完整ppt课件
21
线性方程组迭代法收敛速度
即：k为矩阵Ak的特征值。
所以：（Ak）[(A)]k
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4
线性方程组迭代法收敛性
证 ：充 分 性 ： 若 ( A ) 1， 取 1 - ( A ) 0， 2
存在矩阵范数 ，使得
定 理 ： 设 A为 任 意 n阶 方 阵 ，
A (A) 1 (A) 1 2
则对任意正数,存在矩阵 范数 ，使得：
定 理 ： 设 有 迭 代 公 式 x (k 1 ) M x (k ) g ,若 M 1 ,x (k )收 敛 于 x * ,则 有 误 差 估 计 式 ：
x (k )-x *M k x (1 )-x (0 ) 1 -M
7.2 迭代法及其收敛性
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 40 45
1.358484290 1.355301399 1.355302727 1.355301425 1.355301394
由上表数据可看出，若取迭代函数为(c )， (d )和 (e )三种情形，算法表现良好，均能较快得到方程 的近似根.
下面讨论用迭代的方法求 ( x )的不动点x * .取 方程(7.2.1)解的初始近似值x0 , 通过如下迭代
xk xk 1 , k 1,2,, 产生迭代序列 xk . (7.2.2)
如果序列 xk 收敛到x * ,即 lim xk x * ,因 ( x )
x k x * x k 1 x * L x k 1 x * L x k 2 x L x0 x .
* k *
2
7.2.3
由0 L 1可得 lim Lk 0,因此对上式取极限可得
k
lim xk x * lim Lk x0 x * 0
4 x 在[1,2] 的值域为[ 1.6, 2].此外
(7.2.1)
其中 ( x )为连续函数,其取法不唯一,例如可取
方程(7.2.1)的解称为函数 ( x )的不动点, 求方程 (7.2.1)的解的问题称为不动点问题.
因此, 对于方程f ( x ) 0,为求出它的一个实根, 常 常将其化为求解等价的不动点问题,因为不动点 问题的形式往往更易于分析求解.
但对于情形(a )，迭代序列发散;在情形(b)中， 出现负数开根号，从而迭代不能继续下去.
因此, 迭代函数 ( x )的选取将会对迭代过程的收 敛性产生很大的影响.事实上, 要使迭代法产生的序 列 xk 收敛,则迭代函数 ( x )应满足一定的条件.
机器学习与人工智能(回归分析)习题与答案
一、填空题1.回归分析的首要问题是（）。
正确答案：估计回归系数2.分段多项式回归的回归系数发生的临界点称为（）。
正确答案：结点3.自然样条是添加了（）的样条回归：回归函数在边界区域是线性的。
正确答案：边界约束4.做样条回归时，如果结点个数过（），样条的回归曲线将非常曲折；反之，将过于平坦。
正确答案：多5.在光滑样条回归的目标函数中，（）的作用是使得回归函数尽可能拟合训练数据。
正确答案：损失函数二、判断题1.线性假设是指自变量xj的变化对因变量y的影响与其他自变量的的取值无关。
正确答案：×解析：线性假设是指无论自变量取xj取何值，它变化一个单位所引起的因变量的变化大小是恒定的，加性假设是指自变量xj的变化对因变量y的影响与其他自变量的的取值无关2.“回归函数在边界区域是线性的”。
这个附加约束使自然样条在边界处产生更稳定的估计。
正确答案：√3.在N-W方法中，核函数的带宽h越小，估计的回归函数曲线越光滑，h越大，估计的回归函数曲线波动越大。
正确答案：×解析：在N-W方法中，核函数的带宽h越大，估计的回归函数曲线越光滑，h越小，估计的回归函数曲线波动越大。
4.广义加性模型在保持其他自变量不变的情形下可以分析每个自变量对因变量的单独效应。
正确答案：√5.回归函数刻画了平均意义下因变量与自变量的相依关系。
正确答案：√6.回归分析的研究对象是具有相关关系的变量。
正确答案：√三、单选题1.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得x的样本平均值为3，y的样本平均值为3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )。
A.y=0.4x+2.3B.y=2x-2.4C.y=-2x+9.5D.y=-0.3x+4.4正确答案：A2.在两个变量的回归分析中，作散点图是为了( )。
A.直接求出回归直线方程B.直接求出回归方程C.根据经验选定回归方程的类型D.估计回归方程的参数正确答案：C3.下列两个变量之间的关系，( )是函数关系。
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数学实验试题2003.6.22 上午班级姓名学号得分说明：（1）第一、二、三题的答案直接填在试题纸上；（2）第四题将数学模型、简要解题过程和结果写在试题纸上；卷面空间不够时，可写在背面；（3）考试时间为90分钟。
一．（10分，每空2分）（计算结果小数点后保留4位有效数字）某两个地区上半年6个月的降雨量数据如下（单位：mm）：地区的月降雨量的置信区间： [32.35 76.65]x=[25 99 46 33 70 54];[mu, sigma, muci, sigmaci]=normfit(x,0.1)输出结果：muci = 32.348211*********76.651788879896088（2）在90%的置信水平下，A地区的月降雨量是否不小于70（mm）？是H0：μ≥70x=[25 99 46 33 70 54];[h,sig,ci] =ttest(x,70,0.1,-1)输出结果：h =0（3）在90%的置信水平下，A、B地区的月降雨量是否相同？否x=[25 99 46 33 70 54];y=[10 50 30 20 45 30];[h,sig,ci]=ttest2(x,y,0.1)输出结果：h =1（4）A地区某条河流上半年6个月对应的径流量数据如下（单位：m3）：110，184，145，122，165，143。
该河流的径流量y与当地的降雨量x的线性回归方程为y=91.12+0.9857*x ；若当地降雨量为55mm，该河流的径流量的预测区间为[130.9 159.7] （置信水平取90%）。
y=[110 184 145 122 165 143];x=[25 99 46 33 70 54];n=6T=[ones(n,1),x'];[b,bint,r,rint,s]=regress(y',T);b,bint,s,rcoplot(r,rint)输出结果：b =91.1150186181215960.985657150737830少量数据回归分析区间预测：y=b0+b1*x%预测区间函数M文件源程序：function y30=guessless(x0,x,s2,b0,b1,alpha)s=sqrt(s2); %将s2开方即得xx=mean(x); %x的均值sxx=(length(x)-1)*var(x);y0=b0+b1*x0;y30=[y0-tinv(1-alpha/2,length(x)-2)*s*sqrt((x0-xx)^2/sxx+1/length(x)+1),y0+tinv(1-alpha/2,length(x)-2)*s*sqrt((x0-xx)^2/sxx+1/length(x)+1)]; %利用（30）式预测区间%预测55mm降雨量对应河流径流量所在区间源程序(需要先运行回归程序！)x=[25 99 46 33 70 54];y55=guessless(55,x, s(4),b(1),b(2),0.1)输出结果：y55 =1.0e+002 *1.309185906962643 1.597337331211401还可以应用POL YTOOL命令：y=[110 184 145 122 165 143];x=[25 99 46 33 70 54];Polytool(x,y,1,0.1)输出结果：二．（10分）（1）（每空1分）给定矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34,133212b A ，如果在可行域}0,|{≥=x b Ax x 上考虑线性函数x c T ，其中Tc )1,1,4(=，那么x c T的最小值是 2.2 ，最小点为(0,0.4,1.8) ； 最大值是 3.5 ，最大点为 (0.5,0,1.5) 。
决策变量： x1；x2；x3； 目标函数：Z=4*x1+1*x2+1*x3 约束条件：2*x1+1*x2+2*x3=4 3*x1+3*x2+1*x3=3 基本模型：max/min(z)= 4*x1+1*x2+1*x3s.t. 2*x1+1*x2+2*x3=43*x1+3*x2+1*x3=3x1,x2,x3≥0优化程序(线性)： c=[4 1 1]; A2=[2 1 2; 3 3 1]; b2=[4 3]; v1=[0 0 0];[x,z,ef,out,lag]=linprog(c,[],[],A2,b2,v1) [x,z,ef,out,lag]=linprog(-c,[],[],A2,b2,v1) 输出结果：x =0.0000 0.4000 1.8000 z =2.2000x =0.5000 0.0000 1.5000 z = -3.5000（2）（每空2分）给定矩阵TA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4011211104，Tb )1,3,4,2,1(=，考虑二次规划问题}0,|4244)({m in 21222121≥≤--+-=x b Ax x x x x x x x f ，其最优解为(2.5556,1.4444)，最优值为 -10.7778 ，在最优点处起作用约束为x1+x2≤4。
H=[2 -4;-4 8];A1=[-4 2;0 1;1 1;1 0; 1 -4]; c=[-2 -4];b1=[1 2 4 3 1]; v1=[0,0,0];[x,f,ef,out,lag]=quadprog(H,c,A1,b1,[],[],v1)lag.eqlin %等式约束 lag.ineqlin %不等式约束 lag.upper %上界约束 lag.lower %下界约束 输出结果： x =2.5556 1.4444 f =-10.7778 ans =Empty matrix: 0-by-1ans =0 0 2.6667 0 0 ans =0 0ans =0 0有效约束判断方法：1) lag 函数值中非零项对应的约束条件为有效约束！ 2) 教材P179有效约束的定义也可判断！三．（10分） 对线性方程组： b Ax =，其中 Ａ＝ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡1,,,1,,,1a a a a a a ， b=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡321 (1) （3分）当 21=a 时，用高斯—赛德尔迭代法求解b Ax =。
取初值为[]Tx 0,0,00=，写出迭代第4步的结果4x =(-1.0566 1.07712.9897)。
迭代法解线性代数方程组 A1=ones(3,3);A=0.5*A1+ diag(diag(0.5*A1));D=diag(diag(A)); %从稀疏矩阵A中提取D L=-tril(A,-1); %从稀疏矩阵A中提取L U=-triu(A,1); %从稀疏矩阵A中提取U b=[1 2 3]'; %设定方程组右端项向量 x= zeros(3,1); %设定方程组初始向量 e=10^(-5); %给定迭代误差m= inv(D-L)*U;n= inv(D-L)*b; %高斯-赛德尔迭代法 for j2=1:4 y=m*(x(:,j2)); for i=1:3x(i,j2+1)=y(i,:)+n(i,:); end if norm(x(:,j2+1)-x(:,j2))<=e; break end endt2=x(:,end) %输出迭代法最终结果 j2 %输出迭代次数 t2 =-1.0566 1.0771 2.9897(2) （4分）当21=a 时，用Jacobi 迭代法求解b Ax =是否收敛？_____否_____ ,理由是__迭代矩阵的谱半径等于1_____ 。
迭代法收敛性充要条件：谱半径ρ(L)<1雅可比迭代发的迭代公式h t Lx t x -=+)()1(中矩阵L= inv(D)*(L+U); 在此情况下，eig(inv(D)*(L+U))的输出结果为： ans =-1.0000 0.5000 0.5000此时谱半径为以上各值绝对值的最大值！ 故ρ(L)=1，不收敛！ (3) （3分）求最大的c,使得对任意的[)c a ,0∈，用高斯—赛德尔迭代法求解b Ax =一定收敛，则c 应为_____1_____。
c = 1. （备注：可求出原矩阵A 的特征值为1-a 和2a+1; 利用正定性质得结果。
） 系数矩阵对称正定，则高斯-赛德尔迭代法收敛！四．（20分）一个二级火箭的总重量为2800公斤。
第一级火箭的重量为1000公斤，其中燃料为800公斤。
第一级火箭燃料燃烧完毕后自动脱落，第二级火箭立即继续燃烧。
第二级火箭中的燃料为600公斤。
假设火箭垂直向上发射，两级火箭中的燃料同质，燃烧率为15公斤/秒，产生的推力为30000牛顿。
火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4公斤/米。
（1）建立第一级火箭燃烧时火箭运行的数学模型，并求第一级火箭脱落时的高度、速度和加速度；（2）建立第二级火箭燃烧时火箭运行的数学模型，并求火箭所有燃料燃烧完毕瞬间的高度、速度、和加速度。
（提示：牛顿第二定律f=ma ，其中f 为力，m 为质量，a 为加速度。
重力加速度9.8米/平方秒。
）模型及其求解：(1) 建立第一级火箭燃烧时火箭运行的数学模型: 火箭质量m随时间t的变化关系函数为：280015(160/3)m t t =-≤火箭在时刻t所受合外力F为：2025601470.4(160/3)F F f mg t v t =--=+-≤火箭在时刻t 的加速度a 为：22225601470.4(160/3)280015dv d h t v a t dt tdt +-===≤-初值满足：h(0)=0;v(0)=0%火箭运行情况模型常微分方程组函数M文件源程序：function dx=rocket11(t,x)dx=[x(2);(2560+147*t-0.4*(x(2)^2))/(2800-15*t)];%火箭加速度函数M文件源程序：function y=a11(ts,x)for i=1:length(ts)y(i)=(2560+147*ts(i)-0.4*x(2,i)^2)./ (2800-15*ts(i)); end%应用龙格-库塔方法对火箭运行情况模型的常微分方程组求数值解：ts=0:1/3:160/3; j=length(ts); x0=[0,0];[t,x]=ode 45(@rocket11,ts,x0); %火箭运行高度与速度情况 y= a11(ts', x(:,2)'); %火箭运行加速度情况[ts', x(:,1),x(:,2),y']a=(2560+147*ts(j)-0.4*x(j,2)^2+200*9.8)./ (2800-15*ts(j)-200) 输出结果：t=0.053333333333333 h=2619.970380776275 v=114.628140679963 a=2.572077872851 a’=3.946753192056594计算结果：第一级火箭燃烧完毕瞬间：t=53.333秒，高度：2620.0(米)，速度：114.6米/秒，加速度：5.2米/平方秒。