正多边形和圆 人教版九年级数学上册同步课堂教案

24.3正多边形和圆
一、教学目标
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题. 二、教学重难点
重点：理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.
难点：会作圆和正多边形的辅助线，构造直角三角形，运用勾股定理解决问题. 三、教学过程 【新课导入】
[复习回顾]什么样的图形是正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形. 【新知探究】
（一） 圆内接正多边形
[思考]正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ [课件展示]
日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案.
[思考]正多边形和圆的关系非常密切，正多边形和圆之间有什么关系呢？
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
接下来，以圆内接正五边形为例证明.
[课件展示]如图，把⊙O 分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE . ∵AB
̂=BC ̂=CD ̂=DE ̂=EA ̂,∴AB =BC =CD =DE =EA. ∵BCE
̂=CDA ̂=3AB ̂,∴∠A =∠B .
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
又顶点A、B、C、D、E都在⊙O上,
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形, ⊙O是正五边形ABCDE的外接圆. [归纳总结]
正多边形的中心: 一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:外接圆的半径
正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角.
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.
[思考]完成下面的表格：
正多边形边数内角中心角外角
3 60 °120 °120 °
4 90 °90 °90 °
6 120 °60 °60 °
n(2)180
n
n
-⨯︒360
n
︒360
n
︒
例1 有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位).
解：过点O 作OM⊥BC 于M.
在Rt△OM中,OB＝4, MB＝BC
2
=4
2
=2，
利用勾股定理,可得边心距r=√42−22=2√3.
亭子地基的面积S=1
2
l⋅r=1
2
×24×2√3≈41.6(m2).
[归纳总结]圆内接正多边形的辅助线
1.连半径，得中心角；
2.作边心距，构造直角三角形.
正多边形的外角=中心角
[思考]怎样画一个正多边形呢？
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个120°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的3个等分点，顺次连接各等分点，即可得到正三角形．
[思考]问题2：你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
【课堂小结】
【课堂训练】
1.如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是（C）
A．60°B．45°C．36°D．30°
第1题图第2题图
度. 2.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为1284
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3.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要4√2cm.
4.如图，正六边形ABCDEF的边长为2√3，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？
解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，
作CG⊥BD于G.
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，
∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.
∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.
∴点P到各边距离之和为：3BD=3×6=18．
【布置作业】
【教学反思】
教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.。