《 空间向量运算的坐标表示及应用(1)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

若点的坐标为，点的坐标为，那么，的坐标如何表示？
因为向量与点的坐标相同，，即，，同样地，，．又
一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
设向量，，根据空间向量的运算法则，不难得到：
你能否对空间向量运算的坐标表示进行证明呢？
证明：∵，，∴．根据向量数量积的分配律，以及，，即可得出： ．因此，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
结合空间向量坐标的定义，我们以数量积运算的坐标表示为例进行证明：
空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．
空间向量
三元有序实数组
一一对应
把三元有序实数组叫作向量在标准正交基下的坐标，记作．
单位向量都叫作坐标向量．实际上分别是向量在方向上所作的投影向量，分别是向量在方向上所作投影向量的数量．
对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到．若点的坐标为，由空间向量的加法不难得出，于是的坐标也是．向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标．
如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的垂直？
平面向量，，则．
空间向量，则．
已知向量，，求：（1）；（2）．
解：（1）；（2）∵，，∴．
空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．
设向量，，求满足下列条件时，实数的值．（1）；（2）．
解：（1）①当时，，，，满足．②当时，，，不满足，∴．③当时，且时，由⇔⇔⇔．综上所述，当或时，．（2），∴．，解得：．∴当时，．
若四边形为平行四边形，且，，，求顶点的坐标．
解：由四边形为平行四边形知，设，则，．∴，解得．∴的坐标为．
结构框图
教材第112页练习第2，4，5题．
设，，当时，
如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？
类比平面向量平行的坐标表示，我们可以得到：设空间向量，，当时，用坐标表示为，得到方程组，；这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示．
在学习平面向量运算的过程中，我们了解到向量可以帮助我们解决平面几何中的特殊位置关系与几何度量等问题，这些重要的性质和结论在空间向量中仍然成立吗？
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基．
在空间直角坐标系中，分别沿轴、轴、轴正方向作单位向量，，，这三个互相垂直的单位向量就构成了空间向量的一组基，这组基叫作标准正交基．
根据空间向量基本定理，对于任意一个向量，都存在唯一的三元有序实数组，使得． 反之，任意给出个三元有序实数组，也可找到唯一的一个向量与之对应，
．
已知向量，．若向量a＋b与向量平行，则实数的值是( )A．6 B．－6 C．4 D．－4
解：∵，，∴．又因为向量与向量平行,所以存在实数，使得．∴，解得，故选．
已知向量，．若与互相垂直，则实数的值是________．
解：因为，．所以，又与互相垂直，所以·，即，解得．
第三章 空间向量与立体几何
空间向量运算的坐标表示及应用(1)
1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量运算的坐标表示、掌握空间向量的平行和垂直的条件．
空间向量的正交分解与坐标表示．
空间向量的正交分解与坐标表示．
空间向量基本定理的内容是什么？
当空间的一组基向量两两垂直时，空间向量与空间直角坐标系之间有什么关系呢？
这个充要条能否表示为？
显然，空间向量平行的充要条件不等价于，因为含义是的坐标分量至少有一个不为零，而非每一个坐标分量都不为零. 例如，当与坐标平面平行时，，此时无意义.因此只有在与三个坐标平面均不平行，即均不为零时才能有． 特殊地，当时，．此时与任意向量都平行．
在学习平面向量运算的过程中，我们了解到向量可以帮助我们解决平面几何中的特殊位置关系与几何度量等问题，这些重要的性质和结论在空间向量中仍然成立吗？